Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Phương pháp giải Phương trình đường elip (HAY NHẤT 2024) gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 10 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Phương pháp giải Phương trình đường elip (HAY NHẤT 2024)

A. Lí thuyết tổng hợp

- Định nghĩa: Cho hai điểm cố định $F_1$ và $F_2$ và một độ dài không đổi 2a lớn hơn $F_1{F}_2$. Elip là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho $F_{1}M+F_{2}M=2a$.

- Các thành phần của Elip: Trong mặt phẳng Oxy

- Phương trình chính tắc của elip: Cho elip (E) có các tiêu điểm $F_1$ và $F_2$. Điểm M thuộc elip khi và chỉ khi $F_{1}M+F_{2}M=2a$. Chọn hệ trục tọa độ Oxy, cho $F_1$(-c; 0) và $F_2$(c; 0). Khi đó ta có:

M (x; y) $\in \left(E\right)\iff \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$. (1)  với $b^2=a^2-c^2$

Phương trình (1) là phương trình chính tắc của elip.

- Hình dạng của elip: Elip có hai trục đối xứng là Ox, Oy và có tâm đối xứng là gốc toạ độ.

- Liên hệ giữa đường tròn và đường elip:

+ Từ hệ thức $b^2=a^2-c^2$ ta thấy nếu tiêu cự của elip càng nhỏ thì b càng gần bằng a, tức là trục nhỏ của elip càng gần bằng trục lớn. Lúc đó elip có dạng gần như đường tròn

+ Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình $x^2+y^2=a^2$. Với mỗi điểm M (x; y) thuộc đường tròn ta xét điểm M’(x’; y’) sao cho :  $\left\{\begin{array}{l}x\text{'}=x\\ y\text{'}=\frac{b}{a}y\end{array}\right.$ với (0 < b < a)  thì tập hợp các điểm M’ có tọa độ thỏa mãn phương trình:

$\frac{x{\text{'}}^2}{a^2}+\frac{y{\text{'}}^2}{b^2}=1$ là một elip (E). Khi đó ta nói đường tròn (C) được co thành elip (E).

B. Các dạng bài

Dạng 1: Tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, trục lớn, trục nhỏ của Elip.

Phương pháp giải:

Cho elip (E) có phương trình $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

- Trục lớn của (E) nằm trên Ox: ${\text{A}}_1{\text{A}}_2=2a$

- Trục nhỏ của (E) nằm trên Oy: $B_1{B}_2=2b$

- Tiêu cự của (E):  $F_1{F}_2=2c=2\sqrt{a^2-b^2}$

- Tiêu điểm của (E): $F_1$(-c; 0) và $F_2$(c; 0) với $c=\sqrt{a^2-b^2}$

- Tâm sai của (E): $e=\frac{c}{a}<1$ với$c=\sqrt{a^2-b^2}$

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Xác định độ dài các trục, tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai của elip (E) có phương trình: $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$.

Lời giải:

Xét phương trình elip (E) :

Bài 2: Cho elip có phương trình $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1$. Tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, trục lớn, trục nhỏ của elip.

Lời giải:

Dạng 2: Viết phương trình chính tắc của Elip.

Phương pháp giải:

Từ các thông tin đề bài cho, ta áp dụng các hệ thức:

+ Hai tiêu điểm:$F_1$ (-c; 0) và $F_2$(c; 0)

+ Bốn đỉnh:$A_1$ (-a; 0), $A_2$(a; 0), $B_1$ (0; -b) và $B_2$(0; b)

+ Độ dài trục lớn:${\text{A}}_1{\text{A}}_2=2a$

+ Độ dài trục nhỏ:$B_1{B}_2=2b$

+ Tiêu cự: $F_1{F}_2=2c$

+ Tâm sai của (E): $e=\frac{c}{a}<1$

+ $b^2=a^2-c^2$

Từ đó tìm ra a và b để viết phương trình chính tắc của elip: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$.

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Lập phương trình elip (E) biết độ dài trục lớn là 10, độ dài trục nhỏ là 6.

Lời giải:

Gọi các đỉnh của elip là: $A_1$(-a; 0), $A_2$(a; 0), $B_1$ (0; -b) và $B_2$ (0; b)

Ta có độ dài trục lớn: ${\text{A}}_1{\text{A}}_2=2a=10\Rightarrow a=5$

Ta có độ dài trục nhỏ:   $B_1{B}_2=2b=6\Rightarrow b=3$

Ta có phương trình chính tắc của elip: $\frac{x^2}{5^2}+\frac{y^2}{3^2}=1\iff \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$.

Bài 2: Cho elip (E) có tiêu cự là 16 và tâm sai là 0,8 . Lập phương trình chính tắc của elip (E).

Lời giải:

Dạng 3: Lập phương trình Elip đi qua 2 điểm hoặc qua 1 điểm thỏa mãn điều kiện.

Phương pháp giải:

- Lập phương trình elip (E) đi qua hai điểm A và B:

+ Gọi phương trình chính tắc của elip (E): $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$  (a > b > 0).

+ Do hai điểm A và B thuộc elip (E) nên thạy tọa độ hai điểm này vào phương trình (E) ta được hai phương trình ẩn $a^2,b^2$.

+ Giải hệ phương trình ta được $a^2,b^2\Rightarrow$  Phương trình chính tắc của elip.

- Lập phương trình chính tắc của elip (E) đi qua điểm M và thỏa mãn điều kiện về tiêu cự ; độ dài trục lớn, trục nhỏ; tâm sai...

+ Gọi phương trình chính tắc của elip (E) :  (a > b > 0).

+ Do điểm M thuộc elip (E) nên thạy tọa độ điểm này vào phương trình (E) ta được một phương trình ẩn $a^2,b^2$

+ Từ điều kiện của đề bài thiết lập một phương trình ẩn $a^2,b^2$, với $a^2-b^2=c^2$

Kết hợp ba phương trình trên để tìm $a^2,b^2\Rightarrow$ Phương trình chính tắc của elip ( E)

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Lập phương trình chính tắc của elip (E) khi biết một tiêu điểm là $F_1(-\sqrt{3};0)$ và elip đi qua điểm A $\left(1;\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Lời giải:

Gọi phương trình chính tắc của elip (E) là: 

Bài 2: Lập phương trình chính tắc của elip (E) biết elip đi qua hai điểm N(0; 1) và M $\left(1;\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Lời giải:

Gọi phương trình chính tắc của elip (E) là: 

Dạng 4: Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip

Phương pháp giải:

+ Phương trình elip có dạng: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ và đường thẳng  $\Delta :y=mx+n.$

+ Ta xét phương trình: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{{(mx+n)}^2}{b^2}=1(*)$. Ta có 3 trường hợp:

TH1: $(*)$ có 2 nghiệm thì số giao điểm là 2 (đường thẳng cắt elip).

TH2: $(*)$ có 1 nghiệm thì số giao điểm là 1 (đường thẳng tiếp xúc elip).

TH3: $(*)$vô nghiệm thì số giao điểm là 0 (đường thẳng và elip không có điểm chung).

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Cho elip $\left(E\right):\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ và đường thẳng . Có bao nhiêu giao điểm của đường thẳng d và elip (E)?

Lời giải:

Ta có

$d:3x+4y-12=0\iff y=3-\frac{3x}{4}$,

thay vào phương trình $\left(E\right):\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ ta được

Vậy d luôn cắt (E) tại hai điểm phân biệt A(0; 3), B(4; 0).

Bài 2: Cho elip $\left(E\right):\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$ và đường thẳng $d:x-\sqrt{2}y+2=0$. Số giao điểm của đường thẳng d và elip (E) là bao nhiêu?

Lời giải

Tọa độ giao điểm của elip và đường thẳng là nghiệm của hệ:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1\\ x-\sqrt{2}y+2=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}{x}^2+2y^2=8\\ x=\sqrt{2}y-2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{y}^2-\sqrt{2}y-1=0\\ x=\sqrt{2}y-2\end{array}\right. \end{gathered}$$

Có 2 nghiệm  nên có 2 nghiệm$x\Rightarrow$  có 2 giao điểm.

C. Bài tập vận dụng  

Bài 1: Xác định tiêu cự, độ dài trục lớn, trục nhỏ của elip có phương trình: $\frac{x^2}{49}+y^2=1$.

Đáp án: $A_1{A}_2=14;B_1{B}_2=2;F_1{F}_2=8\sqrt{3}$

Bài 2: Xác định tiêu điểm, tâm sai của elip có phương trình: $\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{16}=1$.

Đáp án:

$F_1(-4\sqrt{3};0),F_2(4\sqrt{3};0),e=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Bài 3: Xác định tiêu cự, tâm sai của elip có phương trình: $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$.

Đáp án:$F_1{F}_2=2\sqrt{2},e=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Bài 4: Viết phương trình chính tắc của elip có độ dài trục lớn là 10 và độ dài trục nhỏ là 4.

Lời giải: $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{4}=1$

Bài 5: Viết phương trình chính tắc của elip có độ dài trục lớn là 20 và có một tiêu điểm là $F_2$(3; 0).

Đáp án: $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{91}=1$

Bài 6: Viết phương trình chính tắc của elip có độ dài trục nhỏ là 12 và có một tiêu điểm là $F_1$(-2; 0).

Đáp án: $\frac{x^2}{40}+\frac{y^2}{36}=1$

Bài 7: Viết phương trình chính tắc của elip đi qua điểm A(3; 0) và có một tiêu điểm là (-2; 0).

Đáp án: $\frac{x^2}{34}+\frac{y^2}{25}=1$

Bài 8: Viết phương trình chính tắc của elip đi qua điểm A(0; 5) và có độ dài tiêu cự là 6. 

Đáp án: $\frac{x^2}{34}+\frac{y^2}{25}=1$

Bài 9: Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó đi qua điểm A(6; 0) và tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng $\frac{1}{2}$.

Đáp án: $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{27}=1$

Bài 10:  Lập phương trình chính tắc của elip, biết elip đi qua hai điểm A(7; 0) và B(0; 3).

Đáp án: $\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{9}=1$

D. Bài tập tự luyện 

Câu 1: Phương trình chính tắc của elip có độ dài trục lơn bằng 8, độ dài trục nhỏ bằng 6 là:

Câu 2: Phương trình của elip có 1 tiêu điểm F₂(1;0) và đi qua điểm M(2; -2/√5) là:

Câu 3: Cho elip có phương trình 4x²+9y²=36. Khi đó hình chữ nhật cơ sở có diện tích bằng:

A. 6     B. 12     C. 24     D. 36

Câu 4: Cho elip (E) có phương trình

Đường thẳng nào sau đây cắt (E) tại hai điểm đối xứng nhau qua trục Oy?

A. y = 2x     B. y = 3     C. x = 3     D. y = 10

Câu 5: Cho elip (E) có phương trình

với hai tiêu điểm là F₁,F₂. Với điểm M bất kì trên (E) thì chu vi tam giác MF₁F₁ là:

A. 50     B. 36

C. 34     D. Thay đổi phụ thuộc vào vị trí M

Câu 7: Phương trình chính tắc của elip có độ dài trục lớn bằng 8, độ dài tiêu cự bằng 6 là:

Câu 8: Phương trình chính tắc của elip có độ dài trục nhỏ bằng 8, hình chữ nhật cơ sở có chu vi bằng 40 là:

Câu 9: Phương trình chính tắc của elip có độ dài trục lớn bằng hai lần độ dài trục nhỏ và tiêu cự bằng 6 là:

Câu 10: Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của một elip?

Câu 11: Cho elip có phương trình 4x²+9y²=1. Khi đó hình chữ nhật cơ sở có diện tích bằng:

A. 6     B. 1/6     C. 24     D. 2/3

Câu 12: Cho elip có phương trình: 16x²+25y²=400. Khi đó chu vi hình chữ nhật cơ sở là:

A. 9     B. 18     C. 36     D. 48

Câu 13: Cho elip (E) có phương trình

Đường thẳng nào sau đây cắt (E) tại hai điểm đối xứng nhau qua trục Ox?

A. y = 5     B. y = 3

C. x = 3     D. x = 8

Câu 14: Đường thẳng y = kx cắt elip

tại hai điểm phân biệt:

A. Đối xứng nhau qua gốc tọa độ O

B. Đối xứng nhau qua trục Oy

C. Đối xứng nhau qua trục Ox

D. Nằm về một phía của Ox

Câu 15: Cho elip (E) có phương trình

và M là điểm nằm trên (E). Khẳng định nào sau đây là luôn đúng?

A. OM ≤ 4     B. 4 ≤ OM ≤ 5

C. 5 ≤ OM ≤ √ 41     D. OM ≥ √ 41

Câu 16: Cho elip (E):

và đường thẳng d: x = - 4 cắt (E) tại hai điểm M, N. Khi đó:

Câu 17: Cho elip (E) có một đỉnh là A(5; 0) và có 1 tiêu điểm F₁ (-4; 0). Phương trình chính tắc của elip là:

Câu 18: Cho elip (E) có các tiêu điểm F₁(-5;0),F₂(5;0) và một điểm M nằm trên (E) sao cho chu vi của tam giác MF₁F₂ bằng 30. Khi đó phương trình chính tắc của elip là:

Câu 19: Tìm phương trình chính tắc của elip nếu trục lớn gấp đôi trục bé và có tiêu cự bằng 4√3.

Câu 21: 15. Lập phương trình chính tắc của elip biết độ dài trục lớn hơn độ dài trục nhỏ 4 đơn vị, độ dài trục nhỏ hơn độ dài tiêu cự 4 đơn vị.

Câu 22: Lập phương trình chính tắc của elip biết tỉ số giữa độ dài trục nhỏ và tiêu cự bằng √2, tổng bình phương độ dài trục lớn và tiêu cự bằng 64.

Câu 23: Giao điểm của đường thẳng y = 2x và elip

Câu 24: Lập phương trình chính tắc của elip có độ dài trục lớn bằng 26 và tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng 12/13

Câu 25: Elip có tổng độ dài hai trục bằng 10 và tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng (√5)/3. Phương trình chính tắc của elip là:

Xem các phương pháp giải bài tập hay, chi tiết khác: 

Công thức xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng hay, chi tiết nhất

Công thức xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng hay, chi tiết nhất

Công thức viết phương trình tham số của đường thẳng hay, chi tiết nhất

Công thức viết phương trình tổng quát của đường thẳng hay, chi tiết nhất

Công thức chuyển đổi giữa phương trình tổng quát với phương trình tham số của đường thẳng