Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Phương pháp giải Tất tần tật về Hệ thức Vi-et (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024 gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 10 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Phương pháp giải Tất tần tật về Hệ thức Vi-et (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024

I. Lí thuyết tổng hợp

- Định lí Vi- ét:

+ Phương trình bậc hai có dạng ${\text{ax}}^2+bx+c=0$ ($a\ne 0$) có hai nghiệm $x_1$,$x_2$ , khi đó ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{-b}{a}\\ x_1.x_2=\frac{c}{a}\end{array}\right.$

+ Cho hai số u và v có tổng u + v = S và có tích u.v = P thì u và v là các nghiệm của phương trình: $x^2-Sx+P=0$

II. Các công thức

- Định lí Vi-ét:

+) ${\text{ax}}^2+bx+c=0$ ($a\ne 0$) có $\Delta \ge 0$ ($\Delta \text{'}\ge 0$)$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{-b}{a}\\ x_1.x_2=\frac{c}{a}\end{array}\right.$

+) $\left\{\begin{array}{l}u+v=S\\ u.v=P\end{array}\right.$

$\Rightarrow x^2-Sx+P=0\iff \left\{\begin{array}{l}x=u\\ x=v\end{array}\right.$

- Dấu của nghiệm phương trình bậc hai:

+) Hai nghiệm phân biệt cùng dấu $\iff \left\{\begin{array}{l}\Delta >0\\ x_1.x_2>0\end{array}\right.$

+) Hai nghiệm phân biệt dương $\iff \left\{\begin{array}{l}\Delta >0\\ x_1+x_2>0\\ x_1.x_2>0\end{array}\right.$

+) Hai nghiệm phân biệt âm $\iff \left\{\begin{array}{l}\Delta >0\\ x_1+x_2<0\\ x_1.x_2>0\end{array}\right.$

+) Hai nghiệm phân biệt trái dấu $\iff a.c<0$

III. Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho phương trình $x^2+2mx+2m-1=0$. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1$, $x_2$ thỏa mãn: ${x_1}^2+{x_2}^2=6$.

Lời giải:

Xét phương trình:$x^2+2mx+2m-1=0$

$$\begin{gathered} \Delta \text{'}=m^2-1.(2m-1). \\ =m^2-2m+1 \\ ={(m-1)}^2\ge 0\forall m\in ℝ \end{gathered}$$

$\Rightarrow$ Phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1$,  $x_{2 }$$\iff m\ne 1$

Áp dụng định lí Vi-ét ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{-2m}{1}=-2m\\ x_1.x_2=\frac{2m-1}{1}=2m-1\end{array}\right.$

Ta có:  

$$\begin{gathered} {x_1}^2+{x_2}^2=6 \\ \iff {x_1}^2+2x_1{x}_2+{x_2}^2-2x_1{x}_2=6 \\ \iff {(x_1+x_2)}^2-2x_1{x}_2=6 \\ \iff {(-2m)}^2-2.(2m-1)=6 \\ \iff 4m^2-4m+2=6 \\ \iff 4m^2-4m-4=0 \\ \iff m^2-m-1=0 \end{gathered}$$

Xét phương trình $m^2-m-1=0$ có $\Delta ={(-1)}^2-\mathrm{4.1.}(-1)=5$ > 0

$\Rightarrow$ Phương trình $m^2-m-1=0$ có hai nghiệm phân biệt

$m_1=\frac{-(-1)+\sqrt{5}}{2.1}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ (t/m)

$m_2=\frac{-(-1)-\sqrt{5}}{2.1}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ (t/m)

Vậy với $m=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ hoặc $m=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ thì phương trình có hai nghiệm $x_1$, $x_2$ thỏa mãn: ${x_1}^2+{x_2}^2=6$.

Bài 2: Cho phương trình $x^2+4x+2=0$. Tìm giá trị biểu thức $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$ mà không cần phải tìm nghiệm của phương trình với x₁; x₂ là hai nghiệm của phương trình đã cho.

Lời giải:

Xét phương trình $x^2+4x+2=0$

$\Delta \text{'}=2^2-1.2=2>0$

$\Rightarrow$ Phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂

Áp dụng định lí Vi-ét ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{-4}{1}=-4\\ x_1.x_2=\frac{2}{1}=2\end{array}\right.$

Ta có:

$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_2+x_1}{x_1.x_2}=\frac{-4}{2}=-2$

Vậy $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=-2.$

Bài 3: Tìm m thỏa mãn các điều kiện sau:

a) $x^2+4x-2m=0$ có hai nghiệm phân biệt trái dấu.

b) $x^2+mx-m-1=0$ có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.

c) $x^2+mx-m-1=0$ có hai nghiệm phân biệt dương.

d) $2x^2+3mx-2=0$ có hai nghiệm phân biệt âm.

Lời giải:

a)

Xét phương trình $x^2+4x-2m=0$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu thì $1.(-2m)<0\iff m>0$

Vậy m > 0 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt trái dấu.

b)

Xét phương trình $x^2+mx-m-1=0$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì

$$\begin{gathered} \Delta =m^2-\mathrm{4.1.}(-m-1) \\ =m^2+4m+4={(m+2)}^2>0 \\ \iff m\ne -2 \left(1\right) \end{gathered}$$

Áp dụng định lí Vi-ét ta có:

$x_1.x_2=\frac{-m-1}{1}=-m-1$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu:

$\Rightarrow -m-1>0\iff m<-1$ (2)

Kết hợp hai điều kiện (1), (2) ta có m < -1 và $m\ne -2$ thì phương trình $x^2+mx-m-1=0$ có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.

c)

Xét phương trình $x^2+mx-m-1=0$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì

$$\begin{gathered} \Delta =m^2-\mathrm{4.1.}(-m-1) \\ =m^2+4m+4={(m+2)}^2>0 \\ \iff m\ne -2 \left(1\right) \end{gathered}$$

Áp dụng định lí Vi-ét ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{-m}{1}=-m\\ x_1.x_2=\frac{-m-1}{1}=-m-1\end{array}\right.$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt dương:

$$\begin{gathered} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}-m>0\\ -m-1>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m<0\\ m<-1\end{array}\right. \\ \iff m<-1 \left(2\right) \end{gathered}$$

Kết hợp hai điều kiện (1), (2) ta có m < -1 và $m\ne -2$ thì phương trình $x^2+mx-m-1=0$ có hai nghiệm phân biệt dương.

d)

Xét phương trình  $2x^2+3mx-2=0$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì

$$\begin{gathered} \Delta ={\left(3m\right)}^2-\mathrm{4.2.}(-2) \\ =9m^2+16>0\forall m\in ℝ \end{gathered}$$

Áp dụng định lí Vi-ét ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{-3m}{2}\\ x_1.x_2=\frac{-2}{2}=-1\end{array}\right.$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt âm:

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}-\frac{3m}{2}<0\\ -1>0\end{array}\right.$ (vô lý vì – 1 < 0)

Vậy phương trình không thể có hai nghiệm phân biệt âm.

IV. Bài tập vận dụng 

Bài 1: Cho phương trình $4x^2-4mx-2m=0$. Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.

Bài 2: Cho phương trình $x^2-2(m+1)x+3m=0$. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn $x_1=2x_2$.

Bài 3: Cho phương trình

 (1)

a) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m;

b) Tính theo tham số m giá trị của biểu thức

Bài 4: Cho phương trình bậc hai  (x là ẩn số, m là tham số)

a) Chứng minh phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂ với mọi m,

b) Tìm m để hai nghiệm x₁, x₂ của phương trình có tổng hai nghiệm bằng 6

Bài 5: Cho phương trình  (x là ẩn số, m là tham số)

a, Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

b, Tìm m để hai nghiệm phân biệt của phương trình thỏa mãn  có giá trị nhỏ nhất.

Bài 6: Tìm m để phương trình  có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn .

Bài 7: Cho phương trình . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn 

V. Bài tập tự luyện $$

Bài 1: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình $x^2-2x+m-1=0$ (m là tham số) có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn ${x_1}^2+{x_2}^2-3x_1{x}_2=2m^2+m-3$

Bài 2: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình $x^2+4x+3m-2=0$ (m là tham số) có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn $x_1+2x_2=1$

Bài 3: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình $x^2-2(m+1)x+m^2+3=0$ (m là tham số) có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn $\left|x_1\right|+\left|x_2\right|=10$

Bài 4: Cho phương trình $2x^2+(2m-1)x+m-1=0$ (m là tham số). Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà không phụ thuộc vào m.

Bài 5: Cho phương trình $x^2-2(2m+1)x+3-4m=0$ (m là tham số). Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà không phụ thuộc vào m.

Bài 6: Áp dụng hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm phương trình sau: $3x^2-12x+9=0$

Bài 7: Áp dụng hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm phương trình sau: $2021x^2-2022x+1=0$

Bài 8: Tìm hai số thực biết tổng của chúng là 14 và tích của chúng là 13.

Bài 9: Cho hai số có tổng bằng 6 và tích bằng 5. Tìm hai số đó.

Bài 10: Cho hai số có tổng bằng 17 và tích bằng 180. Tìm hai số đó.

Bài 11: Cho phương trình $x^2+7x-4=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$.

Xem các Phương pháp giải bài tập hay, chi tiết khác: 

Công thức giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối chi tiết

Công thức giải phương trình chứa dấu căn chi tiết

Công thức giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, ba ẩn chi tiết

Bất đẳng thức lớp 10 và cách giải bài tập

Bất phương trình bậc nhất và cách giải bài tập