Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Phương pháp giải Công thức Chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian (HAY NHẤT 2024) hay, chi tiết nhất, từ cơ bản đến nâng cao giúp học sinh nắm vững kiến thức về hỗn số, từ đó học tốt môn Toán 11.

Phương pháp giải Công thức Chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian ( HAY NHẤT 2024)

1. Lý thuyế

a) Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian

Cho hai đường thẳng a và b trong không gian. Khi đó có thể xảy ra một trong các trường hợp sau:

b) Tính chất

Định lý 1:

Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.

Định lý 2:

Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.

Tức là: $\left\{\begin{array}{l}\left(\alpha \right)\cap \left(\gamma \right)=a\\ \left(\beta \right)\cap \left(\gamma \right)=b\\ \left(\alpha \right)\cap \left(\beta \right)=c\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l}a\cap b\cap c=I\\ a//b//c\end{array}\right.$

Hệ quả (của định lý 2):

Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của hai mặt phẳng đó (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó (hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó).

Tức là: $\left\{\begin{array}{l}{d}_1\subset \left(\alpha \right)\\ d_2\subset \left(\beta \right)\\ \left(\alpha \right)\cap \left(\beta \right)=d\\ d_1//d_2\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l}d//d_1//d_2\\ d\equiv d_1\\ d\equiv d_2\end{array}\right.$

Định lý 3:

Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ 3 thì song song với nhau.

Tức là: $\left\{\begin{array}{l}a//c\\ b//c\end{array}\right.\Rightarrow a//b$

2. Công thức

Phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian

- Cách 1: Chứng minh chúng đồng phằng, sau đó áp dụng phương pháp chứng minh song song trong hình học phẳng:

Sử dụng tính chất đường trung bình, Định lý Ta-lét đảo, cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba.

- Cách 2: Chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ ba

$\left\{\begin{array}{l}a//c\\ b//c\end{array}\right.\Rightarrow a//b$

- Cách 3: Áp dụng định lý giao tuyến song song

$\left\{\begin{array}{l}\left(\alpha \right)\cap \left(\gamma \right)=a\\ \left(\beta \right)\cap \left(\gamma \right)=b\\ \left(\alpha \right)\cap \left(\beta \right)=c\end{array}\right.$$\Rightarrow \left[\begin{array}{l}a\cap b\cap c=I\\ a//b//c\end{array}\right.$

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB. Chứng minh rằng IJ // AB, từ đó suy ra IJ // CD.

Lời giải

+ Xét tam giác SAB có  I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB

Nên IJ là đường trung bình của tam giác SAB.

Từ đó suy ra IJ // AB.

+  Ta có $\left\{\begin{array}{l}IJ//AB\\ AB//CD\end{array}\right.$

$\Rightarrow IJ//CD$

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AB, AC sao cho $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$; I, J lần lượt là trung điểm của BD, CD.

a) Chứng minh rằng MN // BC.

b) Tứ giác MNJI là hình gì. Tìm điều kiện của M, N để tứ giác MNJI là hình bình hành.

Lời giải

a) Xét tam giác ABC có: $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$, từ đó suy ra MN // BC (Định lý Ta-lét đảo).

b) + Xét tam giác BCD có I, J lần lượt là trung điểm của BD, CD

Nên IJ là đường trung bình của tam giác BCD.

Từ đó suy ra IJ // BC và $IJ=\frac{BC}{2}$

+ Ta có: $\left\{\begin{array}{l}MN//BC\\ IJ//BC\end{array}\right.$$\Rightarrow MN//IJ$

Vậy tứ giác MNJI là hình thang.

+ Để hình thang MNJI là hình bình hành thì $MN=IJ=\frac{BC}{2}$

Xét tam giác ABC có MN // BC nên $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}=\frac{1}{2}$

Do đó M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC.

4. Bài tập vận dụng 

Câu 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A. IJ song song với CD.

B. IJ song song với AB.

C. IJ chéo CD.

D. IJ cắt AB.

Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có AD không song song với BC. Gọi M, N, P, Q, R, T lần lượt là trung điểm AC, BD, BC, CD, SA, SD. Cặp đường thẳng nào sau đây song song với nhau?

A. MP và RT.

B. MQ và RT.

C. MN và RT.

D. PQ và RT.

Câu 3: Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào là đúng?

Nếu một đường thẳng cắt nhau hai đường thẳng song song thì:

A. Hai góc đồng vị bằng nhau;

B. Hai góc so le trong bằng nhau;

C. Hai góc trong cùng phía bù nhau;

D. A, B, C đều đúng.

Câu 4: Cho tam giác ACD có $\widehat{ACD}$ = 30°. Trên AC lấy điểm B. Từ B kẻ đường thẳng song song với CD và cắt AD tại E. Tính $\widehat{ABE}$.

A. 135°;

B. 45°;

C. 30°;

D. 90°.

Câu 5: Cho hai đường thẳng xx’ và yy’ cắt đường thẳng aa’ tại A và B, biết $\widehat{xAB}$ = 80°. Để xx’ // yy’ thì $\widehat{yB\mathrm{a\text{'}}}$ bằng bao nhiêu?

A. 60°;

B. 80°;

C. 12°;

D. 150°.

Câu 6: Cho và là hai góc so le trong và có số đo góc đều bằng 120^o. Khi đó Ax và By có quan hệ như thế nào?

A. Song song;

B. Cắt nhau;

C. Trùng nhau;

D. Vuông góc.

5. Bài tập tự luyện 

Bài tập 1: Cho tam giác ABC, qua A kẻ đường thẳng song song với AB, hai đường thẳng này cắt nhau tại D

a. Chứng minh AD = BC và AB = DC

b. Gọi O là trung điểm của AC. Chứng minh B, O, D thẳng hàng

c. Gọi M là trung điểm của BC, N là trung điểm của AD. Chứng minh M, O, N thẳng hàng

Bài tập 2: Cho hai đường thẳng song song a và b bị cắt bởi một đường thẳng c tại A và B. Gọi Ax và By là hai tia phân giác của một cặp góc so le trong. Chứng minh Ax // By.

Bài tập 3: Chứng minh rằng nếu hai đường thẳng song song cắt một đường thẳng thứ 3 thì tia phân giác của 2 góc so le trong song song với nhau.

Bài tập 4: Cho . Lấy điểm A trên tia Ox. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ Ox chứa tia Oy vẽ tia At sao cho góc . Gọi At’ là tia đối của tia At

a. Chứng minh tt’ // Oy

b. Gọi Om và An theo thứ tự là tia phân giác của các góc . Chứng minh Om // An

Bài tập 5: Chứng minh rằng: Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai góc trong cùng phía bù nhau

Bài tập 6: Cho tam giác ABC, qua A kẻ đường thẳng song song với BC, qua C kẻ đường thẳng song song với AB, hai đường thẳng cắt nhau tại D

a. Chứng minh tam giác ABC bằng tam giác ADC

b. Chứng minh hai tam giác ADB và tam giác CBD bằng nhau

c. Gọi O là giao điểm của AC và DB. Chứng minh tam giác ABD bằng tam giác COD

Bài tập 7: Cho góc vuông . Trên tia Ox lấy hai điểm M và N, trên tia Oy lấy hai điểm P và Q sao cho OM = ON, OP = OQ

a. Chứng minh tam giác ONP bằng tam giác OMQ

b. Chứng minh tam giác MAN bằng tam giác PAQ, với A là giao điểm của NP và MQ

c. Chứng minh OA vuông góc với NQ

Bài tập 8: Cho đoạn thẳng BC. Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Trên đường trung trực của BC lấy điểm A (A khác I)

a. Chứng minh 

b. Kẻ IH vuông góc với AB, kẻ IK vuông góc với AC:

c. Chứng minh tam giác AKH có hai cạnh bằng nhau

d. HK // BC

Xem các Phương pháp giải bài tập hay, chi tiết khác:

Công thức Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

Công thức Chứng minh hai mặt phẳng song song

Định lý Ta-lét trong không gian

Hai mặt phẳng song song và cách giải bài tập

Công thức Giao tuyến của ba mặt phẳng và hệ quả