Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Thể tích khối đa diện hay, chi tiết, từ cơ bản đến nâng cao giúp học sinh nắm vững kiến thức về Thể tích khối đa diện, từ đó học tốt môn Toán.

Thể tích khối đa diện: Phương pháp giải và bài tập hay, chi tiết

I. LÝ THUYẾT

Thể tích của mỗi khối đa diện (H) là một số dương $V_{\left(H\right)}$  thỏa mãn các tính chất sau:

a) Nếu (H) là khối lập phương có cạnh bằng 1 thì $V_{\left(H\right)}=1$ .

b) Nếu hai khối đa diện $\left(H_1\right)$  và $\left(H_2\right)$  bằng nhau thì $V_{\left(H_1\right)}=V_{\left(H_2\right)}$

c) Nếu khối đa diện (H) được phân chia thành hai khối đa diện $\left(H_1\right)$  và $\left(H_2\right)$  thì $V_{\left(H\right)}=V_{\left(H_1\right)}+V_{\left(H_2\right)}$ .

Khối lập phương có cạnh bằng 1 được gọi là khối lập phương đơn vị.

II. PHƯƠNG PHÁP

1) Phương pháp tính toán trực tiếp:

Bước 1:  Xác định và tính chiều cao của khối đa diện

Bước 2:  Tìm diện tích đáy bằng các công thức

Bước 3:  Sử dụng công thức tính thể tích.

Một số dạng toán cụ thể:

Dạng 1: Thể tích khối chóp

$V_c=\frac{1}{3}.Sh$ 

Với:  S: Diện tích đáy khối chóp.

          h: Chiều cao khối chóp. 

Ví dụ 1: Cho khối chóp có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao 4a. Thể tích của khối chóp đã cho bằng

A. $\frac{4}{3}{a}^3$ 

B. $\frac{16}{3}{a}^3$

C. $4a^3$

D. $16a^3$

Hướng dẫn giải

Vì đáy là hình vuông cạnh a nên diện tích đáy hình chóp là: $S=a^2$

Chiều cao của hình chóp là h = 4a.

Vậy thể tích khối chóp là: 

$V=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}.a^2.4a=\frac{4}{3}{a}^3$

Chọn A.

Dạng 2: Thể tích khối lăng trụ

$V_{LT}=S.h$

Với S: Diện tích đáy lăng trụ.

            h: Chiều cao lăng trụ. 

Ví dụ 2: Cho khối lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao bằng 2a. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

A. $\frac{2}{3}{a}^3$

B. $\frac{4}{3}{a}^3$

C. $2a^3$

D. $4a^3$

Hướng dẫn giải

Vì đáy là hình vuông cạnh a nên ta có diện tích đáy là $S=a^2$ .

Chiều cao của lăng trụ là h = 2a.

Vậy thể tích khối lăng trụ là: $V=Sh=a^2.2a=2a^3$

Chọn C.

Dạng 3: Thể tích khối hộp chữ nhật:

$V=abc$

với a, b, c lần lượt là ba kích thước của hình hộp chữ nhật. 

Ví dụ 3: Thể tích khối hộp chữ nhật ABCD. A’B’C’D’ có các cạnh AB = 3, AD = 4, AA’ = 5 là

A. V = 30.                            

B. V = 60.                            

C. V = 10.                            

D. V = 20.

Hướng dẫn giải

Ta có 3 kích thước của hình hộp chữ nhật đã cho lần lượt là 3, 4, 5.

Khi đó thể tích khối hộp chữ nhật là:

$V=\mathrm{3.4.5}=60$

Chọn B.

Dạng 4: Thể tích khối lập phương:

$V=a^3$ 

Trong đó a là độ dài cạnh hình lập phương.

Ví dụ 4 : Tính thể tích của khối lập phương có cạnh bằng 2.

Hướng dẫn giải

Thể tích khối lập phương có cạnh bằng 2 là: V = 2³ = 8 (đvtt).

2) Phương pháp tính thể tích gián tiếp bằng cách phân chia các khối đa diện.

Trong nhiều trường hợp, việc tính trực tiếp thể tích khối đa diện bằng phương pháp trực tiếp gặp khó khăn vì hai lí do: khó xác định và tính được chiều cao hoặc khó tính được diện tích đáy. Khi đó, ta có thể làm theo các phương pháp tính thể tích gián tiếp.

Bước 1: Ta chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện nhỏ mà có thể tính thể tích của chúng.

Bước 2: Sau đó, ta cộng các kết quả lại, ta sẽ có kết quả cần tìm.

Ví dụ minh họa: Một hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có ba kích thước là 2cm, 3cm, 6cm. Thể tích của khối tứ diện ACB’D’ bằng

A. $8c{m}^3.$

B. $12c{m}^3.$

C. $6c{m}^3.$

D. $4c{m}^3.$

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$$\begin{gathered} V_{ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}}=V_{B\text{'}.ABC}+V_{D\text{'}.ACD} \\ +V_{A.B\text{'}A\text{'}D\text{'}}+V_{C.B\text{'}C\text{'}D\text{'}}+V_{A.CB\text{'}D\text{'}} \end{gathered}$$

Mà:

$$\begin{gathered} V_{B\text{'}.ABC}=V_{D\text{'}.ACD}=V_{A.B\text{'}A\text{'}D\text{'}} \\ =V_{C.B\text{'}C\text{'}D\text{'}}=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}\mathrm{.2.3.6}=6 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} V_{ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}}=\mathrm{2.3.6}=36 \\ \Rightarrow V_{ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}}=4.6+V_{ACB\text{'}D\text{'}} \\ \iff 36=24+V_{ACB\text{'}D\text{'}} \\ \iff V_{ACB\text{'}D\text{'}}=36-24=12 \end{gathered}$$

Chọn B.

III. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SA = 3a. Thể tích khối chóp S.ABCD bằng

A. $a^3$

B. $\frac{a^3}{9}$

C. $\frac{a^3}{3}$

D.  $3a^3$

Câu 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, SA = AB = a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Thể tích của khối chóp S.ABC bằng

A. $\frac{a^3}{3}$

B. $\frac{3a^3}{2}$

C. $\frac{a^3}{2}$

D. $\frac{a^3}{6}$

Câu 3: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và chiều cao hình chóp là $a\sqrt{2}$ . Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC.

A.  $V=\frac{a^3\sqrt{6}}{12}$

B.  $V=\frac{a^3\sqrt{6}}{4}$

C.  $V=\frac{a^3}{6}$

D. $V=\frac{a^3\sqrt{6}}{6}$

Câu 4: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = a, OB = 2a, OC = 3a. Thể tích của khối tứ diện OABC bằng

A.  $V=\frac{2a^3}{3}$

B. $V=\frac{a^3}{3}$

C. $V=2a^3$

D. $V=a^3$ .

Câu 5: Cho khối lăng trụ có diện tích đáy bằng $3a^2$ và khoảng cách giữa hai đáy bằng a. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

A. $V=a^3$

B. $V=\frac{3}{2}{a}^3$

C. $V=3a^3$

D. $V=9a^3$

Câu 6: Khối lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh a, đường cao bằng $a\sqrt{3}$  có thể tích bằng

A.  $\frac{a^3\sqrt{3}}{3}$

B. $a^3\sqrt{3}$

C. $2a^3\sqrt{3}$

D. $\frac{a^3\sqrt{3}}{6}$

Câu 7: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có BB’ = a, đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và $AC=a\sqrt{2}$ . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

A. $V=\frac{a^3}{2}$

B. $V=\frac{a^3}{6}$

C. $V=\frac{a^3}{3}$

D. $V=a^3$

Câu 8: Thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh AB = 3, AD = 4, AA’ = 5 là

A. V = 30.

B. V = 60

C. V = 10

D. V = 20

Câu 9: Cho hình hộp đứng ABCD. A’B’C’D’ có cạnh bên AA’ = h và diện tích tam giác ABC bằng S. Thể tích của khối hộp ABCD. A’B’C’D’ bằng:

A. $V=\frac{1}{3}Sh$

B. $V=\frac{2}{3}Sh$

C. V = Sh

D. V = 2Sh.

Câu 10: Thể tích khối lập phương có cạnh bằng 10cm là

A. $V=1000{\text{\hspace{0.33em}cm}}^3$

B. $V=500{\text{\hspace{0.33em}cm}}^3$

C. $V=\frac{1000}{3}{\text{\hspace{0.33em}cm}}^3$

D. $V=100{\text{\hspace{0.33em}cm}}^3$

Câu 11: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A’B’C’D’ có AB = a, BC = b, AA’ = c. Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của A’B’ và B’C’. Tính tỉ số giữa thể tích khối chóp D’. DMN và thể tích khối hộp chữ nhật ABCD. A’B’C’D’.

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{1}{5}$

C. $\frac{1}{8}$

D.  $\frac{1}{4}$

BẢNG ĐÁP ÁN

Xem thêm các dạng Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:

Nhận dạng khối đa diện và cách giải

Nhận biết khối đa diện lồi, đều và cách giải

Thể tích khối chóp và cách giải bài tập

Thể tích khối lăng trụ và cách giải bài tập

Tỉ số thể tích khối đa diện và cách giải bài tập