Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Công thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024 gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 10 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Công thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024

I. Lý thuyết tổng hợp 

- Hai đường thẳng d và d’ có các vị trí tương đối như sau:

+ d song song với d’, tức là d và d’ không có điểm chung

+ d cắt d’tại duy nhất một điểm, tức là d và d’ có duy nhất một điểm chung

+ d trùng với d’, tức là d và d’ có vô số điểm chung

II. Các công thức

- Cách 1: Cho hai đường thẳng d: $a_{1}x+b_{1}y+c_1=0$ và d’: $a_{2}x+b_{2}y+c_2=0$ 

($a_1,b_1,c_1\ne 0$). Vị trí tương đối của hai đường thẳng được xác định như sau:

$\frac{a_2}{a_1}=\frac{b_2}{b_1}=\frac{c_2}{c_1}\iff d\equiv d\text{'}$

$\frac{a_2}{a_1}=\frac{b_2}{b_1}\ne \frac{c_2}{c_1}\iff d//d\text{'}$

$\frac{a_2}{a_1}\ne \frac{b_2}{b_1}\iff d\cap d\text{'}$

- Cách 2: Cho hai đường thẳng d: $a_{1}x+b_{1}y+c_1=0$ và d’: $a_{2}x+b_{2}y+c_2=0$ . Vị trí tương đối của hai đường thẳng được xác định qua hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_{1}y+c_1=0\\ a_{2}x+b_{2}y+c_2=0\end{array}\right.$ (1)

+ Nếu hệ phương trình (1) có vô số nghiệm thì $d\equiv d\text{'}$

+ Nếu hệ phương trình (1) vô nghiệm thì d // d’

+ Nếu hệ phương trình (1) có duy nhất một nghiệm thì d cắt d’ tại điểm có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình.

III. Ví dụ minh họa

Bài 1: Xét vị trí tương đối của đường thẳng d: 3x – y + 2 = 0 và đường thẳng d’: 3x – y + 5 = 0.

Lời giải:

Xét hai đường thẳng d: 3x – y + 2 = 0 và d’: 3x – y + 5 = 0 có:

$\frac{3}{3}=\frac{-1}{-1}\ne \frac{5}{2}$

$\Rightarrow$ d song song với d’.

Bài 2: Xét vị trí tương đối của đường thẳng d: 3x + 5y + 4 = 0 và đường thẳng d’: 6x + 10y + 8 = 0

Lời giải:

Xét hai đường thẳng d: 3x + 5y + 4 = 0 và đường thẳng d’: 6x + 10y + 8 = 0

Ta có: $\frac{6}{3}=\frac{10}{5}=\frac{8}{4}=2$

$\Rightarrow$ d trùng với d’.

Bài 3: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d: x – 2y + 1 = 0 và d’: 2x – 3y + 2 = 0. Nếu chúng cắt nhau, hãy tìm tọa độ giao điểm.

Lời giải:

Xét hệ phương trình: 

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}2x-3y+2=0\\ x-2y+1=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}2x-3y=-2\\ x-2y=-1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=0\end{array}\right. \end{gathered}$$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x; y) = (-1; 0) nên d cắt d’ tại điểm duy nhất có tọa độ là (-1; 0).

IV. Bài tập vận dụng 

Bài 1: Xét vị trí tương đối của đường thẳng d: 3x – y + 2 = 0 và đường thẳng d’: 6x – 2y + 7 = 0.

Bài 2: Xét vị trí tương đối của đường thẳng d: 4x – 5y + 1 = 0 và đường thẳng d’: 2x – 2y + 1 = 0. Nếu chúng cắt nhau, hãy tìm tọa độ giao điểm.

Câu 3: Cho hai đường tròn (O; 20) và (O'; 15) cắt nhau tại A và B. Tính đoạn thẳng nối OO' biết rằng AB = 24

Câu 4: Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; r) cắt nhau tại hai điểm A và B. Vẽ đường kính AOC và đường kính AO'D

a) Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng

b) Qua A vẽ cát tuyến cắt (O) và (O') lần lượt tại M và N. CMR: MN ≤ CD

Câu 5: Cho đường tròn tâm O bán kính OA và đường tròn đường kính OA. Xác định tính tương đối của hai đường tròn

Câu 6: Cho hai đường tròn (O); (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài MN với M ∈ (O); N ∈ (O’). Gọi P là điểm đối xứng với M qua OO’; Q là điểm đối xứng với N qua OO’. MN + PQ bằng:

V. Bài tập tự luyện