SBT Toán 11 trang 39 Tập 1 (Kết nối tri thức)

Ngọc Nguyễn Ngày: 01-10-2023 Lớp 11

188

Với Giải trang 39 SBT Toán lớp 11 trong Bài 7: Cấp số nhân Sách bài tập Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán lớp 11.

SBT Toán 11 trang 39 Tập 1 (Kết nối tri thức)

Bài 2.21 trang 39 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng mỗi dãy số (u_n) sau là một cấp số nhân. Hãy tìm số hạng đầu và công bội của nó.

a) $u_{n} = - 3. {(\frac{1}{2})}^{n}$ ;

b) $u_{n} = \frac{2^{n}}{3^{n - 1}}$ .

Lời giải:

a) Từ $u_{n} = - 3. {(\frac{1}{2})}^{n}$ suy ra $u_{n + 1} = - 3. {(\frac{1}{2})}^{n + 1} = - \frac{3}{2} . {(\frac{1}{2})}^{n}$ .

Như vậy $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{- \frac{3}{2} . {(\frac{1}{2})}^{n}}{- 3. {(\frac{1}{2})}^{n}} = \frac{1}{2}$ không đổi với mọi n.

Vậy dãy số đã cho là cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = $- \frac{3}{2}$ và công bội $q = \frac{1}{2}$ .

b) Từ $u_{n} = \frac{2^{n}}{3^{n - 1}}$ suy ra $u_{n + 1} = \frac{2^{n + 1}}{3^{n + 1 - 1}} = \frac{{2.2}^{n}}{{3.3}^{n - 1}} = \frac{2}{3} . \frac{2^{n}}{3^{n - 1}}$ .

Như vậy $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{\frac{2}{3} . \frac{2^{n}}{3^{n - 1}}}{\frac{2^{n}}{3^{n - 1}}} = \frac{2}{3}$ không đổi với mọi n.

Vậy dãy số đã cho là cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 2 và công bội q = $\frac{2}{3}$ .

Bài 2.22 trang 39 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm số hạng thứ 10 của cấp số nhân 64, – 32, 16, – 8, ...

Lời giải:

Do cấp số nhân có u₁ = 64 và công bội q = $\frac{- 32}{64} = - \frac{1}{2}$ nên số hạng thứ 10 của cấp số nhân là

$u_{10} = u_{1} . q^{10 - 1} = u_{1} q^{9} = 64. {(- \frac{1}{2})}^{9} = - \frac{1}{8}$ .

Bài 2.23 trang 39 SBT Toán 11 Tập 1: Cho một cấp số nhân với tất cả các các số hạng đều dương. Số hạng thứ 4 của cấp số nhân là 125 và số hạng thứ 10 là $\frac{125}{64}$ . Tìm số hạng thứ 14 của cấp số nhân này.

Lời giải:

Theo giả thiết ta có SBT Toán 11 (Kết nối tri thức) Bài 7: Cấp số nhân (ảnh 1)

Chia vế theo vế của hai phương trình trên ta được $q^{6} = \frac{1}{64} \Leftrightarrow q = \pm \frac{1}{2}$ .

Với $q = \frac{1}{2} \Rightarrow u_{1} = \frac{125}{q^{3}} = \frac{125}{{(\frac{1}{2})}^{3}} = 1000 \Rightarrow u_{14} = u_{1} q^{13} = 1000. {(\frac{1}{2})}^{13} = \frac{125}{1024}$ .

Với $q = - \frac{1}{2} \Rightarrow u_{1} = \frac{125}{q^{3}} = \frac{125}{{(- \frac{1}{2})}^{3}} = - 1000$ < 0 (loại vì các số hạng của cấp số nhân đều là số dương).

Vậy số hạng thứ 14 của cấp số nhân đã cho là $u_{14} = \frac{125}{1024}$ .

Bài 2.24 trang 39 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm x sao cho x, x + 2, x + 3 là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân.

Lời giải:

Vì x, x + 2 và x + 3 là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân nên ta suy ra

x(x + 3) = (x + 2)²

⇔ x² + 3x = x² + 4x + 4

⇔ x = – 4.

Thử lại, ta có ba số là – 4; – 2; – 1 thoả mãn bài toán.

Vậy x = − 4.

Bài 2.25 trang 39 SBT Toán 11 Tập 1: Tính các tổng sau:

a) 1 + 4 + 16 + 64 + ... + 4⁹;

b) $\frac{1}{3} + \frac{2}{3} + \frac{2^{2}}{3} + ... + \frac{2^{12}}{3}$ .

Lời giải:

a) Ta có 1 + 4 + 16 + 64 + ... + 4⁹ = 4⁰ + 4¹ + 4² + 4³ + ... + 4⁹.

Ta nhận thấy các số hạng của tổng trên là cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 4⁰ = 1, công bội q = 4 và có 10 số hạng.

Vậy 1 + 4 + 16 + 64 + ... + 4⁹ = $\frac{1. (1 - 4^{10})}{1 - 4}$ = 349 525.

b) Ta có $\frac{1}{3} + \frac{2}{3} + \frac{2^{2}}{3} + ... + \frac{2^{12}}{3}$ .

Ta nhận thấy các số hạng của tổng trên là cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = $\frac{1}{3}$ và công bội q = 2 và có 13 số hạng.

Vậy $\frac{1}{3} + \frac{2}{3} + \frac{2^{2}}{3} + ... + \frac{2^{12}}{3}$ $= \frac{\frac{1}{3} (1 - 2^{13})}{1 - 2} = \frac{8191}{3}$ .

Bài 2.26 trang 39 SBT Toán 11 Tập 1: Các bệnh truyền nhiễm có thể lây lan rất nhanh. Giả sử có năm người bị bệnh trong tuần đầu tiên của một đợt dịch, và mỗi người bị bệnh sẽ lây bệnh cho bốn người vào cuối tuần tiếp theo. Tính đến hết tuần thứ 10 của đợt dịch, có bao nhiêu người đã bị lây bởi căn bệnh này?

Lời giải:

Gọi u_n là số người bị bệnh ở cuối tuần thứ n. Vì có năm người bị bệnh trong tuần đầu tiên của một đợt dịch, và mỗi người bị bệnh sẽ lây bệnh cho bốn người vào cuối tuần tiếp theo nên dãy số (u_n) là một cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 5 và công bội q = 4.

Suy ra số người bị ảnh hưởng bởi dịch bệnh ở cuối tuần 10 là

u₁₀ = u₁q⁹ = 5 . 4⁹ = 1 310 720 (người).

Xem thêm các bài SBT Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 2.21 trang 39 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng mỗi dãy số (u_n) sau là một cấp số nhân. Hãy tìm số hạng đầu và công bội của nó.

Bài 2.22 trang 39 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm số hạng thứ 10 của cấp số nhân 64, – 32, 16, – 8, ...

Bài 2.23 trang 39 SBT Toán 11 Tập 1: Cho một cấp số nhân với tất cả các các số hạng đều dương. Số hạng thứ 4 của cấp số nhân là 125 và số hạng thứ 10 là . Tìm số hạng thứ 14 của cấp số nhân này.

Bài 2.24 trang 39 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm x sao cho x, x + 2, x + 3 là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân.

Bài 2.25 trang 39 SBT Toán 11 Tập 1: Tính các tổng sau: a) 1 + 4 + 16 + 64 + ... + 4⁹;

Bài 2.27 trang 40 SBT Toán 11 Tập 1: Nếu một kĩ sư được một công ty thuê với mức lương hằng năm là 180 triệu đồng và nhận được mức tăng lương hàng năm là 5%, thì mức lương của người kĩ sư đó là bao nhiêu khi bắt đầu năm thứ sáu làm việc cho công ty?

Bài 2.28 trang 40 SBT Toán 11 Tập 1: Để tích luỹ tiền cho việc học đại học của con gái, cô Hoa quyết định hàng tháng bỏ ra 500 nghìn đồng vào tài khoản tiết kiệm, được trả lãi 0,5% cộng dồn hàng tháng. Cô bắt đầu chương trình tích lũy này khi con gái cô tròn 3 tuổi. Cô ấy sẽ tích luỹ được bao nhiêu tiên vào thời điểm gửi khoản tiền thứ 180? Lúc này con gái cô Hoa bao nhiêu tuổi?

Bài 2.29 trang 40 SBT Toán 11 Tập 1: Các cạnh của hình vuông ban đầu có chiều dài 16 cm. Một hình vuông mới được hình thành bằng cách nối các điểm giữa của các cạnh của hình vuông ban đầu và hai trong số các hình tam giác kết quả được tô màu (hình vẽ dưới). Nếu quá trình này được lặp lại năm lần nữa, hãy xác định tổng diện tích của vùng được tô màu.

Bài 2.30 trang 40 SBT Toán 11 Tập 1: Nếu p, m và q lập thành một cấp số nhân thì dễ thấy m² = p ∙ q. Số m được gọi là trung bình nhân của p và q. Cho hai số p và q, nếu ta tìm được k số khác m₁, m₂, ..., m_k sao cho p, m₁, m₂, ..., m_k, q lập thành một cấp số nhân thì chúng ta nói rằng đã “chèn k trung bình nhân vào giữa p và q”. Hãy