Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Phương pháp giải Công thức Giao tuyến của ba mặt phẳng (HAY NHẤT 2024) gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 11 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Phương pháp giải Công thức Giao tuyến của ba mặt phẳng (HAY NHẤT 2024)

1. Lý thuyết

Định lý:

Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.

Hệ quả:

Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của hai mặt phẳng đó (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó (hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó).

2. Công thức

Phương pháp tìm giao tuyến của hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song với nhau

Giả sử $a\subset \left(P\right),b\subset \left(Q\right),a//b$. Tìm giao tuyến của (P) và (Q)

Bước 1: Tìm 1 điểm chung M của (P) và (Q)

Bước 2: Ta có: $\left\{\begin{array}{l}M\in \left(P\right)\cap \left(Q\right)\\ a\subset \left(P\right)\\ b\subset \left(Q\right)\\ a//b\end{array}\right.$

Kết luận: Giao tuyến của (P) và (Q) là đường thẳng d, với d đi qua M và d // a // b.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Tìm giao tuyến của các mặt phẳng:

a) (SAB) và (SCD).

b) (MCD) và (SAB), với M là một điểm bất kì thuộc cạnh SA.

Lời giải

a)

Ta có:$\left\{\begin{array}{l}S\in \left(SAB\right)\cap \left(SCD\right)\\ AB\subset \left(SAB\right)\\ CD\subset \left(SCD\right)\\ AB\text{//}CD\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left(SAB\right)\cap \left(SCD\right)=x{x}^{\text{'}}$, với $S\in x{x}^{\text{'}}$ và xx' // AB // CD.

b)

Ta có:$\left\{\begin{array}{l}M\in \left(SAB\right)\cap \left(MCD\right)\\ AB\subset \left(SAB\right)\\ CD\subset \left(MCD\right)\\ AB\text{//}CD\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left(SAB\right)\cap \left(SCD\right)=y{y}^{\text{'}}$, với $M\in y{y}^{\text{'}}$ và yy' // AB // CD.

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với các cạnh đáy là AB và CD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC và G là trọng tâm của tam giác SAB.

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (IJG).

b) Xác định thiết diện của mặt phẳng (IJG) với hình chóp.

Lời giải

a) Ta có ABCD là hình thang (AB // CD) và I, J là trung điểm của AD, BC

Suy ra IJ là đường trung bình của hình thang ABCD nên IJ // AB.

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}G\in \left(SAB\right)\cap \left(IJG\right)\\ AB\subset \left(SAB\right)\\ IJ\subset \left(IJG\right)\\ AB//IJ\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left(SAB\right)\cap \left(IJG\right)=d$ với $G\in d$ và d // AB // IJ.

b) Trong (SAB), gọi d cắt SA, SB lần lượt tại M, N.

Ta có:$\left\{\begin{array}{l}\left(IJG\right)\cap \left(ABCD\right)=IJ\\ \left(IJG\right)\cap \left(SBC\right)=JN\\ \left(IJG\right)\cap \left(SAB\right)=NM\\ \left(IJG\right)\cap \left(SAD\right)=MI\end{array}\right.$

Vậy tứ giác IJNM là thiết diện của mặt phẳng (IJG) với hình chóp.

4. Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD)và (SBC). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. d qua S và song song với BC.

B. d qua S và song song với DC.

C. d qua S và song song với AB.

D. d qua S và song song với BD.

Câu 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J theo thứ tự là trung điểm của AD và AC, G là trọng tâm tam giác BCD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (GIJ) và (BCD) là đường thẳng:

A. qua I và song song với AB.

B. qua J và song song với BD.

C. qua G và song song với CD.

D. qua G và song song với BC.

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SA và SB; gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD. Khẳng định nào sau đây sai?

A. Tứ giác IJCD là hình thang

B. Giao tuyến của (SAB) và (IBC) là IB.

C. Giao tuyến của (SBD) và (JCD) là JD.

D. Giao tuyến của (IAC) và (JBD) là AO.

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang (AD // BC). Gọi M là trung điểm CD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (MSB) và (SAC) là:

A. SI (I là giao điểm của AC và BM)

B. SJ (J là giao điểm của AM và BD)

C. SO (O là giao điểm của AC và BD)

D. SP (P là giao điểm của AB và CD)

Câu 5: Cho 4 điểm A; B; C; D không đồng phẳng. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của AD và BC. Tìm giao tuyến của (IBC) và (KAD) là

A. IK       B. BC        C. AK       D. DK

Câu 6: Cho hình chóp S. ABCD có đáy hình thang (AB // CD). Gọi I là giao điểm của AC và BD. Trên cạnh SB; lấy điểm M. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ADM) và (SAC).

A. SI

B. AE với E là giao điểm của DM và SI

C. DM

D. DE với E là giao điểm của DM và SI

Câu 7: Cho tứ diện ABCD và điểm M thuộc miền trong của tam giác ACD. Gọi I và J là 2 điểm lần lượt trên cạnh BC và BD sao cho IJ không song song với CD. Gọi H; K lần lượt là giao điểm của IJ với CD; MH và AC. Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (ACD) và (IJM):

A. KI         B. KJ         C. MI         D. MH

Câu 8: Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD, M là trung điểm CD, I là điểm trên đoạn thẳng AG, BI cắt mặt phẳng (ACD) tại J. Khẳng định nào sau đây sai?

A. AM = (ACD) ∩ (ABG)

B. A; J; M thẳng hàng

C. J là trung điểm AM

D DJ = (ACD) ∩ (BDJ)

Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD; AD//BC. Gọi I là giao điểm của AB và CD, M là trung điểm SC. DM cắt mặt phẳng (SAB) tại J . Khẳng định nào sau đây sai?

A. S, I; J thẳng hàng

B. DM ⊂ mp(SCI)

C. JM ⊂ mp(SAB)

D. SI = (SAB) ∩ (SCD)

Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M; N lần lượt là trung điểm AD và BC. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SMN) và (SAC) là:

A. SD

B. SO

C. SG (G là trung điểm của AB)

D. SF (F là trung điểm của MD)

5. Bài tập tự luyện 

Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, đáy lớn AB. Gọi O là giao điểm của AC và BD; I là giao điểm của AD và BC. Tìm mệnh đề sai?

A. Hình chóp S.ABCD có 4 mặt bên.

B. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là SO.

C. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là SI.

D. Đường thẳng SO nhìn thấy nên được biểu diễn bằng nét đứt.

Câu 2: Cho tứ giác ABCD sao cho các cạnh đối không song song với nhau. Lấy một điểm S không thuộc mặt phẳng (ABCD). Xác định giao tuyến của mặt phẳng (SAC) và mặt phẳng (SBD).

A. SO trong đó O là giao điểm của AC và BD.

B. SI trong đó I là giao điểm của AB và CD.

C. SE trong đó E là giao điểm của AD và BC.

D. Đáp án khác

Câu 3: Cho tứ giác ABCD sao cho các cạnh đối không song song với nhau. Lấy một điểm S không thuộc mặt phẳng (ABCD). Xác định giao tuyến của mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SCD)

A. SO trong đó O là giao điểm của AC và BD

B. SI trong đó I là giao điểm của AB và CD

C. SE trong đó E là giao điểm của AD và BC

D. Đáp án khác

Câu 4: Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Giao tuyến của mặt phẳng (ACD) và (GAB) là:

A. AN trong đó N là trung điểm CD

B. AM trong đó M là trung điểm của AB.

C. AH trong đó H là hình chiếu của A lên BG.

D. AK trong đó K là hình chiếu của C lên BD.

Câu 5: Cho điểm A không nằm trên mp(α) - chứa tam giác BCD . Lấy E; F là các điểm lần lượt nằm trên cạnh AB; AC. Khi EF và BC cắt nhau tại I; thì I không là điểm chung của 2 mặt phẳng nào sau đây ?

A. (BCD) và (DEF)

B. (BCD) và (ABC)

C. (BCD) và (AEF)

D. (BCD) và (ABD)

Câu 6: Cho tứ diện ABCD. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của AC và CD. Giao tuyến của 2 mặt phẳng (MBD) và (ABN) là:

A. Đường thẳng MN

B. Đường thẳng AM

C. Đường thẳng BG (G là trọng tâm tam giác ACD)

D. Đường thẳng AH ( H là trực tâm tam giác ACD)

Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD ( AB// CD). Khẳng định nào sau đây sai?

A. Hình chóp S.ABCD có mặt bên

B. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là SO (O là giao điểm của AC và BD)

C. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là SI (I là giao điểm của AD và BC)

D. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) là đường trung bình của ABCD

Câu 8: Cho tứ diện ABCD. Gọi O là một điểm bên trong tam giác BCD và M là một điểm trên đoạn AO. Gọi I và J là hai điểm trên cạnh BC; BD. Giả sử IJ cắt CD tại K, BO cắt IJ tại E và cắt CD tại H, ME cắt AH tại F. Giao tuyến của hai mặt phẳng (MIJ) và (ACD) là đường thẳng:

A. KM          B. AK          C. MF          D. KF