Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Công thức phép đối xứng tâm (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024 gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 11 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Công thức phép đối xứng tâm (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024

1. Lí thuyết

* Định nghĩa: Cho điểm I. Phép biến hình biến điểm I thành chính nó, biến mỗi điểm M  khác I thành M’ sao cho I là trung điểm của MM’ được gọi là phép đối xứng tâm I.

Điểm I được gọi là tâm đối xứng.

Phép đối xứng tâm I thường được kí hiệu là Đ_I.

Từ định nghĩa suy ra: M’ = Đ_I(M)

$\iff \overrightarrow{IM\text{'}}+\overrightarrow{IM}=\overrightarrow{0}\iff \overrightarrow{IM\text{'}}=-\overrightarrow{IM}.$

* Tính chất:

- Phép đối xứng tâm bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

- Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.

- Biến một vectơ thành 1 vectơ đối với nó.

- Biến tam giác thành tam giác bằng nó.

- Biến một góc thành một góc bằng nó.

- Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

2. Công thức

Trong hệ tọa độ Oxy, cho I(a;b) và M(x;y). Ta có: Đ_I(M) = M’(x’; y’) có biểu thức tọa độ: $\left\{\begin{array}{l}x\text{'}=2a-x\\ y\text{'}=2b-y\end{array}\right.$

Với tâm đối xứng là gốc tọa độ O(0; 0), ta có M’(x’; y’) = Đ_O[M(x; y)] thì $\left\{\begin{array}{l}x\text{'}=-x\\ y\text{'}=-y\end{array}\right..$

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho điểm A(-2;3), đường thẳng d: x − 2y + 5 = 0 và đường tròn (C): (x – 1)² + (y + 2)² = 4.

a) Tìm ảnh của điểm A qua phép đối xứng tâm O.

b) Tìm ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm O.

c) Tìm ảnh của đường tròn qua phép đối xứng tâm O.

Lời giải

a) Gọi A’ là ảnh của A qua phép đối xứng tâm O

Ta có: A’ = Đ_O(A) suy ra A’(2; -3).

b) Gọi d’ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm O

Ta có: d’ song song hoặc trùng với d. Phương trình d’ có dạng: x − 2y + c = 0.

Lấy điểm $M\left(-5;0\right)\in d$. Gọi M’ là ảnh của M qua phép đối xứng tâm O, khi đó $M\text{'}\in d\text{'}$.

M’(x’,y’) = Đ_O(M) nên $\left\{\begin{array}{l}x\text{'}=-x_M=5\\ y\text{'}=-y_M=0\end{array}\right.$

$M’\in d’\Rightarrow 5-2.0+c=0\iff c=-5$

Vậy phương trình đường thẳng d’ là: x − 2y – 5 = 0.

c) Đường tròn (C) có tâm I(1;-2) và bán kính R = 2.

Gọi (C’) là ảnh của (C) qua phép đối xứng tâm O

Khi đó (C’) có bán kính R = 2 và tâm I’ là ảnh của I qua phép đối xứng tâm O.

Ta có: I’(x’,y’) = Đ_O(I) nên $\left\{\begin{array}{l}x\text{'}=-x_I=-1\\ y\text{'}=-y_I=2\end{array}\right.$. Suy ra I’(-1;2)

Vậy phương trình đường tròn (C’): (x + 1)² + (y - 2)² = 4.

Ví dụ 2: Cho điểm I(3; -4) và đường thẳng d: 5x + 2y – 3 = 0. Viết phương trình d’ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm I.

Lời giải

Cách 1:

Vì d’ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm I

Nên d’ song song hoặc trùng với d. Phương trình d’ có dạng: 5x + 2y + c = 0.

Lấy điểm $M\left(1;-1\right)\in d$. Gọi M’ là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I, khi đó $M\text{'}\in d\text{'}$

Đ_I(M) = M’(x’,y’) có tọa độ là: $\left\{\begin{array}{l}x\text{'}=2x_I-x_M\\ y\text{'}=2y_I-y_M\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\text{'}=2.3-x=5\\ y\text{'}=2\left(-4\right)-\left(-1\right)=-7\end{array}\right.$

$M\text{'}\in d\text{'}\Rightarrow 5.5+2.\left(-7\right)+c=0\iff c=-11$

Vậy phương trình đường thẳng d’: 5x + 2y – 11  = 0.

Cách 2:

Lấy M(x,y) bất kì thuộc d. Gọi M’ là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I, khi đó $M\text{'}\in d\text{'}$

Đ_I(M) = M’ có tọa độ: $\left\{\begin{array}{l}x\text{'}=2.3-x\\ y\text{'}=2.\left(-4\right)-y\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}x=6-x\text{'}\\ y=-8-y\text{'}\end{array}\right.\iff M\left(6-x\text{'};-8–y\text{'}\right)$

Thay vào d ta được: 5(6 − x’) + 2(−8−y’) – 3 = 0

$\iff -5x\text{'}-2y\text{'}+11=0\iff 5x\text{'}+2y\text{'}-11=0$

Vậy phương trình đường thẳng d’ là: 5x + 2y − 11 = 0.

4. Bài tập vận dụng

Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho phép đối xứng tâm O(0; 0) biến điểm M(-3; 2) thành điểm M’ có tọa độ là:

A. M’(-4; 2)

B. M’(2; -3)

C. M’(-2; 3) 

D. M’(2; 3)

Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d: 3x – 2y – 1 = 0. Ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm O có phương trình là:

A. 3x + 2y + 1 = 0 

B. -3x + 2y – 1 = 0

C. 3x + 2y – 1 = 0

D. 3x – 2y – 1 = 0

Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm phương trình đường tròn (C') là ảnh của đường tròn (C): x² + y² = 1 qua phép đối xứng tâm I(1;0).

A. (C'): (x – 2)² + y² = 1

B. (C'): (x + 2)² + y² = 1

C. (C'): x² + (y + 2)² = 1

D. (C'): x² + (y – 2)² = 1

Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(-5;9). Phép đối xứng tâm I(2; -6) biến M thành M’ thì tọa độ M’ là.

   A. M'(9;-15)      B. M'(9;-3)

   C.M'(9;-21)      D. M'(1;-3)

Bài 5: trong mặt phẳng Oxy cho điểm I(2; -5). Phép đối xứng tâm I biến M(x; y) thành M'(3; 7). Tọa độ của M là:

   A. M(5/2;1)      B. M(7;-3)

   C. M(-1;-12)      D. M(1;-17)

Bài 6: trong mặt phẳng Oxy phép đối xứng tâm I biến M(6; -9) thành M'(3;7). Tọa độ của tâm đối xứng I là:

   A. I(-3/2; -8)      B. (-3;16)

   C. (9/2; -1)      D. I(-3/2; -1)

Bài 7: Hình có hai đường thẳng a và b song song với nhau thì có bao nhiêu phép đối xứng tâm biến a thành b?

   A. Một      B. Hai

   C. Ba      D. Vô số

Bài 8: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và AD. Phép đối xứng tâm O biến.

   A. DF→ thành EB→      B. EC→ thành AF→

   C. BO→ thành OD→       D. BE→ thành DF→

Bài 9: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(-3;7). Phép đối xứng tâm O biến M thành M’ thì tọa độ M’ là:

   A. M’(-3;-7)      B. M’(3;-7)

   C. M’(7;-3)      D. M’(7;3)

Bài 10: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(2;-6) và điểm I(1;4). Phép đối xứng tâm I biến M thành M’ thì tọa độ M’ là:

   A. M’(0;14)      B. M’(14;0)

   C. M’(-3/2;-2)      D. M’(-1/2;5)

5. Bài tập tự luyện