Toptailieu.vn xin giới thiệu Lý thuyết Giới hạn của hàm số (Kết nối tri thức) hay, chi tiết | Lý thuyết Toán 11 Bài viết gồm phần lý thuyết trọng tâm nhất được trình bày một cách dễ hiểu, dễ nhớ bên cạnh đó là bộ câu hỏi trắc nghiệm có hướng dẫn giải chi tiết để học sinh có thể vận dụng ngay lý thuyết, nắm bài một cách hiệu quả nhất. Mời các bạn đón xem:

Lý thuyết Giới hạn của hàm số (Kết nối tri thức) hay, chi tiết | Lý thuyết Toán 11

Bài giải Bài 16: Giới hạn của hàm số

A. Lý thuyết Giới hạn của hàm số

1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

Giả sử (a;b) là một khoảng chứa điểm $x_0$và hàm số $y=f(x)$xác định trên khoảng (a;b), có thể trừ điểm $x_0$. Ta nói hàm số $f(x)$có giới hạn là số L khi $x$ dần tới $x_0$ nếu với dãy số $\left(x_n\right)$bất kì, $x_n\in \left(a;b\right)$,$x_n\ne x_0$ và $x_n\to x_0$, ta có$f(x_n)\to L$, kí hiệu $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=L$hay $f(x)\to L$, khi $x_n\to x_0$.

*Quy tắc tính giới hạn của hàm số tại một điểm

a, Nếu $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=L$và $\underset{x\to x_0}{lim}g(x)=M$thì

$\underset{x\to x_0}{lim}\left[f(x)\pm g(x)\right]=L\pm M$

$\underset{x\to x_0}{lim}\left[f(x).g(x)\right]=L.M$

$\underset{x\to x_0}{lim}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{L}{M}\left(M\ne 0\right)$

b, Nếu $f(x)\ge 0$với mọi $x\in \left(a;b\right)\mathrm{\setminus }\left\{x_0\right\}$ và $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=L$ thì $L\ge 0$và $\underset{x\to x_0}{lim}\sqrt{f(x)}=\sqrt{L}$.

2. Giới hạn một bên

Cho hàm số $y=f(x)$xác định trên khoảng $\left(x_0;b\right)$. Ta nói số L là giới hạn bên phải của $f(x)$khi $x\to x_0$ nếu với dãy số $\left(x_n\right)$bất kì thỏa mãn $x_0<x_n<b$ và $x_n\to x_0$ta có $f(x_n)\to L$, kí hiệu $\underset{x\to {x_0}^{+}}{lim}f(x)=L$.

Cho hàm số $y=f(x)$xác định trên khoảng $\left(a;x_0\right)$. Ta nói số L là giới hạn bên trái của khi $x\to x_0$ nếu với dãy số $\left(x_n\right)$bất kì thỏa mãn $a<x_n<x_0$ và $x_n\to x_0$ta có $f(x_n)\to L$, kí hiệu $\underset{x\to {x_0}^{-}}{lim}f(x)=L$.

3. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

Cho hàm số $y=f(x)$xác định trên khoảng $\left(a;+\mathrm{\infty }\right)$. Ta nói hàm số $f(x)$có giới hạn là số L khi $x\to +\mathrm{\infty }$ nếu với dãy số $\left(x_n\right)$bất kì $x_n>a$ và $x_n\to +\mathrm{\infty }$ta có $f(x_n)\to L$, kí hiệu $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=L$ hay $f(x)\to L$ khi $x\to +\mathrm{\infty }$.

Cho hàm số $y=f(x)$xác định trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };b\right)$. Ta nói hàm số $f(x)$có giới hạn là số L khi $x\to -\mathrm{\infty }$ nếu với dãy số $\left(x_n\right)$bất kì $x_n<b$ và $x_n\to -\mathrm{\infty }$ta có $f(x_n)\to L$, kí hiệu $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=L$ hay $f(x)\to L$ khi $x\to -\mathrm{\infty }$.

* Nhận xét:

Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn tại một điểm cũng đúng cho giới hạn hữu hạn tại vô cực.

Với c là hằng số, $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}c=c$, $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}c=c$.

Với k là một số nguyên dương, ta có: $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\frac{1}{x^k})=0,\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}(\frac{1}{x^k})=0$.

4. Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm

a, Giới hạn vô cực

- Giả sử (a;b) là một khoảng chứa $x_0$và hàm số $y=f(x)$xác định trên khoảng $\left(a;b\right)\mathrm{\setminus }\left\{x_0\right\}$. Ta nói hàm số $f(x)$có giới hạn là $+\mathrm{\infty }$khi $x$ dần tới $x_0$ nếu với dãy số $\left(x_n\right)$bất kì, $\left(a;b\right)\mathrm{\setminus }\left\{x_0\right\}$ và $x_n\to x_0$, ta có$f(x_n)\to +\mathrm{\infty }$, kí hiệu $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }$

Ta nói hàm số $f(x)$có giới hạn $-\mathrm{\infty }$khi $x\to x_0$, kí hiệu $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=-\mathrm{\infty }$, nếu $\underset{x\to x_0}{lim}\left[-f(x)\right]=+\mathrm{\infty }$.

- Cho hàm số $y=f(x)$xác định trên khoảng $\left(x_0;b\right)$. Ta nói hàm số $f(x)$có giới hạn $+\mathrm{\infty }$ khi $x\to x_0$ về bên phải nếu với dãy số $\left(x_n\right)$bất kì thỏa mãn $x_0<x_n<b$ và $x_n\to x_0$ta có $f(x_n)\to +\mathrm{\infty }$, kí hiệu $\underset{x\to {x_0}^{+}}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }$.

Cho hàm số $y=f(x)$xác định trên khoảng $\left(a;x_0\right)$. Ta nói hàm số $f(x)$có giới hạn $+\mathrm{\infty }$ khi $x\to x_0$ về bên trái nếu với dãy số $\left(x_n\right)$bất kì thỏa mãn $a<x_n<x_0$ và $x_n\to x_0$ta có $f(x_n)\to +\mathrm{\infty }$, kí hiệu $\underset{x\to {x_0}^{-}}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }$.

Các giới hạn một bên$\underset{x\to {x_0}^{+}}{lim}f(x)=-\mathrm{\infty }$, $\underset{x\to {x_0}^{-}}{lim}f(x)=-\mathrm{\infty }$ được định nghĩa tương tự.

b, Một số quy tắc tính giới hạn vô cực

*Giới hạn của tích$\underset{x\to x_0}{lim}f(x).g(x)$

*Giới hạn của thương $\frac{f(x)}{g(x)}$

Bài 1: Cho hàm số f(x) = $\frac{2x^2-2}{x-1}$ và g(x) = x + 3. Khẳng định nào sau đây là sai?

a) f(x) = g(x).

b) $\underset{x\to 1}{\lim }\text{f(x)}=\underset{x\to 1}{\lim }\text{g(x)}$.

Hướng dẫn giải

a) Biểu thức f(x) có nghĩa khi x ≠ 1.

Ta có: f(x) =  = 2(x+1) = 2x+2 với mọi x ≠ 1.

Biểu thức g(x) có nghĩa với mọi x.

Do đó f(x) ≠ g(x). Suy ra khẳng định a) là khẳng định sai.

b) $\underset{x\to 1}{\lim }$f(x) = $\underset{x\to 1}{\lim }$(2x+2) = 4

$\underset{x\to 1}{\lim }$g(x) = $\underset{x\to 1}{\lim }$(x+3) = 4

Vậy $\underset{x\to 1}{\lim }$f(x) = $\underset{x\to 1}{\lim }$g(x), do đó khẳng định b) là khẳng định đúng.

Bài 2: Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x^2+1}{2\sqrt{x}}$;

b) $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2+x-2}{x-1}$.

Hướng dẫn giải

a) 

$=\frac{3\cdot 3+1}{2\sqrt{3}}=\frac{5}{\sqrt{3}}$

b) Vì (x – 1) → 0 hay khi x → 1, nên ta chưa thể áp dụng ngay quy tắc tính giới hạn của hàm số tại một điểm.

Nhưng với x ≠ 1, ta có:

$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2+x-2}{x-1}$==$\underset{x\to 1}{\lim }$(x+2) = 3.

Bài 3: Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to +\infty }{\lim }$(x³-2x);

b) $\underset{x\to -\infty }{\lim }$(x³-3x);

c) .

Hướng dẫn giải

a) 

b) 

c) Ta có: $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }$(x-1) = 0 và x – 1 < 0 với mọi x < 1.

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }$(2x - 4) = 2.1 - 4 = -2<0.

Do đó, 

Bài 4: Tìm các giới hạn một bên:

a) $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x-3}{x-1}$;

b) $\underset{x\to 4^{-}}{\lim }\frac{x^2-2x+3}{4-x}$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }$(x-1) = 0 và x – 1 > 0 với mọi x > 1

$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }$(x-3) = 1-3 = -2 <0

Do đó: $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x-3}{x-1}$ = – ∞.

b) Ta có: $\underset{x\to 4^{-}}{\lim }$(4-x) = 0 và 4 – x > 0 với mọi x < 4

$\underset{x\to 4^{-}}{\lim }$(x²-2x+3) = 4²-8+3 = 11 > 0

Do đó: $\underset{x\to 4^{-}}{\lim }\frac{x^2-2x+3}{4-x}$ = +∞.

Xem thêm Lý thuyết các bài Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 14: Phép chiếu song song

Lý thuyết Bài 15: Giới hạn của dãy số

Lý thuyết Bài 17: Hàm số liên tục