Với giải SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo trang 79 chi tiết trong Bài 2: Giới hạn của hàm số giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán 11 trang 79 Tập 1 (Chân trời sáng tạo)

Bài 1 trang 79 Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to -2}{\lim }\left(x^2-7x+4\right)$;

b) $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x-3}{x^2-9}$;

c) $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{3-\sqrt{x+8}}{x-1}$.

Lời giải:

a)

 $$\begin{gathered} \underset{x\to -2}{\lim }\left(x^2-7x+4\right)=\underset{x\to -2}{\lim }{x}^2-7.\underset{x\to -2}{\lim }x+\underset{x\to -2}{\lim }4 \\ =4-7.\left(-2\right)+4=22 \end{gathered}$$.

b) $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x-3}{x^2-9}=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x-3}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{1}{x+3}=\frac{1}{6}$

c)

$$\begin{gathered} \underset{x\to 1}{\lim }\frac{3-\sqrt{x+8}}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\left(3-\sqrt{x+8}\right)\left(3-+\sqrt{x+8}\right)}{\left(x-1\right)\left(3-\sqrt{x+8}\right)} \\ =\underset{x\to 1}{\lim }\frac{9-x-8}{\left(x-1\right)\left(3+\sqrt{x+8}\right)} \end{gathered}$$

$=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{-1}{3+\sqrt{x+8}}=-\frac{1}{6}$.

Bài 2 trang 79 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số .

Tìm các giới hạn sau: $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right);\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right);\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)$ (nếu có).

Lời giải:

+) Với dãy số (x_n) bất kì, x_n ≤ 1 và x_n → 1. Khi đó f(x_n) = $-x_n^2$ nên limf(x_n) = $\lim \left(-x_n^2\right)=-1$.

Vì vậy $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=-1$.

+) Với dãy số (x_n) bất kì, x_n > 1 và x_n → 1. Khi đó f(x_n) = x_n nên limf(x_n) = lim(x_n) = 1.

Vì vậy $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=1$.

+) Vì $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)\ne \underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)$ nên không tồn tại $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)$.

Bài 3 trang 79 Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{4x+3}{2x}$;

b) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2}{3x+1}$;

c)$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^2+1}}{x+1}$.

Lời giải:

a) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{4x+3}{2x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{4+\frac{3}{x}}{2}=2$.

b) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2}{3x+1}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\frac{2}{x}}{3+\frac{1}{x}}=0$.

c) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^2+1}}{x+1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^2+1}}{x+1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{1+\frac{1}{x}}=1$.

Bài 4 trang 79 Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\frac{1}{x+1}$;

b) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(1-x^2\right)$;

c) $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{x}{3-x}$.

Lời giải:

a) $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\frac{1}{x+1}=\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\frac{\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}=0$;

b) Ta viết: $1-x^2=x^2.\left(\frac{1}{x^2}-1\right)$

Ta có: $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^2=+\infty ;\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\frac{1}{x^2}-1\right)=-1$

Do đó: $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(1-x^2\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^2\left(\frac{1}{x^2}-1\right)=-\infty$.

c) Ta viết: $\frac{x}{3-x}=x.\frac{1}{3-x}$

Ta có: $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }x=3;\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{1}{3-x}=+\infty$

Do đó: $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{x}{3-x}=\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\left(x.\frac{1}{3-x}\right)=\underset{x\to 3^{+}}{\lim }x.\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{1}{3-x}=+\infty$.

Bài 5 trang 79 Toán 11 Tập 1: Trong hồ có chứa 6 000 lít nước ngọt. Người ta bơm nước biển có nồng độ muối là 30 gam/lít vào hồ với tốc độ 15 lít/phút.

a) Chứng tỏ rằng nồng độ muối của nước trong hồ sau t phút kể từ khi bắt đầu bơm là $C\left(t\right)=\frac{30t}{400+t}$ (gam/lít).

b) Nồng độ muối như thế nào nếu t → +∞.

Lời giải:

a) Sau t phút số lít nước biển bơm vào là: 15t (lít).

Khi đó số gam muối trong 15t lít nước biển là: 30.15t (gam).

Tổng số lít nước trong hồ là: 6000 + 15t (lít).

Nồng độ muối của nước trong hồ sau t phút kể từ khi bắt đầu bơm là: $C\left(t\right)=\frac{30.15t}{6000+15t}=\frac{30t}{400+t}$ (gam/lít).

b) Khi t → +∞ thì $\underset{t\to +\infty }{\lim }C\left(t\right)=\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{30t}{400+t}=\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{30}{\frac{400}{t}+1}=30$.

Vậy nồng độ muối trong hồ gần đến 30gam/lít khi t → +∞.

Bài 6 trang 79 Toán 11 Tập 1: Một thấu kính hội tụ có tiêu cự là f > 0 không đổi. Gọi d và d’ lần lượt là khoảng cách từ vật thật và ảnh của nó tới quang tâm O của thấu kính (Hình 5). Ta có công thức $\frac{1}{d}+\frac{1}{d\text{'}}=\frac{1}{f}$ hay $d\text{'}=\frac{df}{d-f}$.

Xét hàm số $g\left(d\right)=\frac{df}{d-f}$. Tìm các giới hạn sau đây và giải thích ý nghĩa.

a) $\underset{d\to f^{+}}{\lim }g\left(d\right)$;

b) $\underset{d\to +\infty }{\lim }g\left(d\right)$.

Lời giải:

a) Ta có: $\underset{d\to f^{+}}{\lim }g\left(d\right)=\underset{d\to f^{+}}{\lim }\frac{df}{d-f}=\underset{d\to f^{+}}{\lim }df.\underset{d\to f^{+}}{\lim }\frac{1}{d-f}=+\infty$.

Như vậy khi khoảng cách của vật đến quang tâm O gần bằng tiêu cự của thấu kính thì khoảng cách từ ảnh đến quang tâm O của thấu kính càng lớn.

b) Ta có: $\underset{d\to +\infty }{\lim }g\left(d\right)=\underset{d\to +\infty }{\lim }\frac{df}{d-f}=\underset{d\to +\infty }{\lim }\frac{f}{1-\frac{f}{d}}=f$.

Như vậy khi khoảng cách của vật đến quang tâm O càng lớn thì khoảng cách từ ảnh đến quang tâm O của thấu kính càng gần tiêu cự.