Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Phương pháp giải Giới hạn của hàm số (HAY NHẤT 2024) gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 11 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Phương pháp giải Giới hạn của hàm số (HAY NHẤT 2024)

1. Lý thuyết

a) Giới hạn của hàm số tại một điểm:

* Giới hạn hữu hạn: Cho khoảng K chứa điểm x₀ . Ta nói rằng hàm số f(x) xác định trên K (có thể trừ điểm x₀) có giới hạn là L khi x dần tới x₀ nếu với dãy số (x_n) bất kì, $x_n\in K\backslash \left\{x_0\right\}$ và $x_n\to x_0$, ta có: $f\left(x_n\right)\to L$

Kí hiệu:$\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=L$ hay $f\left(x\right)\to L$ khi $x\to x_0$.

Nhận xét: Nếu f(x) là hàm số sơ cấp xác định tại x₀ thì $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=f\left(x_0\right)$.

* Giới hạn ra vô cực:

Hàm số y = f(x) có giới hạn dần tới dương vô cực khi x dần tới x₀ nếu với mọi dãy số $\left(x_n\right):x_n\to x_0$ thì $f\left(x_n\right)\to +\infty$.

Kí hiệu: .

Hàm số y = f(x)  có giới hạn dần tới âm vô cực khi x dần tới x₀ nếu với mọi dãy số $\left(x_n\right):x_n\to x_0$ thì $f\left(x_n\right)\to -\infty$.

Kí hiệu: $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$.

b) Giới hạn của hàm số tại vô cực:

* Giới hạn ra hữu hạn:

- Ta nói hàm số y = f(x)  xác định trên $(a;+\infty )$ có giới hạn là L khi $x\to +\infty$ nếu với mọi dãy số $\left(x_n\right):x_n>a$ và $x_n\to +\infty$ thì $f\left(x_n\right)\to L$.

Kí hiệu: $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=L$.

- Ta nói hàm số y = f(x)  xác định trên $(-\infty ;b)$ có giới hạn là L khi $x\to -\infty$ nếu với mọi dãy số $\left(x_n\right):x_n<b$ và $x_n\to -\infty$ thì $f\left(x_n\right)\to L$.

Kí hiệu: $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=L$.

* Giới hạn ra vô cực:

- Ta nói hàm số y = f(x)  xác định trên $(a;+\infty )$ có giới hạn dần tới dương vô cùng (hoặc âm vô cùng) khi $x\to +\infty$ nếu với mọi dãy số $\left(x_n\right):x_n>a$ và $x_n\to +\infty$ thì $f\left(x_n\right)\to +\infty$ (hoặc $f\left(x_n\right)\to -\infty$).

Kí hiệu: $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ (hoặc $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty$).

- Ta nói hàm số y = f(x)  xác định trên $(-\infty ;b)$ có giới hạn là dần tới dương vô cùng (hoặc âm vô cùng) khi $x\to -\infty$ nếu với mọi dãy số $\left(x_n\right):x_n<b$ và $x_n\to -\infty$ thì $f\left(x_n\right)\to +\infty$. (hoặc $f\left(x_n\right)\to -\infty$).

Kí hiệu: $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ (hoặc $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty$).

c) Các giới hạn đặc biệt:

d) Một vài định lý về giới hạn hữu hạn:

Chú ý:

- Các định lý về giới hạn hữu hạn của hàm số vẫn đúng khi thay $x\to x_0$ bởi $x\to +\infty$ hoặc $x\to -\infty$.

- Định lí trên ta chỉ áp dụng cho những hàm số có giới hạn là hữu hạn. Ta không áp dụng cho các giới hạn dần về vô cực.

* Nguyên lí kẹp:

Cho ba hàm số f(x), g(x), h(x) xác định trên K chứa điểm x₀ (có thể các hàm đó không xác định tại x₀). Nếu $\left\{\begin{array}{l}g\left(x\right)\le f\left(x\right)\le h\left(x\right)\forall x\in K\\ \underset{x\to x_0}{\lim }g\left(x\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }h\left(x\right)=L\end{array}\right.$ thì .

e) Quy tắc về giới hạn vô cực

Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x)g(x)

Quy tắc tìm giới hạn của thương $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$

f) Giới hạn một bên:

* Giới hạn hữu hạn:

- Định nghĩa 1: Giả sử hàm số f xác định trên khoảng $\left(x_0;b\right),\left(x_0\in ℝ\right)$. Ta nói rằng hàm số f có giới hạn bên phải là số thực L khi dần đến x₀ (hoặc tại điểm x₀) nếu với mọi dãy số bất kì (x_n) những số thuộc khoảng (x₀; b) mà lim x_n = x₀ ta đều có lim f(x_n) = L.

Khi đó ta viết: $\underset{x\to {x_0}^{+}}{\lim }f\left(x\right)=L$ hoặc $f\left(x\right)\to L$ khi $x\to {x_0}^{+}$.

- Định nghĩa 2: Giả sử hàm số f xác định trên khoảng $\left(a;x_0\right),\left(x_0\in ℝ\right)$. Ta nói rằng hàm số có giới hạn bên trái là số thực L khi x dần đến x₀ (hoặc tại điểm x₀) nếu với mọi dãy bất kì (x_n) những số thuộc khoảng (a; x₀) mà lim x_n = x₀ ta đều có lim f(x_n) = L.

Khi đó ta viết: $\underset{x\to {x_0}^{-}}{\lim }f\left(x\right)=L$ hoặc $f\left(x\right)\to L$ khi $x\to {x_0}^{-}$.

- Nhận xét:

$\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=L\iff \underset{x\to {x_0}^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to {x_0}^{+}}{\lim }f\left(x\right)=L$

Các định lí về giới hạn của hàm số vẫn đúng khi thay $x\to x_0$ bởi $x\to {x_0}^{-}$ hoặc $x\to {x_0}^{+}$.

* Giới hạn vô cực:

- Các định nghĩa $\underset{x\to {x_0}^{-}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$,  $\underset{x\to {x_0}^{-}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$, $\underset{x\to {x_0}^{+}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ và $\underset{x\to {x_0}^{+}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ được phát biểu tương tự như định nghĩa 1 và định nghĩa 2.

- Nhận xét: Các định lí về giới hạn của hàm số vẫn đúng nếu thay L bởi $+\infty$ hoặc $-\infty$

2. Các dạng bài tập

Dạng 1: Giới hạn tại một điểm

Phương pháp giải:

- Nếu f(x) là hàm số sơ cấp xác định tại x₀ thì $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=f\left(x_0\right)$

- Áp dụng quy tắc về giới hạn tới vô cực:

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

Lời giải

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:

Lời giải

Dạng 2: Giới hạn tại vô cực

Phương pháp giải:

- Rút lũy thừa có số mũ lớn nhất

- Áp dụng quy tắc giới hạn tới vô cực

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to +\infty }{\lim }(7x^5+5x^2-x+7)$

b) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(4x^5-3x^3+x+1\right)$

Lời giải

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt{x^6+5x-1}$

b) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\sqrt{2x^2+1}+x\right)$

Lời giải

Dạng 3: Sử dụng nguyên lý kẹp

Nguyên lí kẹp:

Cho ba hàm số f(x), g(x), h(x) xác định trên K chứa điểm x₀ (có thể các hàm đó không xác định tại x₀). Nếu $\left\{\begin{array}{l}g\left(x\right)\le f\left(x\right)\le h\left(x\right)\forall x\in K\\ \underset{x\to x_0}{\lim }g\left(x\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }h\left(x\right)=L\end{array}\right.$ thì $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=L$.

Phương pháp giải:

Xét tính bị chặn của hàm số f(x) bởi hai hàm số g(x) và h(x) sao cho $\underset{x\to x_0}{\lim }g\left(x\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }h\left(x\right)=L$

Chú ý tính bị chặn của hàm số lượng giác:

$\begin{array}{l}-1\le \sin x\le 1\\ -1\le \cos x\le 1\end{array}$

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính giới hạn của hàm số:

a) $\underset{x\to 0}{\lim }{x}^2\cos \frac{2}{nx}$

b) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\cos 5x}{2x}$

Lời giải

Ví dụ 2: Tính giới hạn của hàm số: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(2\sin x+{\cos }^{3}x\right)\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\right)$

Lời giải

Dạng 4: Giới hạn dạng vô định $\frac{0}{0}$

Nhận biết dạng vô định $\frac{0}{0}$: Tính $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ trong đó f(x₀) = g(x₀) = 0.

Phương pháp giải:

Để khử dạng vô định này ta phân tích f(x) và g(x) sao cho xuất hiện nhân tử chung là (x – x₀)

Định lí: Nếu đa thức f(x) có nghiệm x = x₀ thì ta có: f(x) = (x – x₀)f₁(x).

* Nếu f(x) và g(x) là các đa thức thì ta phân tích f(x) = (x – x₀)f₁(x) và g(x) = (x – x₀)g₁(x).

Khi đó $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f_1\left(x\right)}{g_1\left(x\right)}$, nếu giới hạn này có dạng $\frac{0}{0}$ thì ta tiếp tục quá trình như trên.

Chú ý: Nếu tam thức bậc hai ax² + bx + c có hai nghiệm x₁ ; x₂ thì ta luôn có sự phân tích: ax² + bx + c = a(x – x₁) (x – x₂)

* Nếu f(x) và g(x) là các hàm chứa căn thức thì ta nhân lượng liên hợp để chuyển về các đa thức, rồi phân tích các đa thức như trên.

Các lượng liên hợp:

* Nếu f(x) và g(x) là các hàm chứa căn thức không đồng bậc ta sử dụng phương pháp tách, chẳng hạn:

Nếu $\sqrt[n]{u\left(x\right)},\sqrt[m]{v\left(x\right)}\to c$ thì ta phân tích: 

$\sqrt[n]{u\left(x\right)}-\sqrt[m]{v\left(x\right)}$$=(\sqrt[n]{u\left(x\right)}-c)-(\sqrt[m]{v\left(x\right)}-c)$

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^3-3x^2+2}{x^2-4x+3}$

b) $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{2x^2-5x+2}{x^3-8}$

Lời giải

a) $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^3-3x^2+2}{x^2-4x+3}$

$$\begin{gathered} =\underset{x\to 1}{lim}\frac{(x-1)(x^2-2x-2)}{(x-1)(x-3)} \\ =\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-2x-2}{x-3}=\frac{3}{2} \end{gathered}$$

b) $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{2x^2-5x+2}{x^3-8}$

$$\begin{gathered} =\underset{x\to 2}{\lim }\frac{(2x-1)(x-2)}{(x-2)(x^2+2x+4)} \\ =\underset{x\to 2}{\lim }\frac{2x-1}{x^2+2x+4}=\frac{1}{4} \end{gathered}$$

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:

Lời giải

Dạng 5: Giới hạn dạng vô định $\frac{\infty }{\infty }$

Nhận biết dạng vô định $\frac{\infty }{\infty }$

$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{u\left(x\right)}{v\left(x\right)}$ khi $\underset{x\to x_0}{\lim }u\left(x\right)=\pm \infty ,\underset{x\to x_0}{\lim }v\left(x\right)=\pm \infty$

$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{u\left(x\right)}{v\left(x\right)}$ khi $\underset{x\to x_0}{\lim }u\left(x\right)=\pm \infty ,\underset{x\to x_0}{\lim }v\left(x\right)=\pm \infty$

Phương pháp giải:

- Chia tử và mẫu cho xⁿ với n là số mũ cao nhất của biến ở mẫu (Hoặc phân tích thành tích chứa nhân tử xⁿ rồi giản ước).

- Nếu u(x) hoặc v(x) có chứa biến x trong dấu căn thì đưa x^k ra ngoài dấu căn (Với k là mũ cao nhất của biến x trong dấu căn), sau đó chia tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của x.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

Lời giải

4. Bài tập vận dụng 

Bài 1: 

Hướng dẫn:

Đặt t = x - 1 ta có:

Bài 2: Tìm các giới hạn sau: 

Hướng dẫn:

Ta có: 

Bài 3: Tìm giới hạn sau: 

Hướng dẫn:

Ta có:

Bài 4: Tính giới hạn: 

Hướng dẫn:

Bài 5: Tính giới hạn: 

Hướng dẫn:

Ta có:

Bài 6: Tính giới hạn: 

Hướng dẫn:

Ta có:

Bài 7: 

Hướng dẫn:

Bài 8: Tìm các giới hạn sau:

Hướng dẫn:

Ta có:

Bài 9: 

Hướng dẫn:

5. Bài tập tự luyện 

Bài 1: Tìm m để các hàm số:

Hướng dẫn:

Ta có:

Bài 2: Tìm các giới hạn sau:

Hướng dẫn:

Ta có:

Bài 3: Tìm giới hạn các hàm số sau:

Hướng dẫn:

Ta có

Bài 4: Tìm giới hạn các hàm số sau:

Hướng dẫn:

Bài 5: Xét xem các hàm số sau có giới hạn tại các điểm chỉ ra hay không? Nếu có hay tìm giới hạn đó?

Hướng dẫn:

Ta có:

Vậy hàm số f(x) không có giới hạn khi x → 0.

Bài 6: Tìm m để các hàm số:

Hướng dẫn:

Ta có:

Bài 7: Tìm các giới hạn sau:

Hướng dẫn:

Ta có:

Bài 8: Xét xem các hàm số sau có giới hạn tại các điểm chỉ ra hay không? Nếu có hay tìm giới hạn đó?

Hướng dẫn:

Xem các Phương pháp giải bài tập hay, chi tiết khác:

Hàm số liên tục và cách giải bài tập

Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa hay, chi tiết

Quy tắc tính đạo hàm và cách giải bài tập

Đạo hàm của hàm số lượng giác và cách giải

Ứng dụng Đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình