Toptailieu.vn xin giới thiệu Lý thuyết Dãy số (Kết nối tri thức) hay, chi tiết | Lý thuyết Toán 11 Bài viết gồm phần lý thuyết trọng tâm nhất được trình bày một cách dễ hiểu, dễ nhớ bên cạnh đó là bộ câu hỏi trắc nghiệm có hướng dẫn giải chi tiết để học sinh có thể vận dụng ngay lý thuyết, nắm bài một cách hiệu quả nhất. Mời các bạn đón xem:

Lý thuyết Dãy số (Kết nối tri thức) hay, chi tiết | Lý thuyết Toán 11

Bài giải Bài 5: Dãy số

A. Lý thuyết Dãy số

1. Định nghĩa dãy số

• Dãy số vô hạn

Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương ${\mathbb{N}}^{\ast }$được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu là $u=u\left(n\right)$.

Ta thường viết $u_n$thay cho $u\left(n\right)$ và kí hiệu dãy số $u=u\left(n\right)$bởi $u\left(n\right)$, do đó dãy số $\left(u_n\right)$được viết dưới dạng khai triển $u_1,u_2,u_3,...,u_n,...$

Số $u_1$ là số hạng đầu; $u_n$là số hạng thứ n và gọi là số hạng tổng quát của dãy số.

*Chú ý: Nếu $\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast },u_n=c$thì $\left(u_n\right)$được gọi là dãy số không đổi.

• Dãy số hữu hạn

Mỗi hàm số u xác định trên tập $M=\left\{1;2;3;...;m\right\},m\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ được gọi là một dãy số hữu hạn.

Dạng khai triển của dãy số hữu hạn là $u_1,u_2,u_3,...,u_m$.

Số $u_1$ gọi là số hạng đầu, $u_m$là số hạng cuối.

2. Cách cho một dãy số

Một dãy số có thể cho bằng:

+) Liệt kê các số hạng (chỉ dùng cho các dãy hữu hạn và có ít số hạng).

+) Công thức của số hạng tổng quát.

+) Phương pháp mô tả.

+) Phương pháp truy hồi.

3. Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn

Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là dãy số tăng nếu ta có $u_{n+1}>u_n$$,\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là dãy số giảm nếu ta có $u_{n+1}<u_n$$,\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là bị chặn trên nếu $\mathrm{\exists }$ số M sao cho $u_n\le M,$ $\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là bị chặn dưới nếu $\mathrm{\exists }$ số m sao cho $u_n\ge m,$ $\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$

Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho $m\le u_n\le M,$$\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

B. Bài tập Dãy số

Bài 1: Trong các dãy số (u_n) sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn?

a) u_n = 2n – 1;

b) u_n = $\frac{2n+2}{2n+3}$;

c) u_n = cos n.

Hướng dẫn giải

a) u_n = 2n – 1 ≥ 1 với ∀n ∈ ℕ^*

Vậy dãy số (u_n) bị chặn dưới.

b) Dãy số (u_n) bị chặn trên, vì $u_n=\frac{2n+2}{2n+3}=\frac{2n+3-1}{2n+3}=1-\frac{1}{2n+3}<1$, ∀n ∈ ℕ^*.

Dãy số (u_n) bị chặn dưới, vì $u_n=\frac{2n+2}{2n+3}\ge 0$, ∀n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (u_n) bị chặn.

c) Ta có: −1 ≤ cos n ≤ 1 ∀n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (u_n) bị chặn.

Bài 2: Ông An gửi tiết kiệm 50 triệu đồng kì hạn 1 tháng với lãi suất 7% một năm theo hình thức tính lãi kép. Số tiền (triệu đồng) của ông An thu được sau n tháng được cho bởi công thức

$A_n$= 50.

a) Tìm số tiền ông An nhận được sau tháng thứ nhất, sau tháng thứ hai.

b) Tìm số tiền ông An nhận được sau 1 năm.

Hướng dẫn giải

a) Số tiền ông An nhận được sau tháng thứ nhất là:

$A_1$= 50 = 50,2917 (triệu đồng).

Số tiền ông An nhận được sau tháng thứ hai là:

$A_2$= 50 = 50,585 (triệu đồng).

b) 1 năm = 12 tháng

Số tiền ông An nhận được sau 1 năm là:

$A_{12}$= 50 = 53,6145 (triệu đồng).

Bài 3: Xét tính tăng, giảm của dãy số (u_n), biết:

a) u_n = 3n – 1;

b) u_n = – 3n + 1.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: u_n+1 – u_n = [3(n + 1) – 1] – (3n – 1) = (3n + 2) – 3n + 1 = 3 > 0, tức là u_n+1 > u_n

Suy ra đây là dãy số tăng.

b) Ta có: u_n+1 – u_n = [–3(n + 1) + 1] – (–3n + 1) = (–3n – 2) + 3n – 1 = – 3 < 0, tức là u_n+1 < u_n.

Suy ra đây là dãy số giảm.

Bài 4: Dãy số (u_n) cho bởi hệ thức truy hồi: u₁ = 1, u­_n = n . u_n-1 với n ≥ 2.

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.

b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát u_n.

Hướng dẫn giải

a) Năm số hạng đầu của dãy số là: 1, 2, 6, 24, 120.

b) Ta thấy u₁ =1!, u₂ = 2!, u₃ = 3!, u₄ = 4!, u₅ = 5!.

Vậy công thức số hạng tổng quát là u_n = n!.

Bài 5: Viết số hạng tổng quát của dãy số tăng gồm tất cả các số nguyên dương mà mỗi số hạng của nó:

a) Đều chia hết cho 2;

b) Khi chia cho 3 dư 1.

Hướng dẫn giải

a) u_n = 2n (∀n ∈ ℕ^*).

b) u_n = 3n + 1 (∀n ∈ ℕ^*).

Bài 6: Viết năm số hạng đầu và số hạng thứ 100 của các dãy số (u_n) có số hạng tổng quát cho bởi:

a) u­_n = 4n – 2;

b) u_n = 3 . 2ⁿ + 1.

Hướng dẫn giải

a) Năm số hạng đầu của dãy số là: 2, 6, 10, 14, 18.

Số hạng thứ 100 của dãy số là: u­₁₀₀ = 4.100 – 2 = 398.

b) Năm số hạng đầu của dãy số là: 7, 13, 25, 49, 97.

Số hạng thứ 100 của dãy số là: u₁₀₀ = 3 . 2¹⁰⁰ + 1.

Xem thêm Lý thuyết các bài  Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

Lý thuyết Bài 6: Cấp số cộng

Lý thuyết Bài 7: Cấp số nhân

Lý thuyết Bài 8: Mẫu số liệu ghép nhóm

Lý thuyết Bài 9: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm