Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Công thức phép tịnh tiến (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024 gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 11 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Công thức phép tịnh tiến (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024

1. Lí thuyết

Trong mặt phẳng cho vectơ . Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho $\overrightarrow{MM\text{'}}=\overrightarrow{v}$ được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}.$

Phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}$ thường được kí hiệu là $T_{\overrightarrow{v}}$, $\overrightarrow{v}$ được gọi là vectơ tịnh tiến.

Như vậy, $T_{\overrightarrow{v}}\left(M\right)=M\text{'}\iff \overrightarrow{MM\text{'}}=\overrightarrow{v}.$

Phép tịnh tiến theo vectơ – không được gọi là phép đồng nhất. (Biến mỗi điểm thành chính nó)

* Tính chất

- Phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

- Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.

- Biến một vecto thành 1 vectơ bằng nó.

- Biến tam giác thành tam giác bằng nó.

- Biến một góc thành một góc bằng nó.

- Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

2. Công thức

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ $\overrightarrow{v}=\left(a;b\right)$. Với mỗi điểm M(x;y) ta có M’(x’;y’) là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{v}.$ Khi đó $\overrightarrow{MM\text{'}}=\overrightarrow{v}\iff \left\{\begin{array}{c}x\text{'}=x+a\\ y\text{'}=y+b\end{array}\right..$

(Tọa độ ảnh = tọa độ điểm + tọa độ vectơ tịnh tiến)

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ $\overrightarrow{v}=(1;-5)$, điểm A(2; 2), đường thẳng d: 3x + 4y - 4 = 0, đường tròn: (C): x² + y² – 2x + 4y – 1 = 0. Xác định:

a) Điểm A’ là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}$.

b) Đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}$.

c) Đường tròn (C’) là ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}$.

Lời giải

a) Ta có A’ là ảnh của A qua $T_{\overrightarrow{v}}$. Tọa độ A’: $\left\{\begin{array}{l}{x}_{A\text{'}}=x_A+1=3\\ y_{A\text{'}}=y_A-5=-3\end{array}\right.$. Vậy A’(3; -3).

b) Lấy điểm M(0; 1) thuộc d

Gọi M’ là ảnh của M qua $T_{\overrightarrow{\text{v}}}$, khi đó $M\text{'}\in d\text{'}$

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_{M\text{'}}=x_M+1=1\\ y_{M\text{'}}=y_M-5=-4\end{array}\right.$. Vậy M’(1;-4) .

Vì d’ là ảnh của d qua $T_{\overrightarrow{v}}$ nên d’ song song hoặc trùng với d. Suy ra VTPT $\overrightarrow{n_{d\text{'}}}=\overrightarrow{n_d}=\left(3;4\right)$.

Vậy phương trình d’: 3(x – 1) + 4(y + 4) = 0. Hay d’: 3x + 4y + 13 = 0.

c) Cách 1: (Tịnh tiến tâm I và giữ nguyên bán kính)

Phương trình đường tròn (C): x² + y² – 2x + 4y – 1 = 0

Có tâm I (1; -2) và bán kính $R=\sqrt{1^2+{\left(-2\right)}^2-\left(-1\right)}=\sqrt{6}$

Gọi I’ là ảnh của I qua $T_{\overrightarrow{v}}$. Ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_{I\text{'}}=x_I+1=1+1=2\\ y_{I\text{'}}=y_I-5=-2-5=-7\end{array}\right.$.

Vậy I’(1; -7)

Đường tròn (C’) là ảnh của (C) qua , nên (C’) có tâm I’ và bán kính .

Vậy phương trình (C’): (x-2)² + (y+7)² = 6 hay x² + y² – 4x + 7y + 47 = 0.

Cách 2: (Tịnh tiến mọi điểm trên đường tròn)

Với mọi điểm B(x;y) bất kì $\in$ (C). Gọi B’(x’;y’) là ảnh của B qua phép tịnh tiến.

Khi đó $\left\{\begin{array}{l}x\text{'}=x+1\\ y\text{'}=y-5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=x\text{'}-1\\ y=y\text{'}+5\end{array}\right.$

Vì $B\left(x;y\right)\in \left(C\right)$ nên thay vào phương trình (C):

(x’- 1)² + (y’ + 5)² – 2(x’ - 1) + 4(y’+ 5) – 1 = 0

Suy ra x’² + y’² – 4x’ + 14y’ + 47 = 0

B’(x’;y’)  ảnh của B qua phép $T_{\overrightarrow{v}}$ nên B’ di động trên đường tròn (C’): x’² + y’² – 4x’ + 14y’ + 47 = 0

Vậy ảnh của (C) là đường tròn (C’): x’² + y’² – 4x’ + 14y’ + 47 = 0

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai parabol (P): y = x² và (Q): y = x²+ 2x + 2. Tìm phép tịnh tiến T  biến (Q) thành (P).

Lời giải

Gọi vectơ tịnh tiến là $\overrightarrow{v}=\left(a;b\right)$. Gọi ảnh của (Q) qua phép $T_{\overrightarrow{v}}$ là parabol (R)

Lấy điểm $M\left(x ;y\right)\in \left(Q\right)$. Gọi $M’\left(x’;y’\right)=T_{\overrightarrow{v}}\left(M\right)$, khi đó $M\text{'}\in \left(R\right)$

Áp dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến: $\left\{\begin{array}{l}x\text{'}=x+a\\ y\text{'}=y+b\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=x\text{'}-a\\ y=y\text{'}-b\end{array}\right.$

Vì , thay vào phương trình (Q):  y’ – b = (x’ – a)² + 2(x’– a) + 2

$\iff y\text{'}={\left(x\text{'}\right)}^2\text{+ }2\left(1–a\right)x\text{'}+a^2–2a+b+2$

Vậy phương trình (R): y = x² + 2(1 – a)x + a² – 2a + b + 2

Để (R) trùng với (P) thì $\left\{\begin{array}{l}2(1-a)=0\\ a^2-2a+b+2=0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}a=1\\ 1^2-2.1+b+2=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=-1\end{array}\right.$

Vậy có duy nhất một phép tịnh tiến biến parabol (Q) thành parabol (P), theo vectơ $\overrightarrow{v}\left(-1;1\right)$.

4. Bài tập vận dụng 

Câu 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(0; 1). Ảnh của  điểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{u}\left(1;2\right)$ là điểm nào?

A. M'(2; 3)

B. M'(1; 3)

C. M'(1; 1)

D. M'(-1; -1)

Câu 2. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d: x – 2y + 2 = 0. Ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{u}=\left(2;3\right)$ có phương trình là:

A. x + 2y + 2 = 0

B. x – 2y + 6 = 0          

C. 2x – y + 2 = 0

D. 2x + y +2 = 0

Câu 3. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x² + y² – 2x + 4y – 4 = 0. Ảnh của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{u}\left(1;1\right)$ là đường tròn có phương trình:

A. (x – 2)² + (y + 1)² = 16

B. (x + 2)² + (y – 1)² = 9

C. (x – 2)² + (y + 1)² = 9 

D. (x + 2)² + (y + 1)

Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ, phép tịnh tiến theo vecto $\overrightarrow{v}$(-2;-1) biến thành parabol (P): y = x² thành parabol (P’) có phương trình:

A. y = x² + 4x - 5

B. y = x² + 4x + 4

C. y = x² + 4x + 3

D. y = x² - 4x + 5

Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ, phép tịnh tiến theo vecto $\overrightarrow{v}$(-3;-2) biến đường tròn có phương trình (C): x² + (y - 1)² = 1 thành đường tròn (C’) có phương trình:

A. (x - 3)² + (y + 1)² = 1

B. (x + 3)² + (y + 1)² = 1

C. (x + 3)² + (y + 1)² = 4

D. (x - 3)² + (y - 1)² = 4

Bài 6: Phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ thì với mỗi điểm M có:

A. Ít nhất một điểm M’ tương ứng

B. Không quá một điểm M’ tương ứng

C. Vô số điểm M’ tương ứng

D. Duy nhất một điểm M’ tương ứng

Bài 7: Cho tam giác ABC nội tiếp đường trong (O). Qua O kẻ đường thẳng d. Quy tắc nào sau đây là một phép biến hình.

A. Quy tắc biến O thành giao điểm của d với các cạnh tam giác ABC

B. Quy tắc biến O thành giao điểm của d với đường tròn O

C. Quy tắc biến O thành hình chiếu của O trên các cạnh của tam giác ABC

D. Quy tắc biến O thành trực tâm H, biến H thành O và các điểm khác H và O thành chính nó.

Bài 8: Cho hình vuông ABCD có M là trung điểm của BC. Phép tịnh tiến theo vecto $\overrightarrow{v}$ biến M thành A thì $\overrightarrow{v}$ bằng:

Bài 9: Cho tam giác ABC có trực tâm H, nội tiếp đường tròn (O), BC cố định, I là trung điểm của BC. Khi A di động trên (O) thì quỹ tích H là đường tròn (O’) là ảnh của O qua phép tịnh tiến theo vecto $\overrightarrow{v}$ bằng:

A. $\overrightarrow{IH}$       

B. $\overrightarrow{AO}$       

C. 2$\overrightarrow{OI}$       

D. $\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$

Bài 10: Mặt phẳng tọa độ, phép tịnh tiến theo vecto $\overrightarrow{v}$(2; -3) biến đường thẳng d: 2x + 3y - 1 = 0 thành đường thẳng d’ có phương trình

A. 3x + 2y - 1 = 0

B. 2x + 3y + 4 = 0

C. 3x + 2y + 1 = 0

D. 2x + 3y + 1 = 0

5. Bài tập tự luyện

Bài 1: Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. phép tịnh tiến theo vecto $\overrightarrow{v}$ biến M thành M’ thì $\overrightarrow{v}$ = $\overrightarrow{M\text{'}M}$

B. Phép tịnh tiến là phép đồng nhất khi vecto tịnh tiến là

C. Phép tịnh tiến theo vecto $\overrightarrow{v}$ biến M thành M’ và N thành N’ thì tứ giác MNM’N’ là hình bình hành$\overrightarrow{O}$

D. Phép tịnh tiến theo vecto $\overrightarrow{v}$ biến đường tròn (O;R) thành đường tròn (O;R)

Bài 2: Cho tam giác ABC có trọng tâm G, Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Mệnh đề nào sau đây là sai.

A. T$\frac{1}{2}$ $\overrightarrow{BC}$(F) = E       

B . $\overrightarrow{TDE}$(B) = F

C. T2DG→ (A) = G       

D. T$\frac{1}{2}$ GA→(D) = G

Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ, phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{v}$(1;2) biến điểm M (-1; 4) thành điểm M’ có tọa độ là?

Lời giải:

Thay vào công thức:

Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm M(-10;1) và điểm M’(3;8). Phép tịnh tiến theo vecto $\overrightarrow{v}$ biến M thành M’, thì tọa độ vecto $\overrightarrow{v}$ là:

Lời giải:

Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ, phép tịnh tiến theo vecto $\overrightarrow{v}$(0;0) biến điểm A(0;2) thành điểm A’ có tọa độ:

Lời giải: