Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Cách xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số (HAY NHẤT 2024) gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 10 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

 Cách xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số (HAY NHẤT 2024)

I. Lí thuyết tổng hợp

- Cho K là một khoảng hoặc một đoạn hoặc nửa khoảng, y = f(x) là hàm số xác định trên K.

+ Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi x thuộc K thì khi x tăng f(x) cùng tăng, khi x giảm f(x) cùng giảm.

+ Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi x thuộc K thì khi x tăng f(x) giảm, khi x giảm f(x) tăng.

- Lưu ý.

+ Nếu một hàm số đồng biến trên K thì trên đó, đồ thị của nó đi lên.

+ Nếu một hàm số nghịch biến trên K thì trên đó, đồ thị của nó đi xuống.

+ Hàm số bậc nhất y = ax + b luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên .

II. Các công thức

- Cho hàm số y = f(x) xác định trên K. Lấy $x_1,x_2\in K$ và $x_1<x_2$.

Đặt  T = $f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)$. Ta có:

T > 0 $\iff$ Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K

T < 0 $\iff$ Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K

- Cho hàm số y = f(x) xác định trên K. Lấy $x_1,x_2\in K$ và $x_1\ne x_2$. 

Đặt $T=\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}$. Ta có:

T > 0 $\iff$ Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K

T < 0 $\iff$ Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K

- Nếu một hàm số đồng biến trên K thì trên đó, đồ thị của nó đi lên.

- Nếu một hàm số nghịch biến trên K thì trên đó, đồ thị của nó đi xuống.

III. Ví dụ minh họa

Bài 1: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số $y=f\left(x\right)=x+1-\frac{2}{x-3}$  trên khoảng $\left(3;+\infty \right)$.

Lời giải:

- Điều kiện xác định của hàm số $y=f\left(x\right)=x+1-\frac{2}{x-3}$ là:$x-3\ne 0\iff x\ne 3$

Tập xác định của hàm số y = f(x) là: $D=R\backslash \text{{}3\}$

Hàm số $y=f\left(x\right)=x+1-\frac{2}{x-3}$ xác định trên khoảng $\left(3;+\infty \right)$

- Lấy $x_1,x_2\in (3;+\infty )$ và $x_1\ne x_2$. Đặt $T=\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}$

$$\begin{gathered} \Rightarrow T=\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2} \\ =\frac{x_1+1-\frac{2}{x_1-3}-\left(x_2+1-\frac{2}{x_2-3}\right)}{x_1-x_2} \\ =\frac{x_1+1-\frac{2}{x_1-3}-x_2-1+\frac{2}{x_2-3}}{x_1-x_2} \\ =\frac{x_1-x_2-2\left(\frac{1}{x_1-3}-\frac{1}{x_2-3}\right)}{x_1-x_2} \\ =\frac{x_1-x_2-2\left[\frac{x_2-3-x_1+3}{(x_1-3)(x_2-3)}\right]}{x_1-x_2} \\ =\frac{x_1-x_2-2\left[\frac{x_2-x_1}{(x_1-3)(x_2-3)}\right]}{x_1-x_2} \\ =\frac{x_1-x_2+2\left[\frac{x_1-x_2}{(x_1-3)(x_2-3)}\right]}{x_1-x_2} \\ =\frac{1+\frac{2}{(x_1-3)(x_2-3)}}{1} \\ =1+\frac{2}{(x_1-3)(x_2-3)} \end{gathered}$$

Ta thấy trong khoảng $\left(3;+\infty \right)$ thì T luôn xác định.

Với  $x_1,x_2\in (3;+\infty )$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}_1-3>0\\ x_2-3>0\end{array}\right. \\ \Rightarrow T=1+\frac{2}{(x_1-3)(x_2-3)}>0 \end{gathered}$$

 Hàm số $y=f\left(x\right)=x+1-\frac{2}{x-3}$ đồng biến trên khoảng $\left(3;+\infty \right)$.

Bài 2: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số: $y=f\left(x\right)=x^2-4$ trên khoảng $(-\infty ;0)$.

Lời giải:

Hàm số $y=f\left(x\right)=x^2-4$ xác định trên R

$\Rightarrow$ Hàm số $y=f\left(x\right)=x^2-4$ xác định trên khoảng $(-\infty ;0)$

Lấy $x_1,x_2\in (-\infty ;0)$ và $x_1<x_2$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}_2-x_1>0\\ x_1+x_2<0\end{array}\right.$  (1)

Ta có: $T=f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)$

$$\begin{gathered} =({x_2}^2-4)-({x_1}^2-4) \\ ={x_2}^2-{x_1}^2=(x_2-x_1)(x_1+x_2) \end{gathered}$$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow T<0$$\Rightarrow$  Hàm số $y=f\left(x\right)=x^2-4$ nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;0)$

Bài 3: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên  khoảng  (2; 4)  và đoạn [-4; -2].

Lời giải:

Ta thấy khi thì đồ thị của hàm số y = f(x) đi lên

$\Rightarrow$ Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng  (2; 4) 

Ta thấy khi thì đồ thị của hàm số y = f(x) đi xuống

$\Rightarrow$ Hàm số y = f(x) nghịch biến trên đoạn [-4; -2]

IV. Bài tập tự luyện

Bài 1: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f(x) = 4x – 9 trên toàn tập xác định của nó.

Bài 2: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số $y=f\left(x\right)=x^2-5x+7$ trên các khoảng $(-\infty ;0)$ và $(4;+\infty )$.

Bài 3: Cho hàm số y = x³ - x² + (m-1)x + m. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số đồng biến trên R

Bài 4: Cho hàm số

Tìm giá trị lớn nhất của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; -1).

Bài 5: Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho hàm số

Bài 6: Cho hàm số y = x³ + 3x² + mx + 1 - 2m. Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 1.

Bài 7: Hỏi hàm số

đồng biến trên các khoảng nào?

Bài 8: Tìm khoảng đồng biến của hàm số y = 2x³ - 9x³ + 12x + 3

Bài 9: Khoảng nghịch biến của hàm số y = x⁴ - 2x² - 1 là:

Bài 10: Cho hàm số

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

Bài 11: Tìm khoảng đồng biến của hàm số f(x)= x + cos2x

Xem thêm các dạng Toán 10 hay, chọn lọc khác:

Hàm số lớp 10 và cách giải các dạng bài tập

Hàm số bậc nhất lớp 10 và cách giải các dạng bài tập

Hàm số bậc hai lớp 10 và cách giải các dạng bài tập

Cách xét tính chẵn, lẻ của hàm số chi tiết

Tất tần tật công thức về Hàm số y = |x|