Toptailieu.vn xin giới thiệu Lý thuyết Hàm số lượng giác (Kết nối tri thức) hay, chi tiết | Lý thuyết Toán 11 Bài viết gồm phần lý thuyết trọng tâm nhất được trình bày một cách dễ hiểu, dễ nhớ bên cạnh đó là bộ câu hỏi trắc nghiệm có hướng dẫn giải chi tiết để học sinh có thể vận dụng ngay lý thuyết, nắm bài một cách hiệu quả nhất. Mời các bạn đón xem:

Lý thuyết Hàm số lượng giác (Kết nối tri thức) hay, chi tiết | Lý thuyết Toán 11

Bài giải Bài 3: Hàm số lượng giác

A. Lý thuyết Hàm số lượng giác

- Hàm số cho bằng công thức $y=\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$được gọi là hàm số tang, kí hiệu là y = tanx. Tập xác định của hàm số tang là $\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{\frac{\pi }{2}+k\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}$.

- Hàm số cho bằng công thức $y=\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$được gọi là hàm số tang, kí hiệu là y = tanx. Tập xác định của hàm số tang là $\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{k\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}$.

2. Hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn

a, Hàm số chẵn, hàm số lẻ

Cho hàm số y = f(x) có tập xác định là D.

+) Hàm số f(x) được gọi là hàm số chẵn nếu $\mathrm{\forall }x\in D$thì $-x\in D$và $f(-x)=f(x)$. Đồ thị của một hàm số chẵn nhận trục tung (Oy) làm trục đối xứng.

+) Hàm số f(x) được gọi là hàm số lẻ nếu $\mathrm{\forall }x\in D$thì $-x\in D$và $f(-x)=-f(x)$. Đồ thị của một hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

b, Hàm số tuần hoàn

Hàm số y = f(x) có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại số T $\ne$0 sao cho với mọi $x\in D$ta có:

+) $x+T\in D$và $x-T\in D$

+) $f(x+T)=f(x)$

Số T dương nhỏ nhất thỏa mãn cách điều kiện trên (nêu có) được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó.

* Nhận xét:

Các hàm số y = sinx, y=cosx tuần hoàn chu kì 2$\pi$.

Các hàm số y = tanx, y=cotx tuần hoàn chu kì $\pi$.

3. Đồ thị và tính chất của hàm số y =  sinx

- Tập xác định là $\mathbb{R}$.

- Tập giá trị là [-1;1].

- Là hàm số lẻ và tuần hoàn chu kì 2$\pi$.

- Đồng biến trên mỗi khoảng $\left(-\frac{\pi }{2}+k2\pi ;\frac{\pi }{2}+k2\pi \right)$ và nghịch biến trên mỗi khoảng $\left(\frac{\pi }{2}+k2\pi ;\frac{3\pi }{2}+k2\pi \right)$.

- Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ và gọi là một đường hình sin.

4. Đồ thị và tính chất của hàm số y =  cosx

Tập xác định là $\mathbb{R}$.

Tập giá trị là [-1;1].

Là hàm số chẵn và tuần hoàn chu kì 2$\pi$.

Đồng biến trên mỗi khoảng $\left(-\pi +k2\pi ;k2\pi \right)$ và nghịch biến trên mỗi khoảng $\left(k2\pi ;\pi +k2\pi \right)$.

Có đồ thị là một đường hình sin đối xứng qua trục tung.

B. Bài tập Hàm số lượng giác

Bài 1. Tìm tập giá trị của hàm số sau:

a) y = 1+ $\sqrt{\sin x}$;

b) y = 3cos - 1.

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định của hàm số là sin x ≥ 0;

Vì –1 ≤ sin x ≤ 1 nên kết hợp với điều kiện xác định, ta có 0 ≤ sin x ≤ 1

Suy ra $0\le \sqrt{s\text{inx}}\le 1$ ⇒ 1+0 $\le$1 + $\sqrt{\sin x}$ $\le$ 1 + 1 ⇒ 1$\le$1+$\sqrt{\sin x}$$\le$2

⇒ 1 ≤ y ≤ 2

Vậy tập giá trị của hàm số y=1+$\sqrt{\sin x}$ là [1; 2].

b) Ta có $-1\le \cos$$\le$1, $\forall$x$\in$R ⇔ -3$\le$3cos $\le$3, $\forall$x$\in$R

⇔ -4$\le$3cos - 1$\le$2, $\forall$x$\in$R

⇔ –4 ≤ y ≤ 2, ∀x ∈ ℝ.

Vậy tập giá trị của hàm số y = 3cos - 1 là [–4; 2].

Bài 2. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

a) f(x) = sinx cosx;

b) g(x) = sin²x + cos2x.

Hướng dẫn giải

a) Tập xác định của hàm số f(x) là D = ℝ.

Do đó, nếu x ∈ D thì –x ∈ D.

Ta có f(–x) = sin(–x) cos(–x) = –sinx . cosx = – f(x).

Vậy hàm số f(x) = sinx cosx là hàm số lẻ.

b) Tập xác định của hàm số g(x) là D = ℝ.

Do đó, nếu x ∈ D thì –x ∈ D.

Ta có g(–x) = sin²(–x) + cos2(–x) = [–sinx]² + cos(–2x) = sin²x + cos2x = f(x).

Vậy hàm số g(x) = sin²x + cos2x là hàm số chẵn.

Bài 3. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y=\frac{1+\sin x}{\cos x}$;

b) $y=\sqrt{\frac{1+\cos x}{1-\cos x}}$.

Hướng dẫn giải

a) Biểu thức $\frac{1+\sin x}{\cos x}$ có nghĩa khi cos x ≠ 0, tức là x ≠ $\frac{\pi }{2}+k\pi$(k ∈ ℤ).

Vậy tập xác định của hàm số $y=\frac{1+\sin x}{\cos x}$ là D = R\.

b) Biểu thức $\sqrt{\frac{1+\cos x}{1-\cos x}}$ có nghĩa khi  (1)

Mặt khác, vì –1 ≤ cosx ≤ 1 ∀x ∈ ℝ nên 1 + cosx ≥ 0 và 1 – cosx ≥ 0

⇒ $\frac{1+\cos x}{1-\cos x}\ge 0$ khi 1 – cosx ≠ 0

Do đó (1) ⇔ 1 – cosx ≠ 0 ⇔ cosx ≠ 1 ⇔ x ≠ k2ℼ (k ∈ ℤ).

Vậy tập xác định của hàm số $y=\sqrt{\frac{1+\cos x}{1-\cos x}}$ là D = ℝ \ {k2ℼ | k ∈ ℤ}.

Xem thêm Lý thuyết các bài  Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 2: Công thức lượng giác

Lý thuyết Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

Lý thuyết Bài 5: Dãy số

Lý thuyết Bài 6: Cấp số cộng

Lý thuyết Bài 7: Cấp số nhân