I. Lí thuyết tổng hợp

- Định nghĩa: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều khác vectơ $\overrightarrow{0}$. Từ một điểm O bất kì, ta vẽ hai vectơ $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$. Khi đó, góc $\widehat{AOB}$ với số đo từ $0^o$ đến ${180}^o$ được gọi là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$.

- Kí hiệu góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$: $(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$

- Chú ý: Với hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều khác vectơ $\overrightarrow{0}$.

+ Nếu $(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$ = ${90}^o\iff \overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}$ hoặc  $\overrightarrow{b}\perp \overrightarrow{a}$,  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0$ 

+ Nếu $(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$ = $0^o\iff$ Hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng.

+ Nếu $(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$ = ${180}^o\iff$ Hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ ngược hướng.

II. Các công thức

- Cho hai vectơ $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$ đều khác vectơ $\overrightarrow{0}$ ta có:

$(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\widehat{AOB}$ ($0^o\le \widehat{AOB}\le {180}^o$ )

- Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=(a_1;a_2)$ và $\overrightarrow{b}=(b_1;b_2)$ đều khác vectơ $\overrightarrow{0}$ ta có:

$$\begin{gathered} \cos (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}=\frac{a_1{b}_1+a_2{b}_2}{\sqrt{a_1+a_2}.\sqrt{b_1+b_2}} \\ \overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}\iff (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})={90}^o \\ \iff \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0\iff a_1.b_1+a_2.b_2=0 \end{gathered}$$

- Lưu ý: Góc giữa hai vectơ luôn có số đo từ $0^o$ đến ${180}^o$.

III. Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho hình thoi ABCD biết $\widehat{BAD}={120}^o$. Tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{DC}$ và $\overrightarrow{AD}$.

Lời giải:

Ta có: AB // DC và AB = DC (vì ABCD là hình thoi)   $\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$

$\Rightarrow (\overrightarrow{DC},\overrightarrow{AD})=(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})$

Mà $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})=\widehat{BAD}={120}^o$

$\Rightarrow (\overrightarrow{DC},\overrightarrow{AD})={120}^o$

Bài 2: Cho các vectơ $\overrightarrow{a}=(1;2)$,$\overrightarrow{b}=(-2;5)$  và $\overrightarrow{c}=(-6;3)$. Tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$, góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{c}$.

Lời giải:

Ta có:

Bài 3: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ có độ dài lần lượt là 6 và 8, tích vô hướng  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ = 24. Tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$.

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=24$, $\left|\overrightarrow{a}\right|=6$ và  $\left|\overrightarrow{b}\right|=8$

$\cos (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}=\frac{24}{6.8}=\frac{1}{2}$

Góc giữa hai vectơ có số đo từ $0^o$ đến ${180}^o$ $\Rightarrow (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})={60}^o$.

IV. Bài tập tự luyện 

Câu 1. Cho O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều $MNP.$ Góc nào sau đây bằng ?

A. $\left(\overrightarrow{MN},\overrightarrow{NP}\right)$      B.  $\left(\overrightarrow{MO},\overrightarrow{ON}\right).$        C.  $\left(\overrightarrow{MN},\overrightarrow{OP}\right).$        D. $\left(\overrightarrow{MN},\overrightarrow{MP}\right).$

Câu 2. Cho tam giác đều $ABC.$ Tính $P=\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)+\cos \left(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CA}\right)+\cos \left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{AB}\right).$

A.  $P=\frac{3\sqrt{3}}{2}.$     B. $P=\frac{3}{2}.$             C.  $P=-\frac{3}{2}.$          D. $P=-\frac{3\sqrt{3}}{2}.$

Câu 3. Cho tam giác đều $ABC$ có đường cao $AH.$ Tính $\left(\overrightarrow{AH},\overrightarrow{BA}\right).$

A. ${30}^0.$                                       B. ${60}^0.$                 C. ${120}^0.$     D.   ${150}^0.$

Câu 4. Tam giác ABC vuông ở A và có góc $\widehat{B}={50}^0.$ Hệ thức nào sau đây sai?

A. $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)={130}^0.$                         B. $\left(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AC}\right)={40}^0.$

C. $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CB}\right)={50}^0.$                                                    D. $\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}\right)={40}^0.$

Câu 5. Tam giác ABC vuông ở A và có $BC=2AC.$ Tính $\cos \left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}\right).$

A.  $\cos \left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}\right)=\frac{1}{2}.$                       B. $\cos \left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}\right)=-\frac{1}{2}.$

Câu 6: Cho tứ diện đều ABCD. Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng:

A. 60°                 B. 30°                 C. 90°                 D. 45°

Câu 7: Cho tứ diện ABCD đều cạnh bằng a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Góc giữa AO và CD bằng bao nhiêu?

A. 0°                 B. 30°                 C. 90°                 D. 60°

Câu 8: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB và CA = CB. Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng chéo nhau SC và AB

A. 30°                 B. 45°                 C. 60°                 D. 90°

Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC và BC. Số đo của góc (IJ; CD)bằng:

A . 90°                 B. 45°                 C. 30°                 D. 60°

Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh SA = x, tất cả các cạnh còn lại đều bằng a. Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng SA và SC

A. 30°                 B. 45°                 C. 60°                 D.90°

Câu 11: Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của cạnh BC. Khi đó cos( AB; DM) bằng

Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD. Số đo của góc (MN; SC) bằng

A. 30°                 B. 45°                 C. 60°                 D.90°

Câu 13: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và ∠BAC = ∠BAD = 60°, ∠CAD = 90°. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD Hãy xác định góc giữa cặp vectơ IJ→ và CD→ ?

A. 45°                 B. 90°                  C. 60°                 D. 120°

Xem các Phương pháp giải bài tập hay, chi tiết khác: 

Công thức Tích vô hướng của hai vectơ chi tiết nhất

Các tính chất của tích vô hướng chi tiết nhất

Công thức tính độ dài vectơ chi tiết nhất

Công thức khoảng cách giữa hai điểm vectơ lớp 10

Tất tần tật về Định lí Côsin và hệ quả chi tiết nhất