Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Phương pháp giải Đạo hàm của hàm số lượng giác (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024 gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 11 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Phương pháp giải Đạo hàm của hàm số lượng giác (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024

1. Lý thuyết

a) Giới hạn: $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$

b) Công thức đạo hàm của hàm số lượng giác

2. Các dạng bài tập

Dạng 1. Tính đạo hàm của các hàm chứa hàm số lượng giác

Phương pháp giải:

- Áp dụng các công thức đạo hàm của các hàm số lượng giác.

- Áp dụng quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương và hàm số hợp.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = 5sin x – 3cos x

b) y = sin(x² – 3x + 2)

c) $y=\sqrt{1+2\tan x}$

d) y = tan 3x – cot 3x

e) $y=\tan 2x-\frac{1}{3}\cot 4x+\sqrt{\sin x}$

Lời giải

a) Ta có: y' = 5cos x + 3sin x

b) Ta có: y' = (x² – 3x + 2)’.cos(x² – 3x + 2) = (2x – 3).cos(x² – 3x + 2).

c) Ta có: $y^{\text{'}}=\frac{{\left(1+2\tan x\right)}^{\text{'}}}{2\sqrt{1+2\tan x}}$$=\frac{\frac{2}{{\cos }^{2}x}}{2\sqrt{1+2\tan x}}$$=\frac{1}{{\cos }^{2}x\sqrt{1+2\tan x}}$.

d) Ta có các cách thực hiện sau:

Cách 1: Ta có ngay:

$y^{\text{'}}=\frac{3}{{\cos }^{2}3x}+\frac{3}{{\sin }^{2}3x}$$=\frac{3}{{\sin }^{2}3x.{\cos }^{2}3x}$$=\frac{3}{\frac{1}{4}{\sin }^{2}6x}$$=\frac{12}{{\sin }^{2}6x}$.

Cách 2: Ta biến đổi:

$y=\frac{\sin 3x}{\cos 3x}-\frac{co\mathrm{s}3x}{\sin 3x}$$=\frac{{\sin }^{2}3x-{\cos }^{2}3x}{\cos 3x.\sin 3x}$$=-\frac{2\cos 6x}{\sin 6x}$ $=-2\cot 6x$

$\Rightarrow y\text{'}=\frac{12}{{\sin }^{2}6x}$.

e) $y\text{'}=\left(\tan 2x\right)\text{'}-\frac{1}{3}\left(\cot 4x\right)\text{'}+\left(\sqrt{\sin x}\right)\text{'}=\frac{2}{{\cos }^{2}2x}+\frac{4}{3{\sin }^{2}4x}+\frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}$

Ví dụ 2: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y={\sin }^{2}3x+\frac{1}{{\cos }^{2}x}$

b) $y=\frac{1+\sin x}{1+\cos x}$

c) $y=\tan \left(x^2+2\sqrt{x}+1\right)$

d) $y=(\sin x+\cos x)\left(3\cos x-\frac{1}{3}\sin x\right)$

Lời giải

a) $y\text{'}=2\sin 3x.\left(\sin 3x\right)\text{'}-\frac{\left({\cos }^{2}x\right)\text{'}}{{\cos }^{4}x}$$=2\sin 3x.3\cos 3x-\frac{2\cos x.\left(\cos x\right)\text{'}}{{\cos }^{4}x}$$=6\sin 3x\cos 3x+\frac{2\cos x.\sin x}{{\cos }^{4}x}$$=3\sin 6x+\frac{2\sin x}{{\cos }^{3}x}$

b) $y\text{'}=\frac{(1+\sin x)\text{'}(1+\cos x)-(1+\cos x)\text{'}(1+\sin x)}{{(1+\cos x)}^2}$  

$=\frac{\cos x(1+\cos x)+\sin x(1+\sin x)}{{(1+\cos x)}^2}=\frac{\cos x+\sin x+1}{{(1+\cos x)}^2}$

c) $y\text{'}=\left(\tan \left(x^2+2\sqrt{x}+1\right)\right)\text{'}=\frac{\left(x^2+2\sqrt{x}+1\right)\text{'}}{{\cos }^2\left(x^2+2\sqrt{x}+1\right)}$

$=\frac{2x+\frac{1}{\sqrt{x}}}{{\cos }^2\left(x^2+2\sqrt{x}+1\right)}$$=\frac{2x\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}{\cos }^2\left(x^2+2\sqrt{x}+1\right)}$

d) $y\text{'}=(\sin x+\cos x)\text{'}\left(3\cos x-\frac{1}{3}\sin x\right)+(\sin x+\cos x)\left(3\cos x-\frac{1}{3}\sin x\right)\text{'}$

$=(\cos x-\sin x)\left(3\cos x-\frac{1}{3}\sin x\right)+(\sin x+\cos x)\left(-3\sin x-\frac{1}{3}\cos x\right)$

$=3{\cos }^{2}x-\frac{10}{3}\sin x\cos x+\frac{1}{3}{\sin }^{2}x-3{\sin }^{2}x-\frac{10}{3}\sin x\cos x-\frac{1}{3}{\cos }^{2}x$

$=\frac{8}{3}{\cos }^{2}x-\frac{8}{3}{\sin }^{2}x-\frac{20}{3}\sin x\cos x$

$=\frac{8}{3}\cos 2x-\frac{10}{3}\sin 2x$

Dạng 2. Chứng minh đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình liên quan đến đạo hàm

Ví dụ 1: Chứng minh rằng:

a) Hàm số y = tan x thoả mãn hệ thức y’ – y² – 1 = 0.

b) Hàm số y = cot 2x thoả mãn hệ thức y’ + 2y² + 2 = 0.

Lời giải

a) Trước tiên, ta có: $y^{\text{'}}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$.

Khi đó, ta có:

$y^{\text{'}}-y^2-1$ $=\frac{1}{{\cos }^{2}x}-{\tan }^{2}x-1$$=\frac{1}{{\cos }^{2}x}-\frac{1}{{\cos }^{2}x}=0$  (đpcm)

b) Trước tiên, ta có: $y^{\text{'}}=-\frac{2}{{\sin }^{2}2x}$.

Khi đó, ta có:

$y^{\text{'}}+2y^2+2=$$-\frac{2}{{\sin }^{2}2x}+2{\cot }^{2}2x+2$ $=-\frac{2}{{\sin }^{2}2x}+\frac{2}{{\sin }^{2}2x}=0$  (đpcm)

Ví dụ 2: Giải phương trình y’ = 0 trong mỗi trường hợp sau:

a)   y = sin 2x – 2cos x.

b)   y = 3sin 2x + 4cos 2x + 10x.

Lời giải

a) Trước tiên, ta có: y' = 2cos 2x + 2sin x.

Khi đó, phương trình có dạng:

$2\cos 2x+2\sin x=0$ $\iff \cos 2x=-\sin x=\cos \left(x+\frac{\pi }{2}\right)$ 

 $\iff \left[\begin{array}{l}2x=x+\frac{\pi }{2}+2k\pi \\ 2x=-x-\frac{\pi }{2}+2k\pi \end{array}\right.$   $\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+2k\pi \\ x=-\frac{\pi }{6}+\frac{2k\pi }{3}\end{array}\right.$,$k\in \mathbb{Z}$.

b) Trước tiên, ta có:

y’ = 6cos 2x – 8sin 2x + 10.

Khi đó, phương trình có dạng:

$6\cos 2x-8\sin 2x+10=0$$\iff 4\sin 2x-3\cos 2x=5$

 $\iff \frac{4}{5}\sin 2x-\frac{3}{5}\cos 2x=1$

Đặt $\frac{4}{5}=\cos a$  và $\frac{3}{5}=\sin a$, do đó ta được:

$\sin 2x\cos a-\cos 2x.\sin a=1$$\iff \sin (2x-a)=1$

 $\iff 2x-a= \frac{\pi }{2}+2k\pi$$\iff x=\frac{a}{2}+ \frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

3. Bài tập vận dụng 

Câu 1. Hàm số y  =  cotx  có đạo hàm là:

A. y’ = - tan x      

B. $y\text{'}=-\frac{1}{{\cos }^{2}x}$         

C. $y\text{'}=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$          

D. y’ = 1 + cot²x

Câu 2. Hàm số $y=-\frac{3}{2}\sin 7x$ có đạo hàm là:

A. $-\frac{21}{2}\cos x$          

B. $-\frac{21}{2}\cos 7x$            

C. $\frac{21}{2}\cos 7x$             

D. $\frac{21}{2}\cos x$

Câu 3. Hàm số $y=\sin \left(\frac{\pi }{6}-3x\right)$ có đạo hàm là:

A. $3\cos \left(\frac{\pi }{6}-3x\right)$   

B. $-3\cos \left(\frac{\pi }{6}-3x\right)$     

C. $\cos \left(\frac{\pi }{6}-3x\right)$        

D. $-3\sin \left(\frac{\pi }{6}-3x\right)$.

Câu 4. Đạo hàm của hàm số y = 3sin 2x + cos 3x là:

A. y’ = 3cos 2x – sin 3x                        

B. y’ = 3cos 2x + sin 3x

C. y’ = 6cos 2x – 3sin 3x                      

D. y’ = – 6cos 2x + 3sin 3x

Câu 5. Hàm số y = x tan2x có đạo hàm là:

A. $\tan 2x+\frac{2x}{{\cos }^{2}x}$  

B. $\frac{2x}{{\cos }^{2}2x}$             

C. $\tan 2x+\frac{2x}{{\cos }^{2}2x}$

D. $\tan 2x+\frac{x}{{\cos }^{2}2x}$.

Câu 6. Đạo hàm của hàm số y = 2sin3x.cos5x có biểu thức nào sau đây?

A. 30cos3x.sin5x                                   

B. – 8cos8x + 2cos2x

C. 8cos8x – 2cos2x                                                                 

D. – 30cos3x + 30sin5x

4. Bài tập tự luyện 

Bài 1: Đạo hàm của hàm số:

 bằng biểu thức nào sau đây?

Bài 2: Đạo hàm cuả hàm số:

 bằng biểu thức nào sau đây?

Bài 3: Đạo hàm của hàm số:

 bằng biểu thức nào sau đây?

Bài 4: Đạo hàm của hàm số f(x) = cot2x bằng biểu thức nào sau đây?

Bài 5: Đạo hàm cấp hai của hàm số y = cos2x bằng biểu thức nào sau đây?

A. -2sin2x

B. -4cos2x

C. -4sin2x

D. 4cos2x

Bài 6: Đạo hàm của hàm số y = tan⁡(2x+1) - xcos²x bằng biểu thức nào sau đây:

Bài 7: Đạo hàm của hàm số y = cot²x² bằng biểu thức nào sau đây:

Bài 8: Cho hàm số f(x) = sin⁴x + cos⁴x - 2sin²x cos²x. Giá trị của f'(π/24) bằng:

A. -1

B. 1

C. 1/2

D. (-1)/2

Bài 9: Đạo hàm của hàm số:

 bằng biểu thức nào sau đây?

Bài 10: Đạo hàm của hàm số y = 6(sin⁴x + cos⁴x) - 4(sin⁶x + cos⁶x) bằng biểu thức nào sau đây?

A. 24(sin³x + cos³x) - 24(sin⁵x + cos⁵x)

B. 24(sin³x - cos³x) - 24(sin⁵x + cos⁵x)

C. 2

D. 0

Bài 11: Đạo hàm của hàm số y = √sinx bằng biểu thức nào sau đây:

Bài 12:  bằng:

A. 1            B. 0            C. 2/3            D. 3/2

Bài 13: Đạo hàm của hàm số:

 bằng biểu thức nào sau đây?

Bài 14: Cho hàm số f(x) = cos²x. Giá trị của f'(π/6) bằng:

Bài 15: Cho hàm số f(x) = sinx.sin2x.sin3x. Giá trị của f'(π/12)bằng:

Xem các Phương pháp giải bài tập hay, chi tiết khác:

Ứng dụng Đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình

Các bài toán về vi phân, đạo hàm cấp cao và ý nghĩa của đạo hàm

Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải

Phép tịnh tiến và cách giải các dạng bài tập

Phép đối xứng tâm và cách giải các dạng bài tập