Toptailieu.vn xin giới thiệu Lý thuyết Giới hạn của dãy số (Chân trời sáng tạo) hay, chi tiết | Lý thuyết Toán 11 Bài viết gồm phần lý thuyết trọng tâm nhất được trình bày một cách dễ hiểu, dễ nhớ bên cạnh đó là bộ câu hỏi trắc nghiệm có hướng dẫn giải chi tiết để học sinh có thể vận dụng ngay lý thuyết, nắm bài một cách hiệu quả nhất. Mời các bạn đón xem:

Lý thuyết Giới hạn của dãy số (Chân trời sáng tạo) hay, chi tiết | Lý thuyết Toán 11

Bài giải Bài 1: Giới hạn của dãy số

A. Lý thuyết Giới hạn của dãy số

1. Giới hạn hữu hạn của dãy số

a, Giới hạn 0 của dãy số

- Dãy số (un) có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý , kể tử một số hạng nào đó trở đi.

 Kí hiệu $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=0$ hay $u_n\to 0$khi  $n\to +\mathrm{\infty }$ hay $lim{u}_n=0$.

* Chú ý:

+ $lim\frac{1}{n^k}=0,k\in \mathbb{Z}.$

+ Nếu $\left|q\right|<1$ thì $lim{q}^n=0$

b, Giới hạn hữu hạn của dãy số

Ta nói dãy số $\left(u_n\right)$ có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực, nếu $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left(u_n-a\right)=0$, kí hiệu $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=a$ hay $u_n\to a$ khi  $n\to +\mathrm{\infty }$.

* Chú ý:  Nếu $u_n=c$(c là hằng số) thì $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=c$

2. Các phép toán về giới hạn hữu hạn của dãy số

Cho $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=a,\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{v}_n=b$ và c là hằng số thì

• $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(u_n\pm v_n)=a\pm b$
• $\begin{array}{l}\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(c.u_n)=c.a\\ \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(u_n.v_n)=a.b\end{array}$
• $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\frac{u_n}{v_n})=\frac{a}{b}\left(b\ne 0\right)$
• Nếu $u_n\ge 0$ thì với mọi n và $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=a$ thì $a\ge 0$ và $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\sqrt{u_n}=\sqrt{a}$

  3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

  Cấp số nhân $\left(u_n\right)$ có công bội q thỏa mãn $\left|q\right|<1$ được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

  Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là:

  $S=\frac{u_1}{1-q}\left(\left|q\right|<1\right)$

  4. Giới hạn vô cực

  - Dãy số $\left(u_n\right)$được gọi là có giới hạn $+\mathrm{\infty }$khi $n\to +\mathrm{\infty }$nếu $u_n$ có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=+\mathrm{\infty }$ hay $u_n\to +\mathrm{\infty }$ khi $n\to +\mathrm{\infty }$.

  - Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là có giới hạn $-\mathrm{\infty }$khi $n\to +\mathrm{\infty }$ nếu $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left(-u_n\right)=+\mathrm{\infty }$, kí hiệu $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=-\mathrm{\infty }$ hay $u_n\to -\mathrm{\infty }$ khi $n\to +\mathrm{\infty }$.

  * Chú ý:

  • $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=+\mathrm{\infty }\iff \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(-u_n)=-\mathrm{\infty }$
  • Nếu $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=+\mathrm{\infty }$(hoặc$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=-\mathrm{\infty }$) thì $lim\frac{1}{u_n}=0$.
  • Nếu $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=0,u_n>0$và $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{v}_n=0,\mathrm{\forall }n$thì $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\frac{u_n}{v_n})=+\mathrm{\infty }$.

  *Nhận xét:

  $\begin{array}{l}a,lim{n}^k=+\mathrm{\infty },k\in \mathbb{N},k\ge 1.\\ b,lim{q}^n=+\mathrm{\infty };q\in \mathbb{R},q>1.\end{array}$

  

  B. Bài tập Giới hạn của dãy số

  Bài 2. Tính các giới hạn sau:

  a) $\lim \left(2n^3+n^2-4n-13\right)$ ;

  b) $\lim \left(4.2^n-2.3^n+13n\right)$ .

  Hướng dẫn giải

  

  

  Bài 1. Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội là $\frac{-3}{5}$ và tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.

  Hướng dẫn giải

  

  Suy ra số hạng đầu tiên của dãy là: u₁ = 1.

  Khi đó tổng cấp số nhân lùi vô hạn là:

  

  Vậy số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn là:  và tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là $S=\frac{5}{8}$ .

  Bài 3. Tính các giới hạn sau:

  a) $\lim \frac{2n+6}{n-3}$ ;

  b) $\lim \frac{n^3-n+3}{1-2n^3}$ ;

  c) $\lim \frac{3^n-4^n+2}{3.4^n-5.2^n}$ .

  Hướng dẫn giải

  a) $\lim \frac{2n+6}{n-3}=\lim \frac{2+\frac{6}{n}}{1-\frac{3}{n}}=2$ ;

  b) $\lim \frac{n^3-n+3}{1-2n^3}=\lim \frac{1-\frac{n}{n^3}+\frac{3}{n^3}}{\frac{1}{n^3}-2}=\lim \frac{1-\frac{1}{n^2}+\frac{3}{n^3}}{\frac{1}{n^3}-2}=\frac{-1}{2}$ ;

  

  Xem thêm Lý thuyết các bài  Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

  Lý thuyết Bài 3: Cấp số nhân

  Lý thuyết Bài 2: Giới hạn của hàm số

  Lý thuyết Bài 3: Hàm số liên tục

  Lý thuyết Bài 1: Điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

  Lý thuyết Bài 2: Hai đường thẳng song song