Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Phương pháp giải Các phương trình đưa về phương trình bậc hai (HAY NHẤT 2024) gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 10 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Phương pháp giải Các phương trình đưa về phương trình bậc hai (HAY NHẤT 2024)

A. Lí thuyết tổng hợp

- Phương trình bậc hai một ẩn có dạng  ax2+bx+c=0(a≠0). Ta có: Δ=b2−4ac là biệt thức của phương trình (còn có Δ'=b'2−ac với b'=b2)

- Giải và biện luận phương trình bậc hai một ẩn  ax2+bx+c=0 (a≠0):

+ Với Δ>0 (Δ'>0) phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x1=−b+√Δ2a;  x2=−b−√Δ2a

(x1=−b+√Δ'a;x2=−b−√Δ'a)

+ Với Δ=0 (Δ'=0)  phương trình có nghiệm kép:  

x1=x2=−b2a(x1=x2=−b'a)

+ Với Δ<0 (Δ'<0) phương trình vô nghiệm.

- Định lí Vi – ét: Nếu phương trình bậc hai một ẩn ax2+bx+c=0 (a≠0) có hai nghiệm x1,x2 thì ta có:

{x1+x2=−bax1.x2=ca

- Ngược lại, nếu hai số u và v có tổng S = u + v và tích P = u.v thì u và v là các nghiệm của phương trình x2−Sx+P=0.

- Phương trình trùng phương là phương trình có dạng ax4+bx2+c=0 (a≠0)

- Chú ý:

+ Cho phương trình bậc hai một ẩn ax2+bx+c=0 (a≠0).

 Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm x1=1,x2=ca.

Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm x1=−1,x2=−ca.

+ Phân tích đa thức thành nhân tử: Cho đa thức P (x) = ax2+bx+c, nếu x1,x2 là hai nghiệm của phương trình P(x) = 0 thì đa thức P(x)=a(x−x1)(x−x2).

B. Các dạng bài

Dạng 1: Giải và biện luận phương trình bậc hai một ẩn ax2+bx+c=0 (a≠0)

Phương pháp giải:

Tính Δ=b2−4ac ( hoặc Δ'=b'2−ac với b'=b2)

+ Với Δ>0 (Δ'>0) phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x1=−b+√Δ2a;  x2=−b−√Δ2a

(x1=−b+√Δ'a;x2=−b−√Δ'a)

+ Với Δ=0 (Δ'=0)  phương trình có nghiệm kép:

x1=x2=−b2a(x1=x2=−b'a)  

+ Với Δ≥0 phương trình có nghiệm.

+ Với Δ<0 (Δ'<0) phương trình vô nghiệm.

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Giải và biện luận phương trình (m−1)x2+3x−1=0 (m là tham số).

Lời giải:

+ Với m = 1 thì phương trình (m−1)x2+3x−1=0 trở thành  3x – 1 = 0 .

⇒ Phương trình có duy nhất một nghiệm x=13.

+ Với m≠1

Ta có:

Δ=32−4(m−1)(−1)=9+4(m−1)=9+4m−4=5+4mΔ=32−4(m−1)(−1)=9+4(m−1)=9+4m−4=5+4m

- Phương trình (m−1)x2+3x−1=0 vô nghiệm ⇔Δ<0

⇔5+4m<0⇔m<−54

- Phương trình (m−1)x2+3x−1=0 có hai nghiệm phân biệt x1,2=−3±√5+4m2(m−1)

⇔Δ>0⇔5+4m>0⇔m>−54⇔Δ>0⇔5+4m>0⇔m>−54

- Phương trình (m−1)x2+3x−1=0 có nghiệm kép  x=−32(m−1)

⇔Δ=0⇔5+4m=0⇔m=−54⇔Δ=0⇔5+4m=0⇔m=−54

Khi đó nghiệm kép là x=−32(m−1)=−32(−54−1)=23.

Vậy với m = 1 thì phương trình (m−1)x2+3x−1=0 có duy nhất một nghiệm x=13, m<−54với  thì phương trình  vô nghiệm, với m>−54 và m≠1 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,2=−3±√5+4m2(m−1) và với m=−54 phương trình có nghiệm kép x=23.

Bài 2: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình (x2−3x+m)(x−1)=0 (m là tham số) có 3 nghiệm phân biệt.

Lời giải:

Ta có:  

(x2−3x+m)(x−1)=0⇔[x−1=0x2−3x+m=0⇔[x=1x2−3x+m=0(x2−3x+m)(x−1)=0⇔[x−1=0x2−3x+m=0⇔[x=1x2−3x+m=0

⇒ Để phương trình (x2−3x+m)(x−1)=0 có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình  x2−3x+m=0(1)  phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1.

Xét phương trình (1) ta có:

Δ=(−3)2−4.1.m=9−4m

Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 1

⇔{Δ>012−3.1+m≠0

⇔{9−4m>01−3+m≠0⇔{4m<9−2+m≠0⇔{m<94m≠2⇔{9−4m>01−3+m≠0⇔{4m<9−2+m≠0⇔{m<94m≠2

Vậy khi m<94 và m≠2 thì phương trình (x2−3x+m)(x−1)=0 có 3 nghiệm phân biệt.

Dạng 2: Xác định tham số để nghiệm phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước.

Phương pháp giải:

Tìm điều kiện của tham số để phương trình có hai nghiệm x1,x2.

Áp dụng hệ thức Vi – ét để biến đổi biểu thức điều kiện của nghiệm đề bài yêu cầu rồi xác định tham số. Đối chiếu điều kiện để kết luận.

- Định lí Vi – ét: Nếu phương trình bậc hai một ẩn  ax2+bx+c=0(a≠0) có hai nghiệm x1,x2 thì ta có:

{x1+x2=−bax1.x2=ca

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Cho phương trình bậc hai x2−2mx+4m−4=0 (x là ẩn số, m là tham số ). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn 3(x1+x2)=x1.x2.

Lời giải:

Xét phương trình x2−2mx+4m−4=0 (1) ta có: b’ = m

Δ'=(−m)2−1.(4m−4)=m2−4m+4=(m−2)2Δ'=(−m)2−1.(4m−4)=m2−4m+4=(m−2)2

Để phương trình x2−2mx+4m−4=0 có hai nghiệm phân biệt 

⇔Δ'>0⇔(m−2)2>0⇔m≠2⇔Δ'>0⇔(m−2)2>0⇔m≠2

Áp dụng định lý Vi – ét ta có: 

{x1+x2=2m1=2mx1.x2=4m−41=4m−4

Ta có:

3(x1+x2)=x1.x2⇔3.2m=4m−4⇔6m=4m−4⇔2m=−4⇔m=−23(x1+x2)=x1.x2⇔3.2m=4m−4⇔6m=4m−4⇔2m=−4⇔m=−2

Vậy khi m = – 2 thì phương trình bậc hai x2−2mx+4m−4=0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn 3(x1+x2)=x1.x2.

Bài 2: Cho phương trình bậc hai: x2−2mx−1=0 (x là ẩn số, m là tham số ). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn x12+x22=x12x22+2.

Lời giải:

Xét phương trình  x2−2mx−1=0(1) ta có: b’ = – m

Δ'=(−m)2−1.(−1)=m2+1

Ta có m2+1>0 với mọi m ⇒Δ'>0 với mọi m

⇒ Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x1,x2 với mọi m.

Áp dụng định lý Vi – ét ta có: 

{x1+x2=2m1=2mx1.x2=−11=−1

Ta có:

x12+x22=x12x22+2⇔x12+2x1x2+x22−2x1x2=x12x22+2⇔(x1+x2)2−2x1x2=(x1x2)2+2⇔(2m)2−2.(−1)=(−1)2+2⇔4m2=1⇔m2=14⇒m=±12x12+x22=x12x22+2⇔x12+2x1x2+x22−2x1x2=x12x22+2⇔(x1+x2)2−2x1x2=(x1x2)2+2⇔(2m)2−2.(−1)=(−1)2+2⇔4m2=1⇔m2=14⇒m=±12

Vậy khi m=±12 thì phương trình x2−2mx−1=0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn x12+x22=x12x22+2.

Dạng 3: Dấu các nghiệm của phương trình bậc hai.

Phương pháp giải:

Xét phương trình bậc hai một ẩn ax2+bx+c=0,   (a≠0) có hai nghiệm phân biệt x1,x2.  Phương trình có:

Hai nghiệm x1,x2 dương ⇔{x1.x2>0x1+x2>0

Hai nghiệm x1,x2 âm ⇔{x1.x2>0x1+x2<0

Hai nghiệm x1,x2 cùng dấu ⇔x1.x2>0

Hai nghiệm x1,x2 trái dấu  ⇔[x1.x2<0a.c<0

Ta áp dụng định lý Vi – ét để giải.

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Cho phương trình bậc hai mx2−2(m−2)x+m−3=0 (m là tham số khác 0). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt dương, hai nghiệm phân biệt âm.

Lời giải:

Xét phương trình mx2−2(m−2)x+m−3=0 (1) ta có: b’ = m – 2

Δ'=(m−2)2−m.(m−3)=m2−4m+4−m2+3m=−m+4Δ'=(m−2)2−m.(m−3)=m2−4m+4−m2+3m=−m+4

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt : 

⇔Δ'>0⇔−m+4>0⇔m<4(2)⇔Δ'>0⇔−m+4>0⇔m<4(2)

Áp dụng định lý Vi – ét ta có:

{x1+x2=2(m−2)m=2m−4mx1.x2=m−3m(do m ≠ 0)

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt dương

⇔{x1+x2>0x1.x2>0⇔{2m−4m>0m−3m>0⇔{[{2m−4>0m>0{2m−4<0m<0[{m−3>0m>0{m−3<0m<0⇔{[{m>2m>0{m<2m<0[{m>3m>0{m<3m<0⇔{[m>2m<0[m>3m<0⇔[m<0m>3 (3)⇔{x1+x2>0x1.x2>0⇔{2m−4m>0m−3m>0⇔⎧⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣{2m−4>0m>0{2m−4<0m<0⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣{m−3>0m>0{m−3<0m<0⇔⎧⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣{m>2m>0{m<2m<0⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣{m>3m>0{m<3m<0⇔⎧⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩[m>2m<0[m>3m<0⇔[m<0m>3 ⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝3⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠

Kết hợp hai điều kiện (2) và (3) ta có: [m<03<m<4

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt âm

⇔{x1+x2<0x1.x2>0⇔{2m−4m<0m−3m>0⇔{[{2m−4>0m<0{2m−4<0m>0[{m−3>0m>0{m−3<0m<0⇔{[{m>2m<0{m<2m>0[{m>3m>0{m<3m<0⇔{0<m<2[m>3m<0⇔m∈∅⇔{x1+x2<0x1.x2>0⇔{2m−4m<0m−3m>0⇔⎧⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣{2m−4>0m<0{2m−4<0m>0⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣{m−3>0m>0{m−3<0m<0⇔⎧⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣{m>2m<0{m<2m>0⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣{m>3m>0{m<3m<0⇔⎧⎪⎨⎪⎩0<m<2[m>3m<0⇔m∈∅

Vậy phương trình bậc hai mx2−2(m−2)x+m−3=0 có hai nghiệm phân biệt dương khi m < 0 hoặc 3 < m < 4 và không thể có hai nghiệm phân biệt âm.

Bài 2: Cho phương trình bậc hai: x2−2(m+7)x+m2−4=0 (m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu, cùng dấu.

Lời giải:

Xét phương trình bậc hai x2−2(m+7)x+m2−4=0 (1) ta có: b’= m + 7

Δ'=(m+7)2−1.(m2−4)=m2+14m+49−m2+4=14m+53Δ'=(m+7)2−1.(m2−4)=m2+14m+49−m2+4=14m+53

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt  

⇔Δ'>0⇔14m+53>0⇔m>−5314(2)⇔Δ'>0⇔14m+53>0⇔m>−5314(2)

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt trái dấu

⇔1.(m2−4)<0⇔m2−4<0⇔m2<4⇔−2<m<2⇔1.(m2−4)<0⇔m2−4<0⇔m2<4⇔−2<m<2

Áp dụng định lí Vi – ét ta có:

{x1+x2=2(m+7)1=2m+14x1.x2=m2−41=m2−4

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu

⇔x1.x2>0⇔m2−4>0⇔m2>4⇔[m>2m<−2 (3)⇔x1.x2>0⇔m2−4>0⇔m2>4⇔[m>2m<−2 (3)

Kết hợp (2) và (3) ta có: [m>2−5314<m<−2

Vậy khi – 2 < m < 2 thì phương trình x2−2(m+7)x+m2−4=0 có hai nghiệm phân biệt trái dấu và khi m > 2 hoặc −5314<m<−2 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.

Dạng 4: Các phương trình quy về phương trình bậc hai.

Phương pháp giải:

- Phương trình chứa ẩn ở mẫu: Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu đầu tiên ta cần tìm điều kiện xác định của phương trình, sau đó quy đồng mẫu số hoặc đặt ẩn phụ để đưa về phương trình có dạng phương trình bậc hai và giải.

- Phương trình dạng:  ax3+bx2+cx+d=0. Để giải phương trình này ta cần phân tích thành phương trình tích bằng các chia đa thức hoặc chia Hoocner: đầu rơi – nhân tới – cộng chéo.

+ Quy tắc nhẩm nghiệm:

a + b + c + d = 0 thì phương trình sẽ có 1 nghiệm x = 1.

a + c = b + d thì phương trình sẽ có 1 nghiệm x = -1.

- Phương trình dạng a.f2(x)+b.f(x)+c=0. (Đặc biệt nếu f(x)=x2 thì ta có phương trình trùng phương).

+ Đặt ẩn phụ  (chú ý điều kiện của ẩn phụ)

+ Phương trình trở thành : at2+bt+c=0

+ Giải và biện luận theo phương trình bậc hai một ẩn rồi suy ra x từ t.

- Phương trình dạng:

a.f(x)g(x)+b.g(x)f(x)+c=0.

(g(x)≠0;f(x)≠0 )

+) Đặt ẩn phụ t=f(x)g(x)  (chú ý điều kiện của ẩn phụ)

+) Phương trình trở thành:

a.t+b.1t+c=0⇔at2t+bt+ctt=0⇒at2+ct+b=0(1)a.t+b.1t+c=0⇔at2t+bt+ctt=0⇒at2+ct+b=0(1)

+) Giải phương trình (1) theo phương trình bậc hai một ẩn. Từ t suy ra x.

- Phương trình dạng (x+a)4+(x+b)4=c :

+) Đặt ẩn phụ t=x+a+b2

+) Phương trình trở thành phương trình trùng phương. Giải theo cách giải phương trình trùng phương, từ t suy ra x.

- Phương trình dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m trong đó a + b = c + d và m≠0.

+ Đặt

x2+(a+b)x=x2+(c+d)x=yx2+(a+b)x=x2+(c+d)x=y

+ Khi đó, phương trình có dạng  

(y+ab)(y+cd)=m⇔y2+(cd+ab)y+abcd−m=0(1)(y+ab)(y+cd)=m⇔y2+(cd+ab)y+abcd−m=0(1)

+ Giải phương trình (1), từ y suy ra x.

- Phương trình dạng (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=mx2 trong đó ab = cd, m≠0.

+ Ta có:

[(x+a)(x+b)][(x+c)(x+d)]=mx2⇔[x2+ab+(a+b)x][x2+cd+(c+d)x]=mx2⇔(x+abx+a+b)(x+cdx+c+d)=m (vì x≠0)[(x+a)(x+b)][(x+c)(x+d)]=mx2⇔[x2+ab+(a+b)x][x2+cd+(c+d)x]=mx2⇔(x+abx+a+b)(x+cdx+c+d)=m (vì x≠0)

+ Đặt ẩn phụ: y=x+abx=x+cdx . Ta thu được phương trình:

(y + a + b)(y + c + d) = m  

⇔y2+(a+b+c+d)x+(a+b)(c+d)−m=0(2)⇔y2+(a+b+c+d)x+(a+b)(c+d)−m=0(2)

+ Giải phương trình (2), từ y suy ra x.

- Phương trình hồi quy có dạng ax4+bx3+cx2+kbx+k2a=0 với k.a≠0.

+ Chia hai vế cho x2 ( do x = 0 không thể là nghiệm ) ta được:

a(x2+k2x2)+b(x+kx)+c=0

+ Đặt ẩn phụ  t=x+kx

⇔t2=x2+k2x2+2k⇔x2+k2x2=t2−2k⇔t2=x2+k2x2+2k⇔x2+k2x2=t2−2k

+ Từ đó có phương trình bậc hai ẩn t . Giải phương trình tìm t, từ t suy ra x.

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Giải các phương trình sau:

a) 3x2x−2−1x+1=x2+2x2−1

b) 2x3+7x2−3x−8=0

c) 3x4−2x2−1=0

d) 3.x+2x−2+2.x−2x+2+5=0

Lời giải:

a) 3x2x−2−1x+1=x2+2x2−1

Điều kiện xác định của phương trình:

{2x−2≠0x+1≠0x2−1≠0⇔{x≠1x≠−1

Với điều kiện xác định trên ta có:

3x2x−2−1x+1=x2+2x2−1⇔3x2(x−1)−1x+1=x2+2(x−1)(x+1)⇔3x(x+1)2(x−1)(x+1)−2(x−1)2(x−1)(x+1)=2(x2+2)2(x−1)(x+1)⇒3x(x+1)−2(x−1)=2(x2+2)⇔3x2+3x−2x+2=2x2+4⇔x2+x−2=0 (1)3x2x−2−1x+1=x2+2x2−1⇔3x2(x−1)−1x+1=x2+2(x−1)(x+1)⇔3x(x+1)2(x−1)(x+1)−2(x−1)2(x−1)(x+1)=2(x2+2)2(x−1)(x+1)⇒3x(x+1)−2(x−1)=2(x2+2)⇔3x2+3x−2x+2=2x2+4⇔x2+x−2=0 (1)

Xét phương trình (1) ta có:Δ=12−4.1.(−2)=9 > 0

⇒ Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:

x1=−1+√92.1=1 (loại vì không thỏa mãn điều kiện xác định)

x2=−1−√92.1=−2 (thỏa mãn điều kiện xác định)

Vậy tập nghiệm của phương trình 3x2x−2−1x+1=x2+2x2−1 là S = {–2}.

b) 2x3+7x2−3x−8=0

Ta có: 2 + (– 3) = 7 + (– 8) = – 1

⇒ Phương trình 2x3+7x2−3x−8=0 (2) có một nghiệm x = –1.

⇒2x3+7x2−3x−8=0⇔(x+1)(2x2+5x−8)=0⇔[x+1=02x2+5x−8=0⇔[x=−12x2+5x−8=0⇒2x3+7x2−3x−8=0⇔(x+1)(2x2+5x−8)=0⇔[x+1=02x2+5x−8=0⇔[x=−12x2+5x−8=0

Xét phương trình 2x2+5x−8=0 ta có: Δ=52−4.2.(−8)=89 > 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

x1=−5+√892.2=−5+√894 ;

x2=−5−√892.2=−5−√894

Vậy tập nghiệm của phương trình (2) là S={−1;−5+√894;−5−√894}

c) 3x4−2x2−1=0 (3)

Đặt ẩn phụ  t=x2 (t≥0)

Phương trình (3) trở thành :3t2−2t−1=0

Xét phương trình 3t2−2t−1=0 ta có:

Δ=(−2)2−4.3.(−1)=16>0

⇒ Phương trình 3t2−2t−1=0 có hai nghiệm phân biệt

t1=−(−2)+√162.3=1 ;

t2=−(−2)−√162.3=−13  (không thỏa mãn điều kiệnt≥0 )

Với t1=1 ta có: x2=1⇔x=±1

Vậy tập nghiệm của phương trình (3) là S = {– 1; 1}.

d) 3.x+2x−2+2.x−2x+2+5=0 (4)

Điều kiện xác định của phương trình :

{x−2≠0x+2≠0⇔{x≠2x≠−2

Đặt ẩn phụ t=x+2x−2,  (t≠0), phương trình (4) trở thành:

3t+21t+5=0⇔3t2t+2t+5tt=0⇒3t2+5t+2=03t+21t+5=0⇔3t2t+2t+5tt=0⇒3t2+5t+2=0

Xét phương trình 3t2+5t+2=0 ta có:

Δ=52−4.3.2=1>0

⇒ Phương trình 3t2+5t+2=0 có hai nghiệm phân biệt.

t1=−5+√12.3=−23 ;

t2=−5−√12.3=−1

Với t1=−23 ta có:

x+2x−2=−23⇒3x+6=−2x+4⇔5x=−2⇔x=−25 (t/m)x+2x−2=−23⇒3x+6=−2x+4⇔5x=−2⇔x=−25 (t/m)

Với t2=−1 ta có:  

x+2x−2=−1⇒x+2=−x+2⇔2x=0⇔x=0(t/m)x+2x−2=−1⇒x+2=−x+2⇔2x=0⇔x=0(t/m)

Vậy tập nghiệm của phương trình (4) là S={−25;0}.

Bài 2: Giải các phương trình sau:

a) (x+6)4+(x−4)4=82

b) (x + 4)(x + 5)(x + 7)(x + 8) = 4

c) (x−3)(x−9)(x+4)(x+12)=147x2

d) x4−5x3+10x+4=0

Lời giải:

a) (x+6)4+(x−4)4=82 (1)

Đặt ẩn phụ

t=x+6−42=x+1⇒{x+6=t+5x−4=t−5t=x+6−42=x+1⇒{x+6=t+5x−4=t−5

Phương trình (1) trở thành (t+5)4+(t−5)4=82

⇔[(t+5)2]2+[(t−5)2]2=82⇔(t2+10t+25)2+(t2−10t+25)2=82⇔t4+100t2+252+20t3+500t+50t2+t4+100t2+252−20t3−500t+50t2=82⇔2t4+300t2+1250=82⇔2t4+300t2+1168=0⇔[(t+5)2]2+[(t−5)2]2=82⇔(t2+10t+25)2+(t2−10t+25)2=82⇔t4+100t2+252+20t3+500t+50t2+t4+100t2+252−20t3−500t+50t2=82⇔2t4+300t2+1250=82⇔2t4+300t2+1168=0

Đặt ẩn phụ m=t2 ( m≥0 ), phương trình 2t4+300t2+1168=0 trở thành: 2m2+300m+1168=0

Xét phương trình 2m2+300m+1168=0 ta có: Δ'=(150)2−2.1168=20164 > 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

m1=−150+√201642.2=−2 ( không thỏa mãn điều kiện  m≥0)

m2=−150−√201642.2=−73( không thỏa mãn điều kiện m≥0 )

Vậy phương trình 2t4+300t2+1168=0 vô nghiệm nên phương trình (1)  vô nghiệm.

b) (x + 4)(x + 5)(x + 7)(x + 8) = 4 (2)

Ta có: 4 + 8 = 5 + 7 = 12

Ta đặt:

x2+(4+8)x=x2+(5+7)x=y

Khi đó, phương trình (2) trở thành: (y + 4.8)(y + 5.7) = 4

(y + 32)(y + 35) = 4

⇔y2+35y+32y+1120=4⇔y2+67y+1120=4⇔y2+67y+1116=0⇔y2+35y+32y+1120=4⇔y2+67y+1120=4⇔y2+67y+1116=0

Xét phương trình y2+67y+1116=0 ta có: Δ=672−4.1.1116=25 > 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

y1=−67+√252.1=−31y2=−67−√252.1=−36y1=−67+√252.1=−31y2=−67−√252.1=−36

+ Với y1=−31 ta có:  

x2+12x=−31⇔x2+12x+31=0x2+12x=−31⇔x2+12x+31=0

Xét phương trình x2+12x+31=0 ta có: Δ'=62−1.31=5 > 0

⇒Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x1=−6+√51=√5−6x2=−6−√51=−6−√5x1=−6+√51=√5−6x2=−6−√51=−6−√5

+ Với y2=−36 ta có:

x2+12x=−36⇔x2+12x+36=0x2+12x=−36⇔x2+12x+36=0

Xét phương trình x2+12x+36=0 ta có:  

Δ'=62−1.36=0

⇒ Phương trình có nghiệm kép:x3=x4=−61=−6

Vậy tập nghiệm của phương trình (2) là S={√5−6;−6−√5;−6}.

c) (x−3)(x−9)(x+4)(x+12)=147x2 (3)

Ta có: (– 3).12 = (– 9).4 = – 36

Ta có:

(x−3)(x−9)(x+4)(x+12)=147x2⇔(x−3)(x+12)(x+4)(x−9)=147x2⇔(x2+9x−36)(x2−5x−36)=147x2(x−3)(x−9)(x+4)(x+12)=147x2⇔(x−3)(x+12)(x+4)(x−9)=147x2⇔(x2+9x−36)(x2−5x−36)=147x2

Dễ thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình nên chia cả hai vế của phương trình trên cho x² ta được:

(x2+9x−36)x.(x2−5x−36)x=147⇒(x+9−36x)(x−5−36x)=147(x2+9x−36)x.(x2−5x−36)x=147⇒(x+9−36x)(x−5−36x)=147

Đặt ẩn phụ  t=x−36x (x≠0), phương trình (x+9−36x)(x−5−36x)=147 trở thành:

(t+9)(t−5)=147⇔t2−5t+9t−45=147⇔t2+4t−192=0(t+9)(t−5)=147⇔t2−5t+9t−45=147⇔t2+4t−192=0

Xét phương trình t2+4t−192=0 có Δ'=22−1.(−192)=196>0

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

t1=−2+√1961=12t2=−2−√1961=−16t1=−2+√1961=12t2=−2−√1961=−16

+ Với t1=12 ta có:

x−36x=12⇔x2x−36x=12xx⇒x2−36=12x⇔x2−12x−36=0x−36x=12⇔x2x−36x=12xx⇒x2−36=12x⇔x2−12x−36=0

Xét phương trình x2−12x−36=0 có: Δ'=(−6)2−1.(−36)=72 > 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x1=−(−6)+√721=6+6√2x2=−(−6)−√721=6−6√2x1=−(−6)+√721=6+6√2x2=−(−6)−√721=6−6√2

+ Với t2=−16 ta có:

x−36x=−16⇔x2x−36x=−16xx⇒x2−36=−16x⇔x2+16x−36=0x−36x=−16⇔x2x−36x=−16xx⇒x2−36=−16x⇔x2+16x−36=0

Xét phương trình x2+16x−36=0 có: Δ'=(8)2−1.(−36)=100>0 

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x3=−8+√1001=2x4=−8−√1001=−18

Vậy tập nghiệm của phương trình (3) là

S={6+6√2;6−6√2;2;−18}

d) x4−5x3+10x+4=0 (4)

Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình

⇒x4−5x3+10x+4x2=0⇒x2−5x+10x+4x2=0⇔(x2+4x2)−5(x−2x)=0

Đặt ẩn phụ  t=x−2x ( x≠0 ) 

⇒x2+4x2=x2−2x.2x+4x2+2x.2x=(x−2x)2+4=t2+4

Phương trình (4) trở thành:

t2+4−5t=0⇔t2−5t+4=0

Xét phương trình t2−5t+4=0 ta có: Δ=(−5)2−4.1.4=9>0

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

t1=−(−5)−√92.1=1t2=−(−5)+√92.1=4

+ Với t1=1 ta có:

x−2x=1⇒x2−2=x⇔x2−x−2=0

Xét phương trình x2−x−2=0 ta có:

Δ=(−1)2−4.1.(−2)=9>0

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x1=−(−1)+√92.1=2x2=−(−1)−√92.1=−1

+ Với t2=4 ta có:

x−2x=4⇒x2−2=4x⇔x2−4x−2=0

Xét phương trình x2−4x−2=0 ta có:

Δ=(−4)2−4.1.(−2)=24>0

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x3=−(−4)+√242.1=2+√6x4=−(−4)−√242.1=2−√6

Vậy tập nghiệm của phương trình (4) là

S={2+√6;2−√6;2;−1}.

C. Bài tập vận dụng

Bài 1: Giải và biện luận phương trình: x2−x+m=0(m là tham số).

Đáp án:

Với m<14, phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,2=1±√1−4m2

Với m=14, phương trình có nghiệm kép: x=12

Với m>14, phương trình vô nghiệm.

Bài 2: Giải và biện luận phương trình: (m+1)x2−2mx+m−2=0 (m là tham số).

Đáp án:

Với m = – 1, phương trình có nghiệm duy nhất x=32

Với m > – 2 và m≠−1 phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,2=m±√m+2m+1

Với m = – 2 phương trình có nghiệm kép x =2

Với m < – 2 phương trình vô nghiệm

Bài 3: Cho phương trình x2+2(m+1)x+2m=0 (m là tham số). Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm cùng âm.

Đáp án: m > 0

Bài 4: Cho phương trình x2−(4m−1)x+3m2−2m=0 (m là tham số). Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn điều kiện: x12+x22=7

Đáp án: m = 1 hoặc m=−35

Bài 5: Cho phương trình x2−2(m+2)+m2+4m+3=0 (m là tham số). Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,x2 sao cho giá trị của biểu thức A=x12+x22 nhỏ nhất.

Đáp án: m = – 2

Bài 6: Cho phương trình mx2−5x−m−5=0 (m là tham số). Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.

Đáp án: m < – 5 hoặc m > 0

Bài 7: Cho phương trình x2−4x−m2+3=0 (m là tham số). Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x2=−5x1.

Đáp án: m=±2√2

Bài 8: Giải phương trình x3−2x2+4x−3=0.

Đáp án: Tập nghiệm S = {1}

Bài 9: Giải phương trình x+4x+5+x+2x−5=5.

Đáp án: S={3+√3543;3−√3543}

Bài 10: Giải phương trình 4x4+5x2−9=0.

Đáp án: Tập nghiệm S = {1; –1}

Bài 11: Giải phương trình 3.x−4x+1+2+6.x+1x−4=0.

Đáp án: Phương trình vô nghiệm

Bài 12: Giải phương trình (x+5)4+(x+15)4=−200.

Đáp án: Phương trình vô nghiệm

D. Bài tập tự luyện 

Câu 1: Tập nghiệm của phương trình x2 + 3x - 1 = 0 là:

Cách giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay, có đáp án

Lời giải:

Chọn C

Cách giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay, có đáp án

Câu 2: Giá trị nào sau đây là nghiệm của phương trình 3x2 + 7x + 2 = 0

Cách giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay, có đáp án

Lời giải:

Chọn B

Cách giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay, có đáp án

Câu 3: Phương trình x2 - 2mx + m = 0 với m = 1 có tập nghiệm là:

Cách giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay, có đáp án

Lời giải:

Chọn C

Cách giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay, có đáp án

Câu 4: Cho phương trình bậc hai (m - 1)x2 - 2mx + m + 1 = 0 (m là tham số). Các giá trị nguyên của m để phương trình có nghiệm nguyên là:

Hệ thức vi-et và ứng dụng để giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay, có đáp án

Lời giải:

Chọn A

Hệ thức vi-et và ứng dụng để giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay, có đáp án

Câu 5: Phương trình x2 + (2m + 1)x + 3m = 0 (với m là tham số) có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm là x1 = 3, nghiệm còn lại là x2 bằng:

Hệ thức vi-et và ứng dụng để giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay, có đáp án

Lời giải:

Chọn D

Hệ thức vi-et và ứng dụng để giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay, có đáp án

Câu 6: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình x2 - (m + 3)x + 2m - 5 = 0 không phụ thuộc vào m.

Hệ thức vi-et và ứng dụng để giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay, có đáp án

Lời giải:

Chọn A

Hệ thức vi-et và ứng dụng để giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay, có đáp án

Câu 7: Cho phương trình x2 - 2x - 8 = 0 có hai nghiệm x1 và x2. Phương trình bậc hai một ẩn có hai nghiệm là y1 = x1 - 3 và y2 = x2 - 3 là:

Hệ thức vi-et và ứng dụng để giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay, có đáp án

Lời giải:

Chọn C

Hệ thức vi-et và ứng dụng để giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay, có đáp án

Câu 8: Giải phương trình x2 - 2x + 1 - m2 = 0 với m là tham số, m ≠ 0.

Cách giải phương trình bậc hai chứa tham số cực hay, có đáp án

Lời giải:

Chọn A

Cách giải phương trình bậc hai chứa tham số cực hay, có đáp án

Câu 9: Cho phương trình x2 + √7x + 1 = 0. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Cách giải phương trình bậc hai chứa tham số cực hay, có đáp án

Lời giải:

Chọn B

Cách giải phương trình bậc hai chứa tham số cực hay, có đáp án

Câu 10: Số các giá trị nguyên của tham số m để phương trình x2 - 2x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 sao cho x12.x22 ≤ 4 là:.

Cách giải phương trình bậc hai chứa tham số cực hay, có đáp án

Lời giải:

Chọn B

Cách giải phương trình bậc hai chứa tham số cực hay, có đáp án

Câu 11: Phương trình bậc hai mx2 + (2m + 1)x + 3 = 0 có một nghiệm là x = -1. Giá trị của m và nghiệm còn lại là:

Cách giải phương trình bậc hai chứa tham số cực hay, có đáp án

Lời giải:

Chọn A

Cách giải phương trình bậc hai chứa tham số cực hay, có đáp án

Câu 12: Cho hai phương trình bậc hai x2 + 2x + m = 0 (1) và x2 + mx + 2 = 0 (2) (với m là tham số). Tìm m để hai phương trình có ít nhất một nghiệm chung.

Cách giải phương trình bậc hai chứa tham số cực hay, có đáp án

Lời giải:

Chọn B

Cách giải phương trình bậc hai chứa tham số cực hay, có đáp án

Câu 13: Cho phương trình x2 + mx - 6m2 = 0 với m là tham số. Chọn khẳng định sai:

Cách giải và biện luận phương trình bậc hai theo tham số m cực hay, có đáp án

Lời giải:

Chọn A

Cách giải và biện luận phương trình bậc hai theo tham số m cực hay, có đáp án

Câu 14: Cho phương trình mx2 - 2(m + 1)x + m + 2 = 0. Chọn kết luận đúng.

Cách giải và biện luận phương trình bậc hai theo tham số m cực hay, có đáp án

Lời giải:

Chọn B

Cách giải và biện luận phương trình bậc hai theo tham số m cực hay, có đáp án

Câu 15: Khi phương trình x2 + (m + 1)x - m = 0 có nghiệm kép, giá trị của nghiệm kép là:

Cách giải và biện luận phương trình bậc hai theo tham số m cực hay, có đáp án

Lời giải:

Chọn C

Cách giải và biện luận phương trình bậc hai theo tham số m cực hay, có đáp án

Câu 16: Cho phương trình x2 - 2x + 1 - m2 = 0 với m là tham số. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Cách xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai cực hay, có đáp án

Lời giải:

Chọn D

Cách xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai cực hay, có đáp án

Câu 17: Giá trị nguyên nhỏ nhất của tham số m để phương trình x2 - 2(m + 7)x + m2 - 4 = 0 có hai nghiệm trái dấu là:

Cách xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai cực hay, có đáp án

Lời giải:

Chọn C

Cách xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai cực hay, có đáp án

Câu 18: Phương trình 2x2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0 có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối nhưng trái dấu nhau khi:

Cách xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai cực hay, có đáp án

Lời giải:

Chọn C

Cách xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai cực hay, có đáp án

Câu 19: Tìm m để phương trình x2 - 2(m - 2)x - 6m = 0 có nghiệm x1; x2 sao cho biểu thức x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất.

Tìm m để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước cực hay, có đáp án

Lời giải:

Chọn D

Tìm m để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước cực hay, có đáp án

Câu 20:Tìm m để mx2 - 2(m + 1)x + m + 3 = 0 là phương trình bậc hai nhận x = -2 là nghiệm.

Tìm m để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước cực hay, có đáp án

Lời giải:

Chọn A

Tìm m để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước cực hay, có đáp án

Câu 21: Tìm m để hai phương trình x2 + x + m - 2 = 0 (1) và x2 + (m - 2)x + 1 = 0 (2) có nghiệm chung.

Tìm m để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước cực hay, có đáp án

Lời giải:

Chọn D

Tìm m để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước cực hay, có đáp án

Xem các Phương pháp giải bài tập hay, chi tiết khác:

Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn và cách giải bài tập

Hệ phương trình lớp 10 và cách dạng bài tập

Công thức giải phương trình bậc nhất chi tiết nhất

Công thức giải phương trình bậc hai đầy đủ, chi tiết nhất

Tất tần tật về Hệ thức Vi-et | Công thức Hệ thức Vi-et