Toptailieu.vn xin giới thiệu Lý thuyết Hàm số liên tục (Kết nối tri thức) hay, chi tiết | Lý thuyết Toán 11 Bài viết gồm phần lý thuyết trọng tâm nhất được trình bày một cách dễ hiểu, dễ nhớ bên cạnh đó là bộ câu hỏi trắc nghiệm có hướng dẫn giải chi tiết để học sinh có thể vận dụng ngay lý thuyết, nắm bài một cách hiệu quả nhất. Mời các bạn đón xem:

Lý thuyết Hàm số liên tục (Kết nối tri thức) hay, chi tiết | Lý thuyết Toán 11

Bài giải Bài 17: Hàm số liên tục

A. Lý thuyết Hàm số liên tục

1. Hàm số liên tục tại 1 điểm

 Cho hàm $y=f(x)$ xác định trên khoảng $\left(a;b\right)$chứa điểm $x_0$. Hàm số $f(x)$ được gọi là liên tục tại điểm $x_0$ nếu $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=f(x_0)$.

 Hàm số không liên tục tại $x_0$ được gọi là gián đoạn tại điểm đó.

2. Hàm số liên tục trên một khoảng

- Hàm số $y=f(x)$ được gọi là liên tục trên khoảng $\left(a;b\right)$ nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng này.

- Hàm số $y=f(x)$ được gọi là liên tục trên đoạn $\left[a;b\right]$nếu nó liên tục trên khoảng $\left(a;b\right)$ và $\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)=f(a),\underset{x\to b^{-}}{lim}f(x)=f(b)$.

*Nhận xét:

- Hàm số đa thức và hàm số $y=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x},y=c\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

- Các hàm số $y=\tan \mathrm{x},y=c\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{x},y=\sqrt{x}$ và hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng.

3. Một số tính chất cơ bản

Giả sử hai hàm số $y=f(x)$ và $y=g(x)$ liên tục tại điểm $x_0$. Khi đó:

a, Các hàm số $y=f(x)\pm g(x)$ và $y=f(x).g(x)$ liên tục tại điểm $x_0$.

b, Hàm số $y=\frac{f(x)}{g(x)}$ liên tục tại điểm $x_0$nếu $g(x_0)\ne 0$.

B. Bài tập Hàm số liên tục

Bài 1: Cho hàm số f(x) = . Xét tính liên tục của hàm số tại x = 0.

Hướng dẫn giải

Ta có: f(0) = 0

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }$f(x) = $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }$(x²+1) = 1

$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }$f(x) = $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }$x = 0

Vậy f(x) gián đoạn tại x = 0.

Bài 2: Cho hàm số f(x) = . Tìm giá trị của m để f(x) liên tục trên [0; +∞).

Hướng dẫn giải

+) Với x ∈ (0; 9): f(x) = $\frac{3-\sqrt{9-x}}{x}$ liên tục trên (0; 9).

+) Với x ∈ [9; +∞) thì f(x) = $\frac{3}{x}$ liên tục trên [9; +∞).

+) Tại x = 0 ta có f(0) = m

Vậy để hàm số liên tục trên [0; +∞) khi nó phải liên tục tại x = 0.

Suy ra: $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }$f(x) = m$\Rightarrow$m = $\frac{1}{6}$.

Vậy m = $\frac{1}{6}$ thì f(x) liên tục trên [0; +∞).

Bài 3: Cho f(x) và g(x) là các hàm số liên tục tại x = 1. Biết f(1) = 3 và $\underset{x\to 1}{\lim }$[2f(x)-g(x)] = 4. Tính g(1).

Hướng dẫn giải

Vì hàm số f(x) liên tục tại x = 1 nên hàm số 2f(x) cũng liên tục tại x = 1.

Mà hàm số g(x) liên tục tại x = 1. Do đó, hàm số y = 2f(x) – g(x) liên tục tại x = 1.

Suy ra: $\underset{x\to 1}{\lim }$[2f(x)-g(x)] = 2f(1) – g(1) = 4

Mà f(1) = 3 nên ta có: 2 . 3 – g(1) = 4, suy ra g(1) = 2.

Vậy g(1) = 2.

Xem thêm Lý thuyết các bài  Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 14: Phép chiếu song song

Lý thuyết Bài 15: Giới hạn của dãy số

Lý thuyết Bài 16: Giới hạn của hàm số