Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Công thức phép đối xứng trục (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024 gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 11 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Công thức phép đối xứng trục (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024

1. Lý thuyết

Cho đường thẳng d. Phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc d thành M’ sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM’ được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng d hay phép đối xứng trục d.

Phép đối xứng trục d thường được kí hiệu là Đ_d.

* Tính chất

- Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm.

- Biến đường thẳng thành đường thẳng .

- Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.

- Biến tam giác thành tam giác bằng nó.

- Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

2. Công thức

Cho đường thẳng d, điểm M’(x’;y’) đối xứng với M(x;y) qua d. Gọi M₀(x₀;y₀) là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng d. Khi đó M'= Đ_d(M)$\iff \overrightarrow{M_{0}M\text{'}}=-\overrightarrow{M_{0}M}.$
$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x\text{'}=2x_0-x\\ y\text{'}=2y_0-y\end{array}\right.$

- Nếu $d\equiv Ox$. Gọi M’(x’;y’) = Đ_Ox[M(x; y)] thì $\left\{\begin{array}{l}x\text{'}=x\\ y\text{'}=-y\end{array}\right..$

- Nếu $d\equiv Oy.$ Gọi M’(x’;y’) = Đ_Oy[M(x; y)] thì $\left\{\begin{array}{l}x\text{'}=-x\\ y\text{'}=y\end{array}\right..$

- Nếu d: Ax + By + C = 0 với $A^2+B^2\ne 0$. Gọi M’(x’;y’) = Đ_Oy[M(x; y)] thì

$\left\{\begin{array}{l}x\text{'}=x-\frac{2A\left(Ax+By+C\right)}{A^2+B^2}\\ y\text{'}=-y-\frac{2B\left(Ax+By+C\right)}{A^2+B^2}\end{array}\right..$

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho điểm M(2;4).

a) Tìm tọa đô M’ là ảnh của M qua phép đối xứng trục Oy.

b) Tìm tọa độ của M’’ là ảnh của M’ qua phép đối xứng trục Ox.

Lời giải

a) Đ_Oy(M)=M’ $\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x\text{'}=-x=-2\\ y\text{'}=y=4\end{array}\right.\Rightarrow M\text{'}(-2;4)$

b) Đ_Ox(M’)=M’’$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x"=x\text{'}=-2\\ y"=-y\text{'}=-4\end{array}\right.\Rightarrow M"(-2;-4)$

Ví dụ 2: Cho đường tròn (C): (x − 2)² + (y − 3)² = 9. Viết phương trình đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng trục Ox.

Lời giải

Ta có: Đường tròn (C) có tâm I(2;3) và bán kính R = 3.

Đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng trục Ox.

Khi đó (C’) có bán kính R = 3 và tâm I’ là ảnh của I qua phép đối xứng trục Ox.

Ta có: I’ = Đ_Ox(I)$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}_{I\text{'}}=x_I=2\\ y_{I\text{'}}=-y_I=-3\end{array}\right.\Rightarrow I\text{'}(2;-3)$

Vậy phương trình đường tròn (C’) là: (x − 2)² + (y + 3)² = 9.

4. Bài tập vận dụng 

Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(2;3). Hỏi trong bốn điểm sau điểm nào là ảnh của M qua phép đối xứng trục Ox?

A.  M’₁(3; 2)

B.  M’₂(2; -3)

C.  M’₃(3; -2)

D.  M’₄(-2; 3)

Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với A(1; 5), B(-1; 2), C(6; -4). Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Phép đối xứng trục Đ_Oy biến điểm G thành điểm G’ có tọa độ là:

A. G’(-2; -1)

B. G’ (2; -4)

C. G’ (0; -3)

D. G’ (-2; 1)

Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d: x + y – 2 = 0. Ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng trục Ox có phương trình là:

A. x – y – 2 = 0

B. x + y + 2 = 0

C. x + y – 2 = 0

D. x – y + 2 = 0

Bài 4: Hình gồm hai đường thẳng d và d’ vuông góc với nhau có mấy trục đối xứng?

A. 0

B. 2

C. 4

D. Vô số

Bài 5: Cho đường tròn $\left(C\right):x^2+y^2-6x+2y+1=0$. Tìm phương trình đường tròn đối xứng với (C) qua đường thẳng $d:x-y=0$

Bài 6: Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng d: x - 5y + 7 = 0 và d’: 5x – y – 13 = 0. Tìm phép đối xứng qua trục biến d thành d’

Bài 7: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Về phía ngoài tam giác dựng hai hình vuông ABDE và ACFG. Chứng minh AH, CD, BF đồng quy

Bài 8: Cho hình vuông ABCD và AB’C’D’ có các cạnh đều bằng a và cạnh A chung. Chứng minh có thể thực hiện một phép đối xứng trục biến hình vuông ABCD thành AB’C’D’

Bài 9: Cho tam giác ABC và đường thẳng d không đi qua A nhưng không qua B, C. Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép đối xứng $D_d$

Bài 10: Cho tam giác ABC có tâm đường tròn nội tiếp I, P là một điểm nằm trong tam giác. Gọi A′, B′, C′ là các điểm đối xứng với P lần lượt đối xứng qua IA, IB, IC. Chứng minh các đường thẳng AA′, BB′, CC′ đồng quy.

5. Bài tập tự luyện 

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 2x - 8y + 11 = 0. Phép đối xứng trục Oy biến d thành d’ có phương trình?

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình x-2y+2=0 và đường thằng l có phương trình : x - y + 1 = 0. Phép đối xứng trục l biến d thành d’ có phương trình

Bài 3: Cho hai điểm A, B cùng phía với đường thẳng d. gọi A’, B’ lần lượt là hình chiếu của A, B trên đường thẳng d. Tìm vị trí điểm C trên d để chu vi tam giác ABC nhỏ nhất.

Bài 4: Có bao nhiêu phép đối xứng trục biến một hình chữ nhật thành chính nó?

Bài 5: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình x + y - 2 = 0. Phép đối xứng trục Oy biến d thành d’ có phương trình?

Bài 6: Trong mặt phẳng Oxy cho parabol (P) có phương trình :y = 6x² - 3x + 13. Phép đối xứng trục Ox biến (P) thành (P’) có phương trình

Bài 7: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình:  x² + y² - 4x + 5y + 1 = 0. Phép đối xứng trục Oy biến (C) thành (C’) có phương trình:

Bài 8: Trên tia phân giác ngoài Cx của góc C của tam giác ABC lấy điểm M không trùng với C. tìm mệnh đề đúng nhất:

Bài 9: Trong mặt phẳng Oxy cho parabol (P) có phương trình y = 4x² - 7x + 3. Phép đối xứng trục Oy biến (P) thành (P’) có phương trình?