Tỉ số thể tích khối đa diện: Phương pháp giải và bài tập hay, chi tiết

381

Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Tỉ số thể tích khối đa diện hay, chi tiết, từ cơ bản đến nâng cao giúp học sinh nắm vững kiến thức về Tỉ số thể tích khối đa diện, từ đó học tốt môn Toán.

Tỉ số thể tích khối đa diện: Phương pháp giải và bài tập hay, chi tiết

I. LÝ THUYẾT

Chú thích V1= Thể tích cũ, V2= Thể tích mới (dùng cho kỹ thuật chuyển đỉnh và đáy).

1. Kỹ thuật đổi đỉnh (đáy không đổi)

a) Song song với đáy

Tỉ số thể tích khối đa diện và cách giải bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

V1=V2=13Bh.

 

b) Cắt đáy

Tỉ số thể tích khối đa diện và cách giải bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

V1V2=13.dA;P.Sđ13.dB;P.Sđ=dA;PdB;P=IBIA.

2. Kỹ thuật chuyển đáy (đường cao không đổi)

V1V2=S1S2 ;với S1  là diện tích đáy cũ; S2  là diện tích đáy mới

Chú ý:

+ Đưa hai khối đa diện về cùng một đỉnh; hai đáy mới và cũ nằm trong cùng một mặt phẳng (thường thì đáy cũ chứa đáy mới). Áp dụng công thức tính diện tích của đa giác để so sánh tỉ số giữa đáy cũ và đáy mới.

+ Nếu tăng (hoặc giảm) mỗi cạnh của đa giác (tam giác, tứ giác), k lần thì diện tích đa giác sẽ tăng (hoặc giảm) k2 lần.

3. Một số kết quả quan trọng:

Kết quả 1: Cho tam giác OAB, trên cạnh OA chọn A’, trên cạnh OB chọn B’.

Lúc đó:

SOA'B'SOAB=OA'OAOB'OB

 

Kết quả 2: Cho hình chóp S. ABC, trên cạnh SA chọn A’, trên cạnh SB chọn B’ trên cạnh SC chọn C’.

Lúc đó:

VS.A'B'C'VS.ABC=SA'SASB'SBSC'SC

Tỉ số thể tích khối đa diện và cách giải bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Kết quả 3: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Trên các cạnh bên AA’, BB’, CC’ lần lượt lấy các điểm M, N, P.

Tỉ số thể tích khối đa diện và cách giải bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Giả sử:

A'MA'A=x;  B'NB'B=y;  C'PC'C=z

Khi đó: VA'B'C'.MNPVA'B'C'.ABC=x+y+z3

Kết quả 4: Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’. Trên các cạnh bên AA’, BB’, CC’, DD’ lấy lần lượt các điểm M, N, P, Q sao cho M, N. P, Q đồng phẳng.

Tỉ số thể tích khối đa diện và cách giải bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Giả sử

A'MA'A=x,  B'NB'B=y,  C'PC'C=z,  D'QD'D=t

Khi đó:

1. x+z=y+t

2. VA'B'C'D'.MNPQVA'B'C'D'.ABCD=x+y+z+t4

II. PHƯƠNG PHÁP

Dạng 1. Tỉ số thể tích của hình chóp tam giác.

+) Tỉ số thể tích của hai khối chóp chung đáy (hoặc chung chiều cao)

- Nếu hai khối chóp chung đáy thì tỉ số thể tích bằng tỉ số độ dài hai chiều cao.

- Nếu hai khối chóp chung đường cao thì tỉ số thể tích bằng tỉ số diện tích hai đáy.

+) Tỉ số thể tích của hai khối chóp tam giác:

- Sử dụng công thức tỉ số thể tích để tính.

Ví dụ 1: Cho hình chóp S. ABC có VS.ABC=6a3 . Gọi M, N, Q lần lượt là các điểm trên các cạnh SA, SB, SC sao cho SM = MA, SN = NB, SQ = 2QC. Tính VS.MNQ .

Hướng dẫn giải:

Tỉ số thể tích khối đa diện và cách giải bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Ta có:

VS.MNQVS.ABC=SMSA.SNSB.SQSC=12.12.23=16

VS.MNQ=16VS.ABC=16.6a3=a3

Vậy thể tích khối chóp S. MNQ là a3 .

Ví dụ 2: Hình chóp S. ABC có M, N, P theo thứ tự là trung điểm SA, SB, SC. Đặt k=VMNPABCVSABC . Khi đó giá trị của k là

A. 87

B. 78

C. 8

D. 18

Hướng dẫn giải

Tỉ số thể tích khối đa diện và cách giải bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Tỉ số thể tích khối đa diện và cách giải bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Chọn B.

Dạng 2. Tỉ số thể tích của hình chóp tứ giác:

+) Tỉ số thể tích của hai khối chóp chung đáy (hoặc chung chiều cao)

- Nếu hai khối chóp chung đáy thì tỉ số thể tích bằng tỉ số độ dài hai chiều cao.

- Nếu hai khối chóp chung đường cao thì tỉ số thể tích bằng tỉ số diện tích hai đáy.

+) Tỉ số thể tích của hai khối chóp tứ giác:

- Phân chia khối chóp tứ giác thành nhiều khối chóp tam giác

- Sử dụng công thức tính tỉ số thể tích của hình chóp tam giác, các kĩ thuật chuyển đỉnh, chuyển đáy để tính toán thể tích các khối chóp tam giác.

- Kết luận lại về tỉ số khối chóp tứ giác ban đầu.

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Tỉ số thể tích của khối chóp S.MNPQ và khối chóp S.ABCD bằng:

A. 18

B. 116

C. 14

D. 13

Lời giải

Tỉ số thể tích khối đa diện và cách giải bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Tỉ số thể tích khối đa diện và cách giải bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Chọn A.

Dạng 3. Tỉ số thể tích hình lăng trụ tam giác

+) Gọi V là thể tích khối lăng trụ, V(4) là thể tích khối chóp tạo thành từ 4 trong 6 đỉnh của lăng trụ (4 đỉnh được lấy phải tạo thành tứ diện), V(5)  là thể tích khối chóp tạo thành từ 5 trong 6 đỉnh của lăng trụ. Khi đó:

V4=V3V5=2V3

+) Nếu mặt phẳng cắt các cạnh bên của lăng trụ tam giác, ta sẽ áp dụng công thức tính nhanh ở kết quả 3.

Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ ABC. A’B’C’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CC’ và BB’. Tính tỉ số VABCMNVABC.A'B'C'

A. 16

B. 13

C. 12

D. 23

Hướng dẫn giải:

Tỉ số thể tích khối đa diện và cách giải bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Xét hai đa diện là ABCMN và ABC. A’B’C’. Ta đặt:

x=AAAA'=0,  y=BMBB'=12,  z=CNCC'=12

Ta có

VABCMNVABC.A'B'C'=x+y+z3=0+12+123=13

 

Tức là  VABCMNVABC.A'B'C'=13

Chọn B.

Dạng 4. Tỉ số thể tích hình hộp.

Nếu mặt phẳng cắt các cạnh bên của khối hộp ta sẽ áp dụng công thức tính nhanh tỉ số thể tích ở kết quả 4. Ngoài ra cần vận dụng thêm các phép lắp ghép đa diện (cộng – trừ thể tích đa diện) để giải quyết dạng toán này.

Ví dụ 5: Cho khối hộp chữ nhật ABCD. A’B’C’D’ có thể tích bằng 2110 (đvtt). Biết A’M = MA, DN = 3ND’, CP = 2PC’. Mặt phẳng (MNP) chia khối hộp đã cho thành hai khối đa diện. Thể tích khối đa diện nhỏ hơn bằng

A. 738518

B. 527512

C.  84409

D.  52756

Hướng dẫn giải:

Tỉ số thể tích khối đa diện và cách giải bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Giả sử (MNP) cắt BB’ tại Q. Đặt:

x=AMAA'=12,  y=DNDD'=34,z=CPCC'=23,  t=BQBB'

 

Vì :

x+z=y+tt=x+zy=12+2334=512

Ta có:

VABCD.MNPQVABCD.A'B'C'D'=x+y+z+t4=12+34+23+5124=712

VABCD.MNPQ=712VABCD.A'B'C'D'=712.2110=73856

 

Mặt khác

VA'B'C'D'.MNPQ+VABCD.MNPQ=VABCD.A'B'C'D'

VA'B'C'D'.MNPQ=VABCD.A'B'C'D'VABCD.MNPQ=211073856=52756

 

 

Vậy thể tích khối đa diện nhỏ hơn là 52756 (đvtt).

Chọn D.

IV. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Câu 1: Cho tứ diện MNPQ. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của các cạnh MN, MP, MQ. Tỉ số thể tích VMIJKVMNPQ  là

A.  13

B. 14

C. 16

D. 18

Câu 2. Cho hình chóp S. ABC. Trên 3 cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy 3 điểm A’, B’, C’ sao cho SA'=12SA SB'=12SB SC'=12SC . Gọi V và V’ lần lượt là thể tích của các khối chóp S. ABC và S. A’B’C’. Khi đó tỷ số V'V  

A. 18

B.  112

C. 16

D. 116

Câu 3. Cho tứ diện ABCD, hai điểm M và N lần lượt trên hai cạnh AB và AD sao cho

AMMB=13;ANAD=14 , khi đó tỉ số VACMNVABCD  bằng

A. 115

B. 19

C. 112

D. 116

Câu 4. Cho hình chóp S. ABC, gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB. Tính tỉ số VS.ABCVS.MNC

A. 4

B. 12

C. 2

D. 14

Câu 5. Cho khối chóp O. ABC. Trên ba cạnh OA, OB, OC lần lượt lấy ba điểm A’, B’, C’ sao cho 2OA’ = OA, 4OB’ = OB, 3OC’ =OC. Tính tỉ số VO.A'B'C'VO.ABC

A. 112

B.  124

C. 116

D. 132

Câu 6. Cho tứ diện ABCD có B’ là trung điểm AB, C’ thuộc đoạn AC và thỏa mãn 2AC’ = C’C. Trong các số dưới đây, số nào ghi giá trị tỉ số thể tích giữa khối tứ diện AB’C’D và phần còn lại của khối tứ diện ABCD?

A. 16

B. 15

C. 13

D. 25

Câu 7. Cho khối chóp S. ABC. Gọi G là trọng tâm giác SBC. Mặt phẳng α  qua AG và song song với BC cắt SB, SC lần lượt tại I, J. Gọi VS.AIJ, VS.ABC  lần lượt là thế tích của các khối tứ diện S. AIJ và S. ABC. Khi đó khẳng định nào sau đây là đúng?

A. VS.AIJVS.ABC=1

B.  VS.AIJVS.ABC=23

C. VS.AIJVS.ABC=49

D. VS.AIJVS.ABC=827

Câu 8. Cho khối chóp S. ABCD. Gọi A’, B’, C’, D’ lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Khi đó tỉ số thế tích của khối chóp S. A’B’C’D’ và S. ABCD bằng

A. 12

B. 14

C.  18

D. 116

Câu 9. Cho khối chóp tứ giác đều S. ABCD. Mặt phẳng α  đi qua A, B và trung điểm M của SC. Tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó là

A. 14

B.  38

C. 58

D35

Câu 10. Cho tứ diện ABCD có thể tích V. Gọi V’ là thể tích của khối tứ diện có các đỉnh là trọng tâm của các mặt của khối tứ diện ABCD. Tính tỉ số V'V.

A. V'V=827.

B. V'V=2327.

C. V'V=127.

D. V'V=427.

Câu 11. Cho tứ diện có thể tích bằng V. Gọi V’ là thể tích của khối đa diện có các đỉnh là các trung điểm của các cạnh của khối tứ diện đã cho, tính tỉ số V'V.

A. V'V=12.

B. V'V=14.

C. V'V=23.

D. V'V=58.

Câu 12. Cho hình chóp tam giác S. ABC có M là trung điểm của SB, N là điểm trên cạnh SC sao cho NS = 2NC. Kí hiệu V1,V2  lần lượt là thể tích của các khối chóp A. BMNC và S. AMN. Tính tỉ số V1V2 .

A.  V1V2=23

B. V1V2=12

C. V1V2=2.

D. V1V2=3

Câu 13: Cho hình lăng trụ ABC. A’B’C’, M là trung điểm của CC’. Mặt phẳng (ABM) chia khối lăng trụ thành hai khối đa diện. Gọi V1  là thể tích khối đa diện chứa đỉnh C và V2  là thể tích khối đa diện còn lại. Tính tỉ số V1V2

A15

B16

C12

D25

Câu 14: Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’ có M, N lần lượt là trung điểm của AA’ và CC’. Gọi V1  là thể tích khối đa diện chứa đỉnh A và V2  là thể tích khối đa diện còn lại. Tính tỉ số V1V2

A. 2

B12

C. 1

D23

BẢNG ĐÁP ÁN

Tỉ số thể tích khối đa diện và cách giải bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Xem thêm các dạng Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:

Thể tích khối chóp và cách giải bài tập

Thể tích khối lăng trụ và cách giải bài tập

Công thức tính thể tích khối chóp đầy đủ, chi tiết nhất

Công thức tính thể tích khối lăng trụ đầy đủ, chi tiết nhất

Công thức về tỉ số thể tích khối đa diện chi tiết nhất

Từ khóa :
Giải bài tập
Đánh giá

0

0 đánh giá