Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Công thức giải phương trình bậc nhất (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024 gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 10 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Công thức giải phương trình bậc nhất (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024

I. Lí thuyết tổng hợp

1. Phương trình bậc nhất một ẩn

Phương trình có dạng  ax + b = 0, với a và b là hai số đã cho và a ≠ 0, được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.

2. Hai quy tắc biến đổi phương trình

a) Quy tắc chuyển vế

Trong một phương trình ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó.

b) Quy tắc nhân với một số

Trong một phương trình, ta có thể nhân (hoặc chia) cả hai vế với cùng một số khác 0.

3. Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn

Bước 1: Chuyển vế ax = −b

Bước 2: Chia hai vế cho a ta được: $x=\frac{-b}{a}$

Bước 3: Kết luận nghiệm: $S=\left\{\frac{-b}{a}\right\}$

• Tổng quát: Phương trình ax + b = 0 (với a ≠ 0) được giải như sau:

ax + b = 0 $\iff$ ax = − b  $\iff x=\frac{-b}{a}$

Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất là $x=\frac{-b}{a}$

II. Các công thức

1. Giải và biện luận phương trình bậc nhất: ax + b = 0.

$a\ne 0$ax + b = 0$\iff$$x=\frac{-b}{a}$

$\left\{\begin{array}{l}a=0\\ b\ne 0\end{array}\right.\Rightarrow$ax + b = 0$\iff x\in \varnothing$

$\left\{\begin{array}{l}a=0\\ b=0\end{array}\right.\Rightarrow \text{ax}+b=0\iff x\in ℝ$

2. Một số phương trình đưa về phương trình bậc nhất một ẩn

- Phương trình tích:

$A\left(x\right).B\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}A\left(x\right)=0\\ B\left(x\right)=0\end{array}\right.$

- Phương trình chứa ẩn ở mẫu:

+ Tìm điều kiện xác định

+ Quy đồng mẫu số và bỏ mẫu số

+ Giải phương trình sau khi bỏ mẫu số

+ Kiểm tra nghiệm với điều kiện xác định xem có thỏa mãn hay không

+ Kết luận nghiệm

III. Ví dụ minh họa

Bài 1: Giải và biện luận phương trình 3mx + m = 0.

Lời giải:

Xét phương trình: 3mx + m = 0 có a = 3m, b = m

Với $3m\ne 0\iff m\ne 0$ thì phương trình có duy nhất một nghiệm $x=\frac{-m}{3m}=\frac{-1}{3}$ 

Với $\left\{\begin{array}{l}3m=0\\ m\ne 0\end{array}\right.\iff m\in \varnothing \Rightarrow$ Phương trình vô nghiệm  

Với $\left\{\begin{array}{l}3m=0\\ m=0\end{array}\right.\iff m=0$ thì phương trình có vô số nghiệm.

Vậy với m = 0 thì phương trình có vô số nghiệm, m ≠ 0 thì phương trình có duy nhất một nghiệm $x=\frac{-1}{3}.$

Bài 2: Giải phương trình (x – 3)(2x – 8) = 0.

Lời giải:

Ta có:

(x – 3)(2x – 8) = 0

$$\begin{gathered} \iff \left[\begin{array}{l}x-3=0\\ 2x-8=0\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=3\\ 2x=8\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=3\\ x=4\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {3; 4}.

Bài 3: Giải phương trình: $\frac{2}{x+4}+\frac{3}{x-2}=0$.

Lời giải:

Điều kiện xác định của phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}x+4\ne 0\\ x-2\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne -4\\ x\ne 2\end{array}\right.$

Ta có:

$$\begin{gathered} \frac{2}{x+4}+\frac{3}{x-2}=0 \\ \iff \frac{2(x-2)}{(x+4)(x-2)}+\frac{3(x+4)}{(x+4)(x-2)}=0 \\ \Rightarrow 2(x-2)+3(x+4)=0 \end{gathered}$$ 

$\iff$2x – 4 + 3x + 12 = 0

$\iff$5x = - 8

x =  $\frac{-8}{5}$ (thỏa mãn điều kiện xác định)

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{\frac{-8}{5}\right\}$.

IV. Bài tập vận dụng 

Bài 1: Giải và biện luận phương trình (3 + m)x – 2 = 0.

Bài 2: Giải phương trình (3x – 5)(4 – 2x) = 0.

Bài 3: Giải các phương trình:

a) 4x – 20 = 0

b) 2x + x + 12 = 0

c) x – 5 = 3 – x

d) 7 – 3x = 9 – x

Bài 4: Giải các phương trình sau, viết số gần đúng của mỗi nghiệm ở dạng số thập phân bằng cách làm tròn đến hàng phần trăm.

a) 3x – 11 = 0

b) 12 + 7x = 0

c) 10 – 4x = 2x – 3

Bài 5: Giải phương trình x + 3 = 0

Bài 6: Giải phương trình $\frac{x}{2}$ = - 2.

Bài 7: Giải các phương trình

a) 4x – 20 = 0

b) 2x + x + 12 = 0

c) x – 5 = 3 – x

d) 7 – 3x = 9 – x

Bài 8: Giải các phương trình:

a) x – 4 = 0;

b) $\frac{3}{4}$ + x = 0;

c) 0,5 – x = 0.

Bài 9: Giải các phương trình:

a) $\frac{x}{2}$ = -1;

b) 0,1x = 1,5;

c) -2,5x = 10.

Bài 10: Giải phương trình: -0,5x + 2,4 = 0.

Bài 11: Phương trình 2x – 3 = 12 – 3x có bao nhiêu nghiệm?

Bài 12: Số nghiệm của phương trình (x – 1)² = x² + 4x – 3 là:

Bài 13: Cho biết 2x – 2 = 0. Tính giá trị của 5x² – 2.

Bài 14 Giả sử x⁰ là một số thực thỏa mãn 3 – 5x = -2. Tính giá trị của biểu thức S =  ta đươc

Bài 15: Tính giá trị của (5x² + 1)(2x – 8) biết 

Bài 16: Giải các phương trình:

a) x – 4 = 0;

b) $\frac{3}{4}$+ x = 0;

c) 0,5 – x = 0.

Bài 17: Giải các phương trình:

a) $\frac{x}{2}$ = -1;

b) 0,1x = 1,5;

c) -2,5x = 10.

Bài 18: Giải phương trình: -0,5x + 2,4 = 0.

Bài 19: Tính diện tích S của hình thang ABCD theo x bằng hai cách:

1) Tính theo công thức: S = BH x (BC + DA) : 2

2) S = S_ABH + S_BCKH + S_CKD

Sau đó, sử dụng giả thiết S = 20 để thu được hai phương trình tương đương với nhau. Trong hai phương trình ấy, có phương trình nào là phương trình bậc nhất không?

Bài 20: Hãy chỉ ra các phương trình bậc nhất trong các phương trình sau:

a) 1 + x = 0

b) x + x² = 0

c) 1 – 2t = 0

d) 3y = 0

e) 0x – 3 = 0.

V. bài tập tự luyện 

Bài 1: Nghiệm của phương trình 2x - 1 = 3 là ?

A. x = - 2.   

B. x = 2.

C. x = 1.   

D. x = - 1.

Hướng dẫn:

Ta có: 2x - 1 = 3 ⇔ 2x = 1 + 3 ⇔ 2x = 4

⇔ x = $\frac{4}{2}$ ⇔ x = 2.

Vậy nghiệm của phương trình là x = 2.

Chọn đáp án B.

Bài 2: Nghiệm của phương trình $\frac{y}{2}$ + 3 = 4 là?

A. y = 2.   

B. y = - 2.

C. y = 1.  

D. y = - 1.

Hướng dẫn:

Ta có: $\frac{y}{2}$ + 3 = 4 ⇔ $\frac{y}{2}$ = 4 - 3 ⇔ $\frac{y}{2}$ = 1

⇔ y = 2.1 ⇔ y = 2.

Vậy nghiệm của phương trình là y = 2.

Chọn đáp án A.

Bài 3: Giá trị của m để phương trình 2x = m + 1 có nghiệm x = - 1 là ?

A. m = 3.   

B. m = 1.

C. m = - 3   

D. m = 2.

Hướng dẫn:

Phương trình 2x = m + 1 có nghiệm x = - 1

Khi đó ta có: 2.( - 1 ) = m + 1 ⇔ m + 1 = - 2 ⇔ m = - 3.

Vậy m = - 3 là giá trị cần tìm.

Chọn đáp án C.

Bài 4: Tập nghiệm của phương trình - 4x + 7 = - 1 là?

A. S = { 2 }.   

B. S = { - 2 }.

C. S = {$\frac{3}{2}$ }.   

D. S = { 3 }.

Hướng dẫn:

Ta có: - 4x + 7 = - 1 ⇔ - 4x = - 1 - 7 ⇔ - 4x = - 8

⇔ x = $\frac{-8}{-4}$ ⇔ x = 2.

Vậy phương trình có tập nghiệm là S = { 2 }.

Chọn đáp án A.

Bài 5: x = $\frac{1}{2}$ là nghiệm của phương trình nào sau đây?

A. 3x - 2 = 1.

B. 2x - 1 = 0.

C. 4x + 3 = - 1.

D. 3x + 2 = - 1.

Hướng dẫn:

+ Đáp án A: 3x - 2 = 1 ⇔ 3x = 3 ⇔ x = 1 → Loại.

+ Đáp án B: 2x - 1 = 0 ⇔ 2x = 1 ⇔ x = $\frac{1}{2}$ → Chọn.

+ Đáp án C: 4x + 3 = - 1 ⇔ 4x = - 4 ⇔ x = - 1 → Loại.

+ Đáp án D: 3x + 2 = - 1 ⇔ 3x = - 3 ⇔ x = - 1 → Loại.

Chọn đáp án B.

Bài 6: Giải phương trình:

A. x = 2    

B. x = 1

C. x = -2    

D. x = -1

Bài 7: Giải phương trình: 4x - 2(x + 1) = 3x + 2

A. x = 2    

B. x = -3

C. x = - 4   

D. x = 5

Bài 8: Tìm số nghiệm của phương trình sau: x + 2 - 2(x + 1) = -x

A. 0    

B.1

C. 2    

D. Vô số

Bài 9: Tìm tập nghiệm của phương trình sau: 2(x + 3) - 5 = 4 – x

A. S = {1}    

B. S = 1

C. S = {2}    

D. S = 2

Bài 10: Phương trình sau có 1 nghiệm  là phân số tối giản. Tính a + b

   A. 22     B. 17

   C. 27     D. 20