Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Phương pháp giải Công thức xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng (HAY NHẤT 2024) gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 10 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Công thức xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng (HAY NHẤT 2024)

I. Lý thuyết tổng hợp 

- Định nghĩa vectơ chỉ phương: Vectơ $\overrightarrow{u}$ ($\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}$) là vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ nếu giá của vectơ $\overrightarrow{u}$ song song hoặc trùng với đường thẳng $\Delta$.

- Chú ý:

+ Nếu $\overrightarrow{u}$ là vectơ chỉ phương của $\Delta$ thì k$\overrightarrow{u}$ ($k\ne 0$)  cũng là vectơ chỉ phương của .

+ Nếu đường thẳng $\Delta$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(a;b)$ thì đường thẳng đó có các vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=(b;-a)$ , $\overrightarrow{u\text{'}}=(-b;a)$

II. Các công thức

- Cho đường thẳng $\Delta$ đi qua hai điểm A và B có: $\overrightarrow{AB}$ là vectơ chỉ phương của 

- Cho $\overrightarrow{u}$ là vectơ chỉ phương của $\Delta$$\Rightarrow$  k$\overrightarrow{u}$ ($k\ne 0$)  là vectơ chỉ phương của .

- Cho đường thẳng $\Delta$ : $\left\{\begin{array}{l}x=x_0+u_{1}t\\ y=y_0+u_{2}t\end{array}\right.\Rightarrow$ Vectơ chỉ phương của $∆$ là $\overrightarrow{u}=(u_1;u_2)$

- Cho đường thẳng $\Delta$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(a;b)$ thì đường thẳng đó có các vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=(b;-a)$ , $\overrightarrow{u\text{'}}=(-b;a)$

- Cho đường thẳng d  và d’. Biết $d\perp d\text{'}$: Nếu d’ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n\text{'}}=(a;b)$ thì vectơ chỉ phương của d là $\overrightarrow{u}=(a;b)$

- Cho đường thẳng d và d’. Biết d // d’ : Nếu d’ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n\text{'}}=(a;b)$ thì vectơ chỉ phương của d là $\overrightarrow{u}=(-b;a),\overrightarrow{u}=(b;-a)$

III. Ví dụ minh họa 

Bài 1: Cho đường thẳng d đi qua hai điểm A(1; 3) và B(4; 5). Xác định 3 vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Lời giải:

Do đường thẳng d đi qua hai điểm A(1; 3) và B(4; 5) nên ta có:

$\overrightarrow{AB}$= (4 – 1; 5 – 3) = (3; 2) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

k$\overrightarrow{AB}$ ($k\ne 0$) cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Chọn k = 2, ta có vectơ chỉ phương : $\overrightarrow{u_2}=2\overrightarrow{AB}=(6;4)$

Chọn k = 3, ta có vectơ chỉ phương: $\overrightarrow{u_3}=3\overrightarrow{AB}=(9;6)$

Bài 2: Cho đường thẳng d: $\left\{\begin{array}{l}x=5+3t\\ y=-2-5t\end{array}\right.$. Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Lời giải:

Gọi $\overrightarrow{u}=(u_1;u_2)$ là vectơ chỉ phương của d.

Ta có d: $\left\{\begin{array}{l}x=5+3t\\ y=-2-5t\end{array}\right.$ $\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{u}_1=3\\ u_2=-5\end{array}\right.$ 

Vậy vectơ chỉ phương của d là $\overrightarrow{u}=(3;-5)$

Bài 3: Cho đường thẳng d có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}$= (1; 2). Tìm 2 vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Lời giải:

Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}$= (1; 2) 

$\Rightarrow$Vectơ chỉ phương $\stackrel{\rightharpoonup }{u}$= (2; -1)  và $\overrightarrow{u}=(-2;1)$

Bài 4: Cho hai đường thẳng d và d’. Tìm vectơ chỉ phương của d. Biết $d\perp d\text{'}$ và vectơ pháp tuyến của d’ là $\overrightarrow{n\text{'}}=(1;5)$.

Lời giải:

Do $d\perp d\text{'}$ và vectơ pháp tuyến của d’ là $\overrightarrow{n\text{'}}=(1;5)$ nên ta có:

Vectơ chỉ phương của d là $\overrightarrow{u}=(1;5)$

IV. Bài tập vận dụng 

Câu 1: Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng song song với trục Oy?

A. u₁→ = (1; 0).    B. u₂→ = (0; 1)    C. u₃→ = (1; 1)    D. u₄→ = (1; -1)

Lời giải:

Đáp án: B

Trục Oy có phương trình tổng quát là : x= 0. Đường thẳng này nhận vecto n→(1;0) làm VTPT.

⇒ Đường thẳng x= 0 nhận vecto u→( 0; 1) làm VTCP.

⇒ Một đường thẳng song song với Oy cũng có VTCP là j→(0;1)

Câu 2: Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm A(1;2) và B( -3;6)

A. u→( 1; 1)    B. u→( 1; -1)    C. u→( 2; -3)    D. u→(- 1; 2)

Lời giải:

Đáp án: B

Đường thẳng AB đi qua hai điểm A và B nên nhận vecto AB→( -4; 4) VTCP .

Lại có hai vecto AB→( -4;4) và u→( 1; -1) là hai vecto cùng phương .

⇒ đường thẳng AB nhận vecto u→( 1; -1) làm VTCP.

Câu 3: Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua gốc tọa độ O( 0; 0) và điểm M( a; b)

A. u→( 0; a + b)    B. u→( a; b)    C. u→( a; - b)    D. u→( -a; b)

Lời giải:

Đáp án: B

Đường thẳng OM đi qua điểm M và O nên đường thẳng này nhận OM→( a;b) làm vecto chỉ phương.

Câu 4: Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đi qua hai điểm A(1; -8) và B(3; -6)

A. n₁→ = (2; 2).    B. n₂→ = (0; 0)    C. n₃→ = (8; -8)    D. n₄→ = (2; 3)

Lời giải:

Đáp án: C

Đường thẳng AB đi qua hai điểm A và B nên đường thẳng này nhận vectơ AB( 2;2) làm VTCP.

Lại có: AB→( 2;2) và n→( 8; -8) vuông góc với nhau( vì tích vô hướng của hai vecto đó bằng 0)

⇒ đường thẳng AB nhận vecto n→( 8; -8) là VTPT.

Câu 5: Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là u→ = (2; -1). Trong các vectơ sau, vectơ nào là một vectơ pháp tuyến của d?

A. n→( -1; 2)    B. n→(1; -2)    C. n→(-3; 6)    D. n→( 3;6)

Lời giải:

Đáp án: D

Đường thẳng d có VTCP là u→( 2;-1) nên đường thẳng này có VTPT là n→( 1;2) .

Lại có vecto n'→(3;6) cùng phương với vecto n→ nên đường thẳng đã cho nhận vecto

n'→(3;6) làm VTPT.

Câu 6: Đường thẳng d có một vectơ pháp tuyến là n→ = (4; -2) . Trong các vectơ sau, vectơ nào là một vectơ chỉ phương của d?

A. u₁→ = (2; -4)    B. u₂→ = (-2; 4)    C. u₃→ = (1; 2)    D. u₄→ = (2; 1)

Lời giải:

Đáp án: C

Đường thẳng d có VTPT n→( 4; -2) nên có VTCP u→(2;4) .

Mà u→( 2;4) và v→( 1;2) cùng phương nên đường thẳng đã cho nhận v→( 1;2) làm VTCP.

Câu 7: Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là u→ = (3; -4). Đường thẳng ∆ vuông góc với d có một vectơ pháp tuyến là:

A. n₁→ = (4; 3)    B. n₂→ = (-4; -3)    C. n₃→ = (3; 4)    D. n₄→ = (3; - 4)

Lời giải:

Đáp án: D

Khi hai đường thẳng vuông góc với nhau thì VTCP của đường thẳng này là VTPT của đường thẳng kia nên :

 → n_∆→ = u_d→ = (3; -4)

Câu 8: Đường thẳng d có một vectơ pháp tuyến là n→ = (-2; -5) . Đường thẳng song song với d có một vectơ chỉ phương là:

A. u₁→ = (5; -2)    B. u₂→ = (-5; -2)    C. u₃→ = (2; 5)    D. u₄→ = (2; -5)

Lời giải:

Đáp án: A

Khi hai đường thẳng song song với nhau thì VTCP ( VTPT) của đường thẳng này cũng là VTCP (VTPT) của đường thẳng kia nên:

 → n_∆→ = u_d→ = (-2; -5) → u_∆→ = (5; -2)

Câu 9: Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d  ?

A. u₁→ = (6; 0) .    B. u₂→ = (-6; 0).    C. u₃→ = (2; 6).    D. u₄→ = (0; 1).

Lời giải:

Đáp án: D

Đường thẳng d:  nên VTCP u→ = (0; 6) = 6(0; 1)

Ta chọn u→ = (0 ; 1)

Câu 10: Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của d: 

A. n₁→ = (2; -1) .    B. n₂→ = (-1; 2) .    C. n₃→ = (1; -2) .    D. n₄→ = (1; 2) .

Lời giải:

Đáp án: D

d:  → u_d→ = (2; -1) → n_d→ = (1; 2)

Câu 11: Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của d: 2x - 3y + 2018 = 0

A. u₁→ = (-3; -2) .    B. u₂→ = (2; 3) .    C. u₃→ = (-3; 2) .    D. u₄→ = (2; -3) .

Lời giải:

Đáp án: A

Đường thẳng d: 2x - 3y + 2018 = 0 có VTPT n_d→ = (2; -3)nên u_d→ = (3; 2) là một VTCP của d.

⇒ Vecto ( - 3; -2) cũng là VTCP của đường thẳng d.

Câu 12: Đường trung trực của đoạn thẳng AB với A( -3; 2); B(-3; 3) có một vectơ pháp tuyến là:

A. n₁→ = (6; 5).    B. n₂→ = (0; 1) .    C. n₃→ = (-3; 5) .    D. n₄→ = (-1; 0) .

Lời giải:

Đáp án: B

Gọi d là trung trực đoạn AB.

Suy ra đường thẳng d vuông góc với AB.

⇒ AB→( 0;1) là một VTPT của đường thẳng d.

Câu 13: Cho đường thẳng d đi qua A(-1; 2) và điểm B(m; 3) . Tìm m để đường thẳng d nhận u→( -2; 1) làm VTCP?

A. m = - 2    B. m = -1    C. m = - 3    D. m = 2

Lời giải:

Đáp án: C

Đường thẳng d đi qua hai điểm A và B nên đường thẳng d nhận vecto AB→( m + 1; 1) làm VTCP.

Lại có vecto u→( -2; 1) làm VTCP của đường thẳng d. Suy ra hai vecto u→ và AB→ cùng phương nên tồn tại số k sao cho: u→ = kAB→

Vậy m = - 3 là giá trị cần tìm .

V. Bài tập tự luyện 

Câu 1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng d x = 2+3t và y = -3-t là:

A.  = (2; -3)

B.  = (3; -1)

C.  = (3; 1)

D.  = (3; -3)

Câu 2: Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm A(-3; 2) và B (1; 4)?

A.  = (-1; 2)

B.  = (2; 1)

C.  = (- 2; 6)

D.  = (1; 1)

Câu 3: Vectơ chỉ phương của đường thẳng x = 2+3t và y = -3-t = 1 là:

A.  = (-2; 3)

B.  = (3; -2)

C.  = (3; 2)

D.  = (2; 3)

Câu 4: Vectơ chỉ phương của đường thẳng d: 2x - 5y - 100 = 0 là:

A.  = (2; -5)

B.  = (2; 5)

C.  = (5; 2)

D. =( -5; 2)

Câu 5: Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đi qua hai điểm A(2 ; 3) và B( 4 ;1)

A.  = (2; -2)

B.  = (2; -1)

C.  = (1; 1)

D.  = (1; -2)

Câu 6: Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng song song với trục Ox

A.  = (1; 0).

B.  = (0; -1)

C.  = (1; 1)

D.  = (1; - 1)

Câu 7: Cho đường thẳng d đi qua A( 1; 2) và điểm B(2; m). Tìm m để đường thẳng d nhận   (1; 3) làm VTCP?

A. m = - 2

B. m = -1

C. m = 5

D. m = 2

Câu 8: Cho đường thẳng d đi qua A(- 2; 3) và điểm B(2; m + 1) . Tìm m để đường thẳng d nhận ( 2; 4) làm VTCP?

A. m = - 2

B. m = -8

C. m = 5

D. m = 10

Câu 9: Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm A( a; 0) và B( 0; b)

A.  ( -a; b)

B. ( a; b)

C.( a + b; 0)

D. ( - a; - b)

Xem các phương pháp giải bài tập hay, chi tiết khác: 

Công thức xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng hay, chi tiết nhất

Công thức viết phương trình tham số của đường thẳng hay, chi tiết nhất

Công thức viết phương trình tổng quát của đường thẳng hay, chi tiết nhất

Công thức chuyển đổi giữa phương trình tổng quát với phương trình tham số của đường thẳng

Công thức liên hệ giữa vectơ chỉ phương và hệ số góc của đường thẳng