Phương pháp giải Cách giải phương trình, bất phương trình tổ hợp (HAY NHẤT 2024)

307

Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Phương pháp giải Cách giải phương trình, bất phương trình tổ hợp (HAY NHẤT 2024) gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 11 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Phương pháp giải Cách giải phương trình, bất phương trình tổ hợp (HAY NHẤT 2024)

1. Lý thuyết

- Hoán vị của n phần tử: Pn = n! = n(n – 1)(n – 2)…3.2.1.

- Chỉnh hợp chập k của n (0kn): Ank=n!(nk)!

- Tổ hợp chập của n (0kn): Cnk=n!(nk)!k!=Ankk!

- Tính chất của tổ hợp:

Cnk=Cnnk,(0kn)Cn+1k+1=Cnk+Cnk+1,(1kn)

2. Phương pháp giải

Sử dụng công thức hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp đưa về các phương trình, bất phương trình đã học và giải quyết.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Giải phương trình:

a) 2Ax2=Cxx1+23x

b) 3An2A2n2+42=0

c) Cx+1x2+2Cx13=7(x1)

Lời giải

a) 2Ax2=Cxx1+23x

Điều kiện: x2x

Phương trình trên tương đương với:

2x!(x2)!=x!(x1)!  .1!+23x

2xx1=x+23x2x22x24x=02x226x=0x213x=0x=0   (Loi)x=13

Vậy nghiệm của phương trình là x = 13.

b) 3.An2A2n2+42=0

Điều kiện: n2n

Phương trình trên tương đương với

3n!(n2)!(2n)!(2n2)!+42=03n(n1)2n(2n1)+42=03n23n4n2+2n+42=0n2n+42=0n+7n6=0n=6n=7   (Loi)

Vậy nghiệm của phương trình là: n = 6.

c) Cx+1x2+2Cx13=7(x1)

Điều kiện: x13xx4x

Cách giải phương trình, bất phương trình tổ hợp chi tiết nhất – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Ví dụ 2: Giải bất phương trình

a) An3+15<15n

b) An3<An2+12

Lời giải

a) Điều kiện: n3,n

Ta có: An3+15<15n

n!(n3)!+1515n<0n(n1)(n2)15(n1)<0(n1)n22n15<0(n1)(n+3)(n5)<0

Vì  nên n – 1 > 0 và n + 3 > 0

Kết hợp với điều kiện, ta có n = 3 và n = 4 thỏa mãn.

Vậy nghiệm của bất phương trình: n = 3; n = 4.

b) Điều kiện: n3,nN.

An3<An2+12n!n3!<n!n2!+12n(n1)(n2)<n(n1)+12n33n2+2n<n2n+12n34n2+3n12<0(n4)n2+3<0n<4

Kết hợp với điều kiện, ta có n = 3 thỏa mãn.

Vậy nghiệm của bất phương trình: n = 3.

Ví dụ 3. Một đa giác có số đường chéo gấp đôi số cạnh. Hỏi đa giác đó có bao nhiêu cạnh?

Lời giải

Gọi số đỉnh của đa giác là n. Điều kiện: n và n>3.

Vậy số cạnh của đa giác cũng là n.

Số đoạn thẳng có hai đầu mút từ n đỉnh trên là Cn2 đoạn thẳng

Do đó số đường chéo của đa giác là Cn2-n.

Theo giả thiết, số đường chéo gấp đôi số cạnh nên ta có:

Cn2n=2nn!2!  .(n2)!=3nn(n1)2=3nn2n=6nn27n=0n=0  (Loi)n=7

Vậy đa giác có 7 cạnh.

4. Bài tập vận dụng

Câu 1. Nghiệm của phương trình: Cn3=10 là

A. 6

B. 5

C. 3

D. 4

Câu 2. Tập hợp tất cả nghiệm thực của phương trình Ax2Ax1=3 là

A.{-1}

B. {3}

C.{-1;3}

D.{1}

Câu 3. Nghiệm của phương trình Ax3+Cxx2=14x là

A. Một số khác

B. x = 6

C. x = 5 

D. x = 4

Câu 4. Tìm tập nghiệm của phương trình Cx2+Cx3=4x.

A.{0}

B.{-5; 5}

C.{5}

D.{-5; 0; 5}

Câu 5. Cho số tự nhiên n thỏa mãn Cn2+An2=9n. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. n chia hết cho 7

B. n chia hết cho 5

C. n chia hết cho 2

D. n chia hết cho 3

Câu 6. Nghiệm của phương trình Ax10+Ax9=9Ax8 là

A. x = 5

B. x = 11

C. x = 11; x = 5

D. x = 10; x = 2

Câu 7. Tổng của tất cả các số tự nhiên n thỏa mãn 1Cn11Cn+12=76Cn+41 là

A. 13

B. 11

C. 10

D. 12

Câu 8. Tính tổng tất cả các số nguyên dương n thỏa mãn An23Cn2=155n

A. 13

B. 10

C. 12

D. 11

Câu 9. Cho n là số nguyên dương thỏa mãn An2=Cn2+Cn1+4n+6. Hệ số của số hạng chứa x9 của khai triển biểu thức Px=x2+3xn bằng

A. 18564

B. 64152

C. 192456

D. 194265

Câu 10. Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Niu tơn của n2x+x22nx0, biết số nguyên dương n thỏa mãn Cn3+An2=50.

A. 2951

B. 297512

C. 9712

D. 279215

Câu 11. Nghiệm của bất phương trình (ẩn n thuộc tập số tự nhiên) Cn+12Cn2310n là

A. 0n2

B. 1n5

C. 2n5

D. 2n<4

Câu 12. Nghiệm của bất phương trình (ẩn n thuộc tập số tự nhiên) An+13+Cn+1n1<14(n+1) là

A. 2n5

B. 0n2

C. 1n5

D. 2n<4

Câu 13. Nghiệm của phương trình (ẩn n thuộc tập số tự nhiên) Cn+2n1+Cn+2n>52An2 là

A. n2

B. n3

C. n5

D. n4

Câu 14. Nghiệm bất phương trình sau: 12A2x2Ax26xCx3+10 là

A. x = 3; x = 4

B. x = 3

C. x = 2; x = 3; x = 4

D. x = 4

Câu 15. Trên đường thẳng d1 cho 5 điểm phân biệt, trên đường thẳng d2 song song với đường thẳng d1, cho n điểm phân biệt. Biết có tất cả 175 tam giác được tạo thành mà 3 đỉnh lấy từ n + 5 điểm trên. Giá trị của n là

A. 10

B. 7

C. 8

D. 9

5. Bài tập tự luyện 

Bài 1:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Lời giải:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Bài 2:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Lời giải:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Bài 3: Cho đa giác đều n đỉnh, n ∈ N và n ≥ 3. Tìm n biết rằng đa giác đã cho có 135 đường chéo.

Lời giải:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Bài 4: Giải phương trình sau: Px = 120

Lời giải:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Ta có: Px = 120

Với x > 5 ⇒ Px > P5 = 120 ⇒ phương trình vô nghiệm

Với x < 5 ⇒ Px < P5 = 120 ⇒ phương trình vô nghiệm

Vậy x = 5 là nghiệm duy nhất.

Bài 5: Giải bất phương trình (ẩn n thuộc tập số tự nhiên)

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Lời giải:

Với x ≥ 2,n ∈ N ta có:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Vậy nghiệm của bất phương trình n ≥ 2,n ∈ N.

Xem thêm Phương pháp giải các dạng bài tập hay, chi tiết khác:

Xác định biến cố và tính xác suất của biến cố chi tiết nhất

Trọn bộ công thức tính xác suất đầy đủ, chi tiết nhất

Công thức hoán vị

Công thức chỉnh hợp

Công thức tổ hợp

Đánh giá

0

0 đánh giá