SBT Toán 11 trang 34 Tập 1 (Kết nối tri thức)

Với Giải trang 34 SBT Toán lớp 11 trong Bài 5: Dãy số Sách bài tập Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán lớp 11.

SBT Toán 11 trang 34 Tập 1 (Kết nối tri thức)

Bài 2.4 trang 34 SBT Toán 11 Tập 1: Để tính xấp xỉ giá trị $\sqrt{p}$ , người ta có thể dùng dãy số cho bởi hệ thức truy hồi sau:

u₁ = k, $u_{n} = \frac{1}{2} (u_{n - 1} + \frac{p}{u_{n - 1}})$ với n ≥ 2,

ở đó k là một giá trị dự đoán ban đầu của $\sqrt{p}$ .

Sử dụng hệ thức truy hồi này, hãy tính xấp xỉ các giá trị sau bằng cách tính u₅ và tính sai số tuyệt đối khi so với giá trị tính bằng máy tính cầm tay (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ năm).

a) $\sqrt{5}$ (lấy k = 3);

b) $\sqrt{8}$ (lấy k = 3).

Lời giải:

a) Với p = 5 thì $\sqrt{5}$ ≈ 2,23607. Nếu ta chọn u₁ = 3 thì ta có:

u₁ = 3

$u_{2} = \frac{1}{2} (u_{1} + \frac{5}{u_{1}}) = \frac{1}{2} (3 + \frac{5}{3})$ ≈ 2,3333

$u_{3} = \frac{1}{2} (u_{2} + \frac{5}{u_{2}}) = \frac{1}{2} (2,3333 + \frac{5}{2,3333})$ ≈ 2,2381

$u_{4} = \frac{1}{2} (u_{3} + \frac{5}{u_{3}}) = \frac{1}{2} (2,2381 + \frac{5}{2,2381})$ ≈ 2,2361

$u_{5} = \frac{1}{2} (u_{4} + \frac{5}{u_{4}}) = \frac{1}{2} (2,2361 + \frac{5}{2,2361})$ ≈ 2,2361

Sai số tuyệt đối xấp xỉ bằng 2,2361 – 2,23607 = 0,00003.

b) Với p = 8 thì $\sqrt{8}$ ≈ 2,82843. Nếu ta chọn u₁ = 3 thì ta có:

u₁ = 3

$u_{2} = \frac{1}{2} (u_{1} + \frac{8}{u_{1}}) = \frac{1}{2} (3 + \frac{8}{3})$ ≈ 2,8333

$u_{3} = \frac{1}{2} (u_{2} + \frac{8}{u_{2}}) = \frac{1}{2} (2,8333 + \frac{8}{2,3333})$ ≈ 2,8284

$u_{4} = \frac{1}{2} (u_{3} + \frac{8}{u_{3}}) = \frac{1}{2} (2,8284 + \frac{8}{2,8284})$ ≈ 2,8284

$u_{5} = \frac{1}{2} (u_{4} + \frac{8}{u_{4}}) = \frac{1}{2} (2,8284 + \frac{5}{2,8284})$ ≈ 2,8284

Sai số tuyệt đối xấp xỉ bằng 2,8284 – 2,82843 = 0,00003.

Bài 2.5 trang 34 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) xác định bằng hệ thức truy hồi

u₁ = 1, u_{n + 1} = u_n + (n + 1).

a) Mỗi số hạng của dãy số này gọi là một số tam giác. Viết bảy số tam giác đầu.

b) Biết rằng 1 + 2 + ... + n = $\frac{n (n + 1)}{2}$ . Hãy chứng tỏ công thức của số hạng tổng quát là $u_{n + 1} = \frac{(n + 1) (n + 2)}{2}$ .

c) Chứng minh rằng u_{n + 1} + u_n = (n + 1)², tức là tổng của hai số tam giác liên tiếp là một số chính phương.

Lời giải:

a) Bảy số tam giác đầu là u₁ = 1; u₂ = u₁ + (1 + 1) = 1 + 2 = 3;

u₃ = u₂ + (2 + 1) = 3 + 3 = 6; u₄ = u₃ + (3 + 1) = 6 + 4 = 10;

u₅ = u₄ + (4 + 1) = 10 + 5 = 15; u₆ = u₅ + (5 + 1) = 15 + 6 = 21;

u₇ = u₆ + (6 + 1) = 21 + 7 = 28.

b) Từ kết quả ở câu a, ta nhận thấy u₁ = 1, u₂ = 1 + 2, u₃ = 1 + 2 + 3, u₄ = 1 + 2 + 3 + 4, ...

Từ đó suy ra u_{n + 1} = 1 + 2 + ... + n + (n + 1)

$= \frac{n (n + 1)}{2} + (n + 1) = \frac{n (n + 1) + 2 (n + 1)}{2} = \frac{(n + 1) (n + 2)}{2}$ .

Vậy $u_{n + 1} = \frac{(n + 1) (n + 2)}{2}$ .

c) Theo công thức ở câu b) ta có:

$u_{n + 1} + u_{n} = \frac{(n + 1) (n + 2)}{2} + \frac{n (n + 1)}{2} = \frac{(n + 1) ((n + 2) + n)}{2}$ $= \frac{(n + 1) .2 (n + 1)}{2} = {(n + 1)}^{2}$ .