Lý thuyết Giới hạn của dãy số (Kết nối tri thức) hay, chi tiết

Lý thuyết Giới hạn của dãy số (Kết nối tri thức) hay, chi tiết | Lý thuyết Toán 11

Giang Ngày: 14-11-2023 Lớp 11

354

Toptailieu.vn xin giới thiệu Lý thuyết Giới hạn của dãy số (Kết nối tri thức) hay, chi tiết | Lý thuyết Toán 11 Bài viết gồm phần lý thuyết trọng tâm nhất được trình bày một cách dễ hiểu, dễ nhớ bên cạnh đó là bộ câu hỏi trắc nghiệm có hướng dẫn giải chi tiết để học sinh có thể vận dụng ngay lý thuyết, nắm bài một cách hiệu quả nhất. Mời các bạn đón xem:

Lý thuyết Giới hạn của dãy số (Kết nối tri thức) hay, chi tiết | Lý thuyết Toán 11

Bài giải Bài 15: Giới hạn của dãy số

A. Lý thuyết Giới hạn của dãy số

1. Giới hạn hữu hạn của dãy số

Ta nói dãy số có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý , kể tử một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu hay khi .

Ta nói dãy số có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực, nếu , kí hiệu hay khi .

* Chú ý: Nếu $u_{n} = c$ (c là hằng số) thì $lim_{n \to + \infty} u_{n} = c$

2. Định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số

a, Nếu $lim_{n \to + \infty} u_{n} = a, lim_{n \to + \infty} v_{n} = b$ thì

$lim_{n \to + \infty} (u_{n} \pm v_{n}) = a \pm b$

$lim_{n \to + \infty} (u_{n} . v_{n}) = a . b$

$lim_{n \to + \infty} (\frac{u_{n}}{v_{n}}) = \frac{a}{b} (b \neq 0)$

b, Nếu $u_{n} \geq 0$ thì với mọi n và $lim_{n \to + \infty} u_{n} = a$ thì $a \geq 0$ và $lim_{n \to + \infty} \sqrt{u_{n}} = \sqrt{a}$ .

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

$S = \frac{u_{1}}{1 - q} (| q | < 1)$

4. Giới hạn vô cực của dãy số

Dãy số $(u_{n})$ được gọi là có giới hạn $+ \infty$ khi $n \to + \infty$ nếu $u_{n}$ có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu $lim_{x \to + \infty} u_{n} = + \infty$ hay $u_{n} \to + \infty$ khi $n \to + \infty$ .

Dãy số $(u_{n})$ được gọi là có giới hạn $- \infty$ khi $n \to + \infty$ nếu $lim_{x \to + \infty} (- u_{n}) = + \infty$ , kí hiệu $lim_{x \to + \infty} u_{n} = - \infty$ hay $u_{n} \to - \infty$ khi $n \to + \infty$ .

*Quy tắc:

Nếu $lim_{x \to + \infty} u_{n} = a$ và $lim_{x \to + \infty} v_{n} = + \infty$ (hoặc $lim_{x \to + \infty} v_{n} = - \infty$ ) thì $lim_{n \to + \infty} (\frac{u_{n}}{v_{n}}) = 0$ .

Nếu $lim_{x \to + \infty} u_{n} = a > 0$ và $lim_{x \to + \infty} v_{n} = 0, \forall n$ thì $lim_{n \to + \infty} (\frac{u_{n}}{v_{n}}) = + \infty$ .

Nếu $lim_{x \to + \infty} v_{n} = a > 0$ và $lim_{x \to + \infty} u_{n} = + \infty$ thì $lim_{n \to + \infty} (u_{n} . v_{n}) = + \infty$ .

B. Bài tập Giới hạn của dãy số.

Bài 1: Tìm các giới hạn sau:

a) $\lim_{n \to + \infty}$ (2n³-3n+2);

b) $\lim_{n \to + \infty} \frac{2 n + 1}{n - 2}$ ;

c) Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức Bài 15: Giới hạn của dãy số

Hướng dẫn giải

a) $\lim_{n \to + \infty}$ (2n³-3n+2) = $\lim_{n \to + \infty}$ Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức Bài 15: Giới hạn của dãy số = + $\infty$

Vì $\lim_{n \to + \infty} n^{3} = + \infty$ và Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức Bài 15: Giới hạn của dãy số = 2.

b) $\lim_{n \to + \infty} \frac{2 n + 1}{n - 2} = \lim_{n \to + \infty} \frac{2 + \frac{1}{n}}{1 - \frac{2}{n}}$ = 2.

c) Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức Bài 15: Giới hạn của dãy số

$= \lim_{n \to + \infty} \frac{4 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^{2}}}{9 - \frac{6}{n} + \frac{1}{n^{2}}} = \frac{4}{9}$

Bài 2: Cho hai dãy số không âm (u_n) và (v_n) với $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 3$ và $\lim_{n \to + \infty} v_{n} = 5$ . Tìm giới hạn của: $\lim_{n \to + \infty} \frac{v_{n}^{2}}{v_{n} - u_{n}}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có: $\lim_{n \to + \infty} v_{n} = 5$ , do đó $\lim_{n \to + \infty} v_{n}^{2} =$ $\lim_{n \to + \infty}$ (v_n . u_n) = 5.5 = 25.

$\lim_{n \to + \infty}$ (v_n - u_n) = 5-3 = 2.

Vậy $\lim_{n \to + \infty} \frac{v_{n}^{2}}{v_{n} - u_{n}}$ = $\frac{25}{2}$ .

Bài 3: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: 3; – 1; Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức Bài 15: Giới hạn của dãy số

Hướng dẫn giải

u_n là cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu u₁ = 3 và công bội q = $\frac{- 1}{3}$ .

Tổng của cấp số nhân này là: S = $\frac{u_{1}}{1 - q}$ = $\frac{3}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{9}{4}$

Bài 4: Một cấp số nhân lùi vô hạn có tổng các số hạng bằng 56, tổng bình phương các số hạng bằng 448. Số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức Bài 15: Giới hạn của dãy số