SBT Toán 11 trang 58 Tập 1 (Chân trời sáng tạo)

Ngọc Nguyễn Ngày: 14-10-2023 Lớp 11

155

Với Giải trang 58 SBT Toán lớp 11 trong Bài 1: Dãy số Sách bài tập Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán lớp 11.

SBT Toán 11 trang 58 Tập 1 (Chân trời sáng tạo)

Bài 5 trang 58 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (u_n) cho bởi số hạng tổng quát u_n sau:

a) $u_{n} = \frac{2 n - 13}{3 n - 2};$

b) $u_{n} = \frac{n^{2} + 3 n + 1}{n + 1};$

c) $u_{n} = \frac{1}{\sqrt{1 + n + n^{2}}} .$

Lời giải:

a) Số hạng tổng quát của (u_n) là $u_{n} = \frac{2 n - 13}{3 n - 2}$ nên $u_{n + 1} = \frac{2 (n + 1) - 13}{3 (n + 1) - 2} = \frac{2 n - 11}{3 n + 1}$

Xét $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{2 n - 11}{3 n + 1} - \frac{2 n - 13}{3 n - 2}$

$= \frac{(2 n - 11) (3 n - 2) - (2 n - 13) (3 n + 1)}{(3 n + 1) (3 n - 2)}$

$= \frac{6 n^{2} - 37 n + 22 - (6 n^{2} - 37 n - 13)}{(3 n + 1) (3 n - 2)}$

$= \frac{35}{(3 n + 1) (3 n - 2)} > 0, \forall n \in ℕ^{*} .$

Suy ra u_n+1 > u_n, ∀n ∈ ℕ^*. Suy ra (u_n) là dãy số tăng.

Mặt khác, ta có: $u_{n} = \frac{2 n - 13}{3 n - 2} = \frac{\frac{2}{3} (3 n - 2) - \frac{35}{3}}{3 n - 2} = \frac{2}{3} - \frac{35}{3 (3 n - 2)}$

⦁ Do $n \geq 1 \Rightarrow 3 n - 2 \geq 1 \Rightarrow \frac{35}{3 (3 n - 2)} \leq \frac{35}{3}$ $\Rightarrow \frac{2}{3} - \frac{35}{3 (3 n - 2)} \geq \frac{2}{3} - \frac{35}{3} = - 11$

⦁ Do $n \geq 1 \Rightarrow 3 n - 2 \geq 1 > 0 \Rightarrow \frac{35}{3 (3 n - 2)} > 0$ $\Rightarrow \frac{2}{3} - \frac{35}{3 (3 n - 2)} < \frac{2}{3}$

Suy ra $- 11 \leq u_{n} < \frac{2}{3}, \forall n \in ℕ^{*}$ , suy ra (u_n) là dãy số bị chặn.

b) Số hạng tổng quát của (u_n) là $u_{n} = \frac{n^{2} + 3 n + 1}{n + 1}$

Nên $u_{n + 1} = \frac{{(n + 1)}^{2} + 3 (n + 1) + 1}{(n + 1) + 1} = \frac{n^{2} + 5 n + 5}{n + 2}$

$u_{n + 1} - u_{n} = \frac{n^{2} + 5 n + 5}{n + 2} - \frac{n^{2} + 3 n + 1}{n + 1}$

$= \frac{(n^{2} + 5 n + 5) (n + 1) - (n^{2} + 3 n + 1) (n + 2)}{(n + 1) (n + 2)}$

$= \frac{n^{3} + n^{2} + 5 n^{2} + 5 n + 5 n + 5 - (n^{3} + 2 n^{2} + 3 n^{2} + 6 n + n + 2)}{(n + 1) (n + 2)}$

$= \frac{n^{2} + 3 n + 3}{(n + 1) (n + 2)} > 0, \forall n \in ℕ *$

Suy ra u_n+1 > u_n, ∀n ∈ ℕ^*. Suy ra (u_n) là dãy số tăng.

Mặt khác, ta có $u_{n} > \frac{n^{2} + 2 n + 1}{n + 1} = n + 1 \geq 2, \forall n \in ℕ^{*}$ . Suy ra (u_n) là dãy số bị chặn dưới.

c) Số hạng tổng quát của (u_n) là $u_{n} = \frac{1}{\sqrt{1 + n + n^{2}}}$

Nên $u_{n + 1} = \frac{1}{\sqrt{1 + (n + 1) + {(n + 1)}^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{n^{2} + 3 n + 3}}$

Ta có u_n > 0, ∀n ∈ ℕ^* nên $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{\frac{1}{\sqrt{n^{2} + 3 n + 3}}}{\frac{1}{\sqrt{n^{2} + n + 1}}} = \sqrt{\frac{n^{2} + n + 1}{n^{2} + 3 n + 3}} < 1, \forall n \in ℕ^{*} .$

Suy ra u_n+1 < u_n, ∀n ∈ ℕ^*. Suy ra (u_n) là dãy số giảm.

Mặt khác, ta có $n \geq 1; n^{2} \geq 1 \Rightarrow 1 + n + n^{2} \geq 3 \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{1 + n + n^{2}}} \leq \frac{1}{\sqrt{3}}$ $0 < u_{n} \leq \frac{1}{\sqrt{3}}, \forall n \in ℕ^{*}$ . Suy ra (u_n) là dãy số bị chặn.

Bài 6 trang 58 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm của các dãy số (u_n) cho bởi số hạng tổng quát u_n sau:

a) $u_{n} = n - \sqrt{n^{2} - 1};$

b) $u_{n} = \frac{n + {(- 1)}^{n}}{n^{2}};$

c) $u_{n} = \frac{3^{n} - 1}{2^{n}} .$

Lời giải:

a) Ta có: $u_{n + 1} - u_{n} = [(n + 1) - \sqrt{{(n + 1)}^{2} - 1}] - (n + \sqrt{n^{2} - 1})$

$= 1 - \sqrt{{(n + 1)}^{2} - 1} - \sqrt{n^{2} - 1} < 0, \forall n \in ℕ^{*}$

Suy ra $(u_{n})$ là dãy số giảm.

b) Xét $u_{n} = \frac{n + {(- 1)}^{n}}{n^{2}},$ ta có: $u_{1} = 0; u_{2} = \frac{3}{4}; u_{3} = \frac{2}{9}$ ,suy ra $\{\begin{cases} u_{2} > u_{1} \\ u_{3} < u_{2} \end{cases}$ .

Do đó, (u_n) là dãy số không tăng, không giảm.

c) Ta có

$u_{n + 1} - u_{n} = \frac{3^{n + 1} - 1}{2^{n + 1}} - \frac{3^{n} - 1}{2^{n}} = \frac{{3.3}^{n} - 1}{2^{n + 1}} - \frac{{2.3}^{n} - 2}{2^{n + 1}} = \frac{3^{n} + 1}{2^{n + 1}} > 0, \forall n \in ℕ^{*}$

Do đó, (u_n) là dãy số tăng.

Bài 7 trang 58 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un) với $u_{n} = 1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \dots + \frac{1}{n^{2}} .$

Lời giải:

Ta có: $u_{n} = 1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \dots + \frac{1}{n^{2}};$ $u_{n + 1} = 1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \dots + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{{(n + 1)}^{2}}$