Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Phương pháp giải Hàm số bậc hai (50 bài tập mimh họa) HAY NHẤT 2024 gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 10 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Phương pháp giải Hàm số bậc hai (50 bài tập mimh họa) HAY NHẤT 2024

1. Lý thuyết

Xét hàm số $y=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$:

+) Tập xác định: $D=ℝ$.

+) Đồ thị:

Đồ thị $y=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$ là 1 parabol (P) có:

- Đỉnh $I\left(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta }{4a}\right)$ với $\Delta =b^2-4ac$.

- Trục đối xứng:$x=-\frac{b}{2a}\cdot$

- Với a > 0 parabol có bề lõm quay lên trên.

- Với a < 0 parabol có bề lõm quay xuống dưới.

+) Sự biến thiên:

Với a > 0, hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-\frac{b}{2a};+\infty \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;-\frac{b}{2a}\right)$.  Ta có bảng biến thiên:

Với a < 0, hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;-\frac{b}{2a}\right)$  và nghịch biến trên khoảng $\left(-\frac{b}{2a};+\infty \right)$.  Ta có bảng biến thiên:

2. Các dạng bài tập

Dạng 3.1: Xác định hệ số a, b, c của hàm số bậc hai

a. Phương pháp giải:

* Giả sử hàm số cần tìm có dạng $y=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$. Căn cứ theo giả thiết bài toán để thiết lập và giải hệ phương trình với ẩn a, b, c từ đó suy ra hàm số cần tìm.

* Một số kiến thức cần nhớ: 

- Một điểm $(x_0;y_0)$ thuộc đồ thị hàm số y = f(x) khi và chỉ khi $y_0=f\left(x_0\right)$.

- Đồ thị hàm số có đỉnh là $I(x_1;y_1)$

$\iff \left\{\begin{array}{l}-\frac{b}{2a}=x_1\\ y_1=a{\text{x}}_1^2+b{x}_1+c(hay{y}_1=-\frac{\Delta }{4a})\end{array}\right.$

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho hàm số bậc hai có đồ thị là parabol (P). Tìm hàm số đó biết:

a. (P) đi qua A(8; 0) và có đỉnh I(6; -12)

b. (P) có đỉnh I(2; 0) và cắt trục Oy tại điểm M(0; -1).

Hướng dẫn:

a. Giả sử hàm số bậc hai cần tìm có dạng: $y=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$

Do (P) có đỉnh I(6; -12) nên ta có:  $-\frac{b}{2a}=6\iff 12a+b=0$(1)

(P) đi qua A(8; 0) và I(6; -12) nên ta có:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}0=a{.8}^2+b.8+c\\ -12=a{.6}^2+b.6+c\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}64a+8b+c=0\\ 36a+6b+c=-12\end{array}\right. \left(2\right) \end{gathered}$$

Từ (1) và (2) ta có : 

$\left\{\begin{array}{l}12a+b=0\\ 36a+6b+c=-12\\ 64a+8b+c=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=3\\ b=-36\\ c=96\end{array}\right.$

Vậy hàm số cần tìm là :$y=3x^2-36x+96$

b. Giả sử hàm số bậc hai cần tìm có dạng: $y=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$

Theo bài ra, (P) có đỉnh $I\left(2;0\right)$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}-\frac{b}{2a}=2\\ -\frac{\Delta }{4a}=-\frac{b^2-4ac}{4a}=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}b=-4a\\ b^2=4ac\end{array}\right. \left(1\right) \end{gathered}$$

Lại có (P) cắt Oy tại điểm $M\left(0;-1\right)$ suy ra $y\left(0\right)=-1\iff c=-1$ (2)

Từ (1), (2) suy ra:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}b=-4a\\ b^2=4ac\\ c=-1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}b=-4a\\ b^2=-4a\\ c=-1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}b=-4a\\ b^2=b\\ c=-1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}b=-4a\\ b(b-1)=0\\ c=-1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{4}\\ b=1\\ c=-1\end{array}\right. \end{gathered}$$

(vì với $b=0\Rightarrow a=0$ loại)

Vậy hàm số cần tìm là :$y=-\frac{1}{4}{x}^2+x-1$.

Ví dụ 2: Xác định parabol $\left(P\right):y=m{x}^2+2mx+m^2+2m(m\ne 0)$ biết parabol có đỉnh nằm trên đường thẳng $y=x+7$.

Hướng dẫn:

Với $m\ne 0$ thì $\left(P\right):y=m{x}^2+2mx+m^2+2m$ có đỉnh là:

$I\left(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta }{4a}\right)\Rightarrow I\left(-1;m^2+m\right)$

Vì đỉnh nằm trên đường thẳng $y=x+7$ nên ta có:

$$\begin{gathered} m^2+m=-1+7 \\ \iff m^2+m-6=0 \\ \iff \left[\begin{array}{l}m=2\\ m=-3\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy parabol cần tìm là: $y=2x^2+4x+8$ hoặc $y=-3x^2-6x+3$.

Dạng 3.2: Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

a. Phương pháp giải:

Cho hàm số bậc hai $y=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$

* Sự biến thiên của hàm số:

- Với a > 0, hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-\frac{b}{2a};+\infty \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;-\frac{b}{2a}\right)$. Ta có bảng biến thiên:

- Với a < 0, hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;-\frac{b}{2a}\right)$  và nghịch biến trên khoảng $\left(-\frac{b}{2a};+\infty \right)$. Ta có bảng biến thiên:

* Cách vẽ đồ thị hàm số:

Bước 1: Xác định tọa độ đỉnh $I\left(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta }{4a}\right)$.

Bước 2: Vẽ trục đối xứng $x=-\frac{b}{2a}$. Đây là đường thẳng đi qua điểm $\left(-\frac{b}{2a};0\right)$ và song song với trục Oy.

Bước 3: Xác định thêm một số điểm thuộc đồ thị như: giao điểm với trục tung, trục hoành,…

Bước 4: Vẽ parabol.

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y=3x^2-4x+1$

Hướng dẫn:

+) Xét hàm số $y=3x^2-4x+1$ có: a = 3; b = -4; c = 1; $-\frac{b}{2a}=\frac{2}{3}$; $\Delta =b^2-4ac=4$;$-\frac{\Delta }{4a}=-\frac{1}{3}$

+) Parabol có đỉnh $I\left(\frac{2}{3};-\frac{1}{3}\right)$

+) Trục đối xứng: $x=\frac{2}{3}$

+) Giao điểm với trục Oy là C(0; 1)

+) Giao điểm với trục Ox là A(1; 0);$B\left(\frac{1}{3};0\right)$

+) Vì a = 1 > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng $\left(\frac{2}{3};+\infty \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;\frac{2}{3}\right)$.Ta có bảng biến thiên:

+) Vẽ đồ thị:

Ví dụ 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y=-x^2+4x-3$

Hướng dẫn:

+) Xét hàm số $y=-x^2+4x-3$ có: a = -1; b = 4; c = -3;$-\frac{b}{2a}=2$ ; $\Delta =b^2-4ac=4$;$-\frac{\Delta }{4a}=1$

+) Parabol có đỉnh

+) Trục đối xứng: x = 2

+) Giao điểm với trục Oy là C(0; -3)

+) Giao điểm với trục Ox là A(1; 0); B(3; 0)

+) Vì a = -1 < 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;2\right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left(2;+\infty \right)$

Ta có bảng biến thiên:

+) Vẽ đồ thị:

Dạng  3.3: Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị

a. Phương pháp giải:

Muốn tìm giao điểm của hai đồ thị y = f(x) và y = g(x). Ta xét phương trình hoành độ giao điểm f(x) = g(x) (1).

-Nếu phương trình (1) có n nghiệm thì hai đồ thị có n điểm chung.

-Để tìm tung độ giao điểm ta thay nghiệm x vào y = f(x) hoặc y = g(x).

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm tọa độ giao điểm của parabol $\left(P\right):y=x^2-3x+2$ và đường thẳng d: $y=x-1$ 

Hướng dẫn:

Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) là :

$$\begin{gathered} x^2-3x+2=x-1 \\ \iff x^2-4x+3=0 \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=3\end{array}\right. \end{gathered}$$

Với $x=1\Rightarrow y=x-1=1-1=0$

Với $x=3\Rightarrow y=x-1=3-1=2$

Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là: (1; 0); (3; 2).

Ví dụ 2: Cho hai parabol có phương trình $y=x^2+x+1$ và $y=2x^2-x-2$. Biết hai parabol cắt nhau tại hai điểm A và B ($x_A<x_B$). Tính độ dài đoạn thẳng AB.

 Hướng dẫn:

Phương trình hoành độ giao điểm của hai parabol:

$$\begin{gathered} 2x^2-x-2=x^2+x+1 \\ \iff x^2-2x-3=0 \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=-1\\ x=3\end{array}\right. \end{gathered}$$

Thay x = -1 và x = 3 vào $y=x^2+x+1$ ta được:

$x=-1\Rightarrow y=1$

$x=3\Rightarrow y=13$

Do đó hai giao điểm của hai parabol là $A\left(-1;1\right)$ và $B\left(3;13\right)$.

Từ đó 

$AB=\sqrt{{\left(3+1\right)}^2+{\left(13-1\right)}^2}=4\sqrt{10}$

Dạng 3.4: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số

a. Phương pháp giải:

Cho hàm số $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$ có đồ thị là parabol.

* Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [a; b], ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định tọa độ đỉnh của parabol và dấu của hệ số a.

Bước 2: Lập bảng biến thiên của hàm số và xác định đoạn [a; b] trên bảng biến thiên

Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên để đưa ra kết luận.

* Trong trường hợp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên , ta có:

+) Với a < 0, hàm số chỉ có giá trị lớn nhất bằng $f\left(-\frac{b}{2a}\right)=-\frac{\Delta }{4a}$ và không tồn tại giá trị nhỏ nhất

+) Với a > 0, hàm số chỉ có giá trị nhỏ nhất bằng $f\left(-\frac{b}{2a}\right)=-\frac{\Delta }{4a}$ và không tồn tại giá trị lớn nhất

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của các hàm số sau:

a.$f\left(x\right)=2x^2+x-3$

b. $f\left(x\right)=-3x^2+x+2$

Hướng dẫn:

a. Xét hàm số $f\left(x\right)=2x^2+x-3$ có a = 2; b = 1; c = -3.

Do a = 2 > 0 nên hàm số chỉ có giá trị nhỏ nhất.

Suy ra:

$\min f\left(x\right)=f\left(-\frac{b}{2a}\right)=f\left(-\frac{1}{4}\right)=-\frac{25}{8}$

Vậy hàm số đã cho đạt giá trị nhỏ nhất là $-\frac{25}{8}$ tại $x=-\frac{1}{4}$.

b. Xét hàm số $f\left(x\right)=-3x^2+x+2$ có a = -3; b = 1; c = 2.

Do a = -3 < 0 nên hàm số chỉ có giá trị lớn nhất.

Suy ra :

$\max f\left(x\right)=f\left(-\frac{b}{2a}\right)=f\left(\frac{1}{6}\right)=\frac{25}{12}$

Vậy hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất là $\frac{25}{12}$ tại $x=\frac{1}{6}$.

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=5x^2+2x+1$ trên đoạn $\left[-2;2\right]$

Hướng dẫn:

Xét hàm số $y=5x^2+2x+1$ có a = 5 > 0; b = 2; c = 1;$-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{5}$ ;$-\frac{\Delta }{4a}=-\frac{b^2-4ac}{4a}=\frac{4}{5}$ .

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\left[-2;2\right]$ là $\frac{4}{5}$.

3. Bài tập vận dụng 

a. Tự luận

Câu 1: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số $y=x^2-4x+3$.

Hướng dẫn:

Hàm số $y=x^2-4x+3$ có $a=1>0$nên đồng biến trên khoảng ,$\left(-\frac{b}{2a};+\infty \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;-\frac{b}{2a}\right)$.

Vì vậy hàm số đồng biến trên $\left(2;+\infty \right)$ và nghịch biến trên $\left(-\infty ;2\right)$.

Câu 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số $y=x^2-2\left(m+1\right)x-3$ đồng biến trên khoảng $\left(4;2018\right)$?

Hướng dẫn:

Hàm số có a = 1 > 0, $\frac{-b}{2a}=m+1$ nên hàm số đồng biến trên khoảng $\left(m+1;+\infty \right)$.

Do đó để hàm số đồng biến trên khoảng $\left(4;2018\right)$ thì ta phải có 

$$\begin{gathered} \left(4;2018\right)\subset \left(m+1;+\infty \right) \\ \iff m+1\le 4\iff m\le 3 \end{gathered}$$

Vậy có ba giá trị nguyên dương của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là 1; 2; 3.

Câu 3: Xác định các hệ số a và b để parabol $\left(P\right):y=a{x}^2+4x-b$ có đỉnh $I\left(-1;-5\right)$.

Hướng dẫn:

Ta có đỉnh I(-1; -5)$\Rightarrow -\frac{4}{2a}=-1\Rightarrow a=2.$

Hơn nữa $I\in \left(P\right)$ nên $-5=a-4-b\Rightarrow b=3.$

Câu 4: Biết đồ thị hàm số $y=a{x}^2+bx+c\left(a\ne 0\right)$  đi qua điểm $A\left(2;1\right)$ và có đỉnh $I\left(1;-1\right)$. Tính giá trị biểu thức $T=a^3+b^2-2c$.

Hướng dẫn:

Đồ thị hàm số $y={\text{ax}}^2+bx+c$ đi qua điểm $A\left(2;1\right)$ và có đỉnh $I\left(1;-1\right)$ nên ta có hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}4a+2b+c=1\\ -\frac{b}{2a}=1\\ a+b+c=-1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}4a+2b+c=1\\ b=-2a\\ a+b+c=-1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}c=1\\ b=-2a\\ -a+c=-1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}c=1\\ b=-4\\ a=2\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy $T=a^3+b^2-2c=22$

Câu 5: Xác định hàm số $y=a{x}^2+bx+c$ biết hàm số có đồ thị là một parabol như hình sau :

Hướng dẫn:

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm (0; -1) nên $c=-1$.

Tọa độ đỉnh là I(1; -3) nên ta có phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}-\frac{b}{2a}=1\\ a{.1}^2+b.1-1=-3\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}2a+b=0\\ a+b=-2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=-4\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy hàm số cần tìm là: $y=2x^2-4x-1$

Câu 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số  .

Hướng dẫn:

Hàm số bậc hai $y=2x^2-4x-1$ có a = 1 > 0

Suy ra:

$\min f\left(x\right)=f\left(-\frac{-4}{2.1}\right)=f\left(2\right)=-3$

Vậy hàm số đã cho đạt giá trị nhỏ nhất là -3 tại x = 2.

Câu 7: Tìm tổng giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $y=x^2-4x+3$ trên đoạn $\left[-1;4\right]$

Hướng dẫn:

Ta có: $-\frac{b}{2a}=2\in \text{[-1;4]}$; a = 1 > 0

Xét trên đoạn $\left[-1;4\right]$ thì hàm số có bảng biến thiên là:

Từ bảng biến thiên suy ra: Giá trị lớn nhất của hàm số bằng  và giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng  nên tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất là 8+(-1) = 7.

Câu 8: Giá trị nhỏ nhất của hàm số  $y=x^2+2mx+5$bằng  khi giá trị của tham số m bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn:

Hàm số $y=x^2+2mx+5$ có $a=1>0$ nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất khi $x=-\frac{b}{2a}$.

Theo đề bài ta có:

$$\begin{gathered} y\left(-\frac{b}{2a}\right)=1\iff y\left(-m\right)=1 \\ \iff m^2-2m^2+5=1 \\ \iff m^2=4\iff m=\pm 2 \end{gathered}$$

Câu 9: Tìm tọa độ giao điểm của parabol $\left(P\right):y=x^2-4x$ với đường thẳng $d:y=-x-2$

Hướng dẫn:

Hoành độ giao điểm của (P) và d là nghiệm của phương trình:

$$\begin{gathered} x^2-4x=-x-2 \\ \iff x^2-3x+2=0 \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=2\end{array}\right. \end{gathered}$$

Với x = 1 suy ra y = -3

Với x = 2 suy ra y = -4

Vậy tọa độ giao điểm của (P) và d là $M\left(1;-3\right)$, $N\left(2;-4\right)$.

Câu 10: Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để đường thẳng d:$y=mx-3$  không có điểm chung với parabol (P): $y=x^2+1$?

Hướng dẫn:

Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) là:

$x^2+1=mx-3$

$\iff x^2-mx+4=0$(*)

Đường thẳng $y=mx-3$ không có điểm chung với parabol  $y=x^2+1$

Phương trình (*) vô nghiệm:

$$\begin{gathered} \iff \Delta <0\iff m^2-16<0 \\ \iff -4<m<4 \end{gathered}$$

Vì $m\in \mathbb{Z}$

$\Rightarrow m\in \left\{-3;-2;-1;0;1;2;3\right\}$

b. Trắc nghiệm

Câu 1: Hàm số $y=a{x}^2+bx+c$,$(a>0)$  đồng biến trong khoảng nào sau đây?

A. $\left(-\infty ;-\frac{b}{2a}\right).$

B. $\left(-\frac{b}{2a};+\infty \right).$

C. $\left(-\frac{\Delta }{4a};+\infty \right).$

D. $\left(-\infty ;-\frac{\Delta }{4a}\right).$

Hướng dẫn:

Chọn B.

Với a > 0, hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-\frac{b}{2a};+\infty \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;-\frac{b}{2a}\right)$.

Câu 2: Cho hàm số $y=-x^2+6x-1$. Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A.$\left(-\infty ;3\right)$

B.$\left(-\infty ;6\right)$

C.$\left(3;+\infty \right)$

D.$\left(6;+\infty \right)$

Hướng dẫn:

Chọn C.

Ta có a = -1 <0,$\frac{-b}{2a}=\frac{-6}{2.\left(-1\right)}=3$ . Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(3;+\infty \right)$.

Câu 3: Cho parabol $\left(P\right):y=3x^2-2x+1$. Điểm nào sau đây là đỉnh của ?

A. $I\left(0;1\right)$

B. $I\left(\frac{1}{3};\frac{2}{3}\right)$

C. $I\left(-\frac{1}{3};\frac{2}{3}\right)$

D. $I\left(\frac{1}{3};-\frac{2}{3}\right)$

Hướng dẫn:

Chọn B.

Hoành độ đỉnh của $\left(P\right):y=3x^2-2x+1$ là $x=-\frac{b}{2a}=\frac{1}{3}$. Suy ra tung độ đỉnh của (P) là: $y=3{\left(\frac{1}{3}\right)}^2-2.\frac{1}{3}+1=\frac{2}{3}$

Vậy $I\left(\frac{1}{3};\frac{2}{3}\right)$

Câu 4: Cho parabol $\left(P\right):y=x^2+mx+n$ (m; n tham số). Xác định m; n để (P) nhận $I\left(2;-1\right)$ là đỉnh.

A. m = 4; n = -3

B. m = 4; n = 3

C. m = -4; n = -3

D. m = -4; n = 3

Hướng dẫn:

Chọn D.

Parabol $\left(P\right):y=x^2+mx+n$ nhận $I\left(2;-1\right)$ là đỉnh, khi đó ta có

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}4+2m+n=-1\\ -\frac{m}{2}=2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}2m+n=-5\\ m=-4\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}n=3\\ m=-4\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy $m=-4,n=3$.

Câu 5: Bảng biến thiên của hàm số $y=-2x^2+4x+1$ là bảng nào sau đây?

Hướng dẫn:

Chọn B.

Hàm số $y=-2x^2+4x+1$ có đỉnh $I\left(1;3\right)$, hệ số $a=-2<0$ nên hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;1\right)$, nghịch biến trên khoảng $\left(1;+\infty \right)$.

Câu 6: Cho parabol $y=a{x}^2+bx+c$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. a < 0; b > 0; c < 0.

B. a < 0; b < 0; c < 0.

C. a < 0; b > 0; c > 0.

D. a < 0; b < 0; c > 0.

Hướng dẫn:

Chọn C.

Parabol quay bề lõm xuống dưới $\Rightarrow a<0$.

Parabol cắt Oy tại điểm có tung độ dương $\Rightarrow c>0$.

Đỉnh của parabol có hoành độ dương $\Rightarrow \frac{-b}{2a}>0\Rightarrow \frac{b}{a}<0$ mà $a<0$ nên suy ra $b>0$.

Câu 7: Cho parabol $\left(P\right):y=a{x}^2+bx+c,\left(a\ne 0\right)$ có đồ thị như hình dưới đây. Khi đó $2a+b+2c$có giá trị là:

A. -9.

B. 9. 

C. -6.

D. 6.

Hướng dẫn:

Chọn C.

Parabol $\left(P\right):y=a{x}^2+bx+c,\left(a\ne 0\right)$ đi qua các điểm $A\left(-1;0\right)$, $B\left(1;-4\right)$, $C\left(3;0\right)$ nên có hệ phương trình: 

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}a-b+c=0\\ a+b+c=-4\\ 9a+3b+c=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=-2\\ c=-3\end{array}\right. \end{gathered}$$

Khi đó: 

$2a+b+2c=2.1-2+2\left(-3\right)=-6$

Câu 8: Tìm m để hàm số $y=x^2-2x+2m+3$ có giá trị nhỏ nhất trên đoạn $\left[2;5\right]$ bằng -3.

A. m = 0.    

B. m = -9.   

C.m = 1.     

D. m = -3.

Hướng dẫn:

Chọn D.

Ta có hàm số $y=x^2-2x+2m+3$ có hệ số $a=1>0,b=-2$, trục đối xứng là đường thẳng $x=-\frac{b}{2a}=1$ nên có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên đoạn $\left[2;5\right]$ suy ra giá trị nhỏ nhất trên đoạn $\left[2;5\right]$ bằng $f\left(2\right)$. Theo giả thiết :

$$\begin{gathered} f\left(2\right)=-3\iff 2m+3=-3 \\ \iff m=-3 \end{gathered}$$

Câu 9: Tọa độ giao điểm của đường thẳng d: $y=-x+3$ và parabol (P): $y=-x^2-4x+1$ là:

A. $\left(-1;4\right),\left(-2;5\right)$

B.$\left(2;0\right),\left(-2;0\right)$

C.$\left(1;-\frac{1}{2}\right),\left(-\frac{1}{5};\frac{11}{50}\right)$

D. $\left(\frac{1}{3};-1\right)$

Hướng dẫn:

Chọn A.

Phương trình hoành độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng d là:

$$\begin{gathered} -x^2-4x+1=-x+3 \\ \iff x^2+3x+2=0 \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=-1\Rightarrow y=4\\ x=-2\Rightarrow y=5\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy giao điểm của parabol (P) và đường thẳng d có tọa độ $\left(-1;4\right)$ và $\left(-2;5\right)$.

Câu 10: Tìm tất cả các giá trị m để đường thẳng $y=mx+3-2m$ cắt parabol $y=x^2-3x-5$ tại 2 điểm phân biệt có hoành độ trái dấu.

A.$m<-3$

B. $-3<m<4$

C. $m<4$

D.$m\le 4$

Hướng dẫn:

Chọn C.

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng $y=mx+3-2m$ và parabol  $y=x^2-3x-5$ là:

$x^2-3x-5=mx+3-2m$

$x^2-\left(m+3\right)x+2m-8=0$  (*).

Đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt có hoành độ trái dấu khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu $\iff a.c<0$  (theo định lý Vi-et)

$2m-8<0\iff m<4$

4. Bài tập tự luyện 

Bài 1: Xác định phương trình của Parabol (P): y = x² + bx + c (P) trong các trường hợp sau:

a) (P) đi qua điểm A(1;0) và B (-2; -6)

b) (P) có đỉnh I(1; 4)

c) (P) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 và có đỉnh S(-2; -1).

Bài 2: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau

a) y = x² - 3x + 2

b) y = -2x² + 4x

Bài 3: Cho hàm số y = -x² - 2x + 2

a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số trên

b) Tìm m để đồ thị hàm số trên cắt đường thẳng y = m tại hai điểm phân biệt

c) Sử dụng đồ thị, hãy nêu các khoảng trên đó hàm số chỉ nhận giá trị âm

d) Sử dụng đồ thị, hãy tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số đã cho trên [-3; 1]

Bài 4: Vẽ đồ thị của hàm số sau:

a) y = -x² - 2|x| + 3

b)

Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = x⁴ - 4x² - 1 trên [-1; 2]

Bài 6: Cho các số x, y thoả mãn: x² + y² = 1 + xy. Chứng minh rằng

            1/9 ≤ x⁴ + y⁴ - x²y² ≤ 3/2

Đáp án và hướng dẫn giải

Bài 1:

a) Vì (P) đi qua A, B nên

Vậy (P): y = x² + 3x - 4 .

b) Vì (P) có đỉnh I(1; 4) nên:

Vậy (P): y = x² - 2x + 5.

c) (P) cắt Oy tại điểm có tung độ bằng 3 suy ra c = 3

(P) có đỉnh S (-2; -1) suy ra:

Vậy (P): y = x² + 4x + 3.

Bài 2:

a) Ta có:

Bảng biến thiên

Suy ra đồ thị hàm số y = x² - 3x + 2 có đỉnh là I(3/2; -1/4), đi qua các điểm A(2; 0); B (1; 0), C(0; 2).

Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = 3/2 làm trục đối xứng và hướng bề lõm lên trên.

b) Ta có

Bảng biến thiên

Suy ra đồ thị hàm số y = -2x² + 4x có đỉnh là I(1; 2), đi qua các điểm O(0; 0), B (2; 0).

Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = 1 làm trục đối xứng và hướng bề lõm xuống dưới.

Bài 3:

a) Ta có:

Bảng biến thiên

Suy ra đồ thị hàm số y = -x² - 2x + 3 có đỉnh là I(-1; 4), đi qua các điểm A(1; 0), B (-3; 0).

Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = -1 làm trục đối xứng và hướng bề lõm xuống dưới.

b) Đường thẳng y = m song song hoặc trùng với trục hoành do đó dựa vào đồ thị ta có

Với m < 4 đường thẳng y = m và parabol y = -x² - 2x + 3 cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

c) Hàm số nhận giá trị dương ứng với phần đồ thị nằm hoàn toàn trên trục hoành

Do đó hàm số chỉ nhận giá trị âm khi và chỉ khi x ∈ (-∞; -2) ∪ (1; +∞).

d) Dựa vào bảng biến thiên, ta có:

Bài 4: a) y = -x² - 2|x| + 3

a) Vẽ đồ thị hàm số (P): y = -x² - 2x + 3 có đỉnh I (-1; - 4), trục đối xứng x = -1, đi qua các điểm A(1; 0), B (-3; 0). Bề lõm hướng xuống dưới.

Khi đó (P₁ ) là đồ thị hàm số y = -x² - 2|x| + 3 là gồm phần bên phải trục tung của (P) và phần lấy đối xứng của nó qua trục tung.

b) Gọi (P₂ ) là phần đồ thị của (P) nằm trên trục hoành và lấy đối xứng của phần nằm dưới trục hoành qua trục Ox.

Vậy đồ thị hàm số

gồm phần bên đồ thị bên phải đường thẳng x = 1 của (P₂ ) và phần đồ thị bên trái đường thẳng x = 1 của (P₁ ).

Bài 5:

Đặt t = x². Với x ∈ [-1; 2] ta có t ∈ [0; 4]

Hàm số trở thành f(t) = t² - 4t - 1 với t ∈ [0; 4].

Bảng biến thiên

Suy ra :

Bài 6:

Đặt P = x⁴ + y⁴ - x²y²

Ta có P = (x² + y²)² - 3x²y² = (1+xy)² - 3x²y² = -2x²y² + 2xy + 1

Đặt t = xy, khi đó P = -2t² + 2t + 1

Xét hàm số f(t) = -2t² + 2t + 1 trên [(-1)/3; 1]

Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có :

Suy ra điều phải chứng minh.

Xem thêm các dạng Toán 10 hay, chọn lọc khác:

Hàm số lớp 10 và cách giải các dạng bài tập

Hàm số bậc nhất lớp 10 và cách giải các dạng bài tập

Cách xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số chi tiết

Cách xét tính chẵn, lẻ của hàm số chi tiết

Tất tần tật công thức về Hàm số y = |x|