SBT Toán 8 Bài Ôn tập chương 3: Phương trình bậc nhất một ẩn

SBT Toán 8 Bài Ôn tập chương 3: Phương trình bậc nhất một ẩn | Giải SBT Toán lớp 8

Nghiêm Thị Ngà Ngày: 20-05-2022 Lớp 8

429

Toptailieu.vn giới thiệu Giải sách bài tập Toán lớp 8 Bài Ôn tập chương 3: Phương trình bậc nhất một ẩn chi tiết giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 8. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 8 Bài Ôn tập chương 3: Phương trình bậc nhất một ẩn

Bài 62 Trang 16 SBT Toán 8 Tập 2: Cho hai biểu thức $A = \frac{5}{2 m + 1}$ và $B = \frac{4}{2 m - 1}$

Hãy tìm các giá trị của m để hai biểu thức ấy có giá trị thỏa mãn hệ thức

a) $2 A + 3 B = 0;$

b) $A B = A + B .$

Phương pháp giải:

*) Thay $A; B$ vào các biểu thức đã cho rồi giải các phương trình chứa ẩn ở mẫu để tìm $m .$

*) Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.

Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.

Bước 4: Kết luận.

Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định chính là các nghiệm của phương trình đã cho.

Lời giải:

a) Ta có: $A = \frac{5}{2 m + 1}$ và $B = \frac{4}{2 m - 1}$ ĐKXĐ: $m \neq \pm \frac{1}{2}$

Khi đó:

$\begin{aligned} 2 A + 3 B = 0 \\ \Leftrightarrow 2. \frac{5}{2 m + 1} + 3. \frac{4}{2 m - 1} = 0 \\ \Leftrightarrow \frac{10}{2 m + 1} + \frac{12}{2 m - 1} = 0 \end{aligned}$

$\Leftrightarrow \frac{10 (2 m - 1)}{(2 m + 1) (2 m - 1)}$ $+ \frac{12 (2 m + 1)}{(2 m + 1) (2 m - 1)} = 0$

$\begin{aligned} \Rightarrow 10 (2 m - 1) + 12 (2 m + 1) = 0 \\ \Leftrightarrow 20 m - 10 + 24 m + 12 = 0 \\ \Leftrightarrow 44 m + 2 = 0 \\ \Leftrightarrow 44 m = - 2 \end{aligned}$

$\Leftrightarrow m = - \frac{1}{22}$ (thỏa mãn)

Vậy $m = - \frac{1}{22}$ thì $2 A + 3 B = 0.$

b) Ta có: $A = \frac{5}{2 m + 1}$ và $B = \frac{4}{2 m - 1}$ ĐKXĐ: $m \neq \pm \frac{1}{2}$

Khi đó:

$A . B = A + B$

$\Leftrightarrow \frac{5}{2 m + 1} . \frac{4}{2 m - 1} = \frac{5}{2 m + 1}$ $+ \frac{4}{2 m - 1}$

$\Leftrightarrow \frac{20}{(2 m + 1) (2 m - 1)}$ $= \frac{5 (2 m - 1)}{(2 m + 1) (2 m - 1)}$ $+ \frac{4 (2 m + 1)}{(2 m + 1) (2 m - 1)}$

$\begin{aligned} \Rightarrow 20 = 5 (2 m - 1) + 4 (2 m + 1) \\ \Leftrightarrow 20 = 10 m - 5 + 8 m + 4 \\ \Leftrightarrow 18 m = 21 \end{aligned}$

$\Leftrightarrow m = \frac{7}{6}$ (thỏa mãn)

Vậy $m = \frac{7}{6}$ thì $A . B = A + B .$

Bài 63 Trang 16 SBT Toán 8 Tập 2: Tính gần đúng nghiệm của các phương trình sau, làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai (dùng máy tính bỏ túi để tính toán)

a) $(x \sqrt{13} + \sqrt{5}) (\sqrt{7} - x \sqrt{3}) = 0$

b) $(x \sqrt{2, 7} - 1, 54) (\sqrt{1, 02} + x \sqrt{3, 1})$ $= 0$

Phương pháp giải:

Áp dụng phương pháp giải phương trình tích :

$A (x) . B (x) = 0 \Leftrightarrow A (x) = 0$ hoặc $B (x) = 0.$

Lời giải:

a) $(x \sqrt{13} + \sqrt{5}) (\sqrt{7} - x \sqrt{3}) = 0$

$\Leftrightarrow x \sqrt{13} + \sqrt{5} = 0$ hoặc $\sqrt{7} - x \sqrt{3} = 0$

+) Với $x \sqrt{13} + \sqrt{5} = 0$ $\Leftrightarrow x \sqrt{13} = - \sqrt{5}$ $\Leftrightarrow x = - \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{13}} \approx - 0, 62$

+) Với $\sqrt{7} - x \sqrt{3} = 0$ $\Leftrightarrow x \sqrt{3} = \sqrt{7}$ $\Leftrightarrow x = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}} \approx 1, 53$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S = {- 0, 62; 1, 53} .$

b) $(x \sqrt{2, 7} - 1, 54) (\sqrt{1, 02} + x \sqrt{3, 1})$ $= 0$

$\Leftrightarrow x \sqrt{2, 7} - 1, 54 = 0$ hoặc $\sqrt{1, 02} + x \sqrt{3, 1} = 0$

+) Với $x \sqrt{2, 7} - 1, 54 = 0$ $\Leftrightarrow x \sqrt{2, 7} = 1, 54$ $\Leftrightarrow x = \frac{1, 54}{\sqrt{2, 7}} \approx 0, 94$

+) Với $\sqrt{1, 02} + x \sqrt{3, 1} = 0$ $\Leftrightarrow x \sqrt{3, 1} = - \sqrt{1, 02}$ $\Leftrightarrow x = - \frac{\sqrt{1, 02}}{\sqrt{3, 1}} \approx - 0, 57$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S = {- 0, 57; 0, 94} .$

Bài 64 Trang 16 SBT Toán 8 Tập 2: Giải các phương trình sau:

a) $\frac{9 x - 0, 7}{4} - \frac{5 x - 1, 5}{7} = \frac{7 x - 1, 1}{3}$ $- \frac{5 (0, 4 - 2 x)}{6}$

b) $\frac{3 x - 1}{x - 1} - \frac{2 x + 5}{x + 3}$ $= 1 - \frac{4}{(x - 1) (x + 3)}$

c) $\frac{3}{4 (x - 5)} + \frac{15}{50 - 2 x^{2}} = - \frac{7}{6 (x + 5)}$

d) $\frac{8 x^{2}}{3 (1 - 4 x^{2})} = \frac{2 x}{6 x - 3} - \frac{1 + 8 x}{4 + 8 x}$

Phương pháp giải:

*) Để giải các phương trình đưa được về $a x + b = 0$ ta thường biến đổi phương trình như sau :

+ Quy đồng mẫu hai vế phương trình và khử mẫu.

+ Thực hiện phép tính để bỏ dấu ngoặc và chuyển vế các hạng tử để đưa phương trình về dạng $a x + b = 0$ hoặc $a x = - b$ .

+ Tìm nghiệm của phương trình dạng $a x + b = 0$ .

Lời giải:

a) $\frac{9 x - 0, 7}{4} - \frac{5 x - 1, 5}{7} = \frac{7 x - 1, 1}{3}$ $- \frac{5 (0, 4 - 2 x)}{6}$

$\Leftrightarrow \frac{21 (9 x - 0, 7)}{84} - \frac{12 (5 x - 1, 5)}{84}$ $= \frac{28 (7 x - 1, 1)}{84} - \frac{70 (0, 4 - 2 x)}{84}$

$\Leftrightarrow 21 (9 x - 0, 7) - 12 (5 x - 1, 5)$ $= 28 (7 x - 1, 1) - 70 (0, 4 - 2 x)$

$\Leftrightarrow 189 x - 14, 7 - 60 x + 18$ $= 196 x - 30, 8 - 28 + 140 x$

$\Leftrightarrow 189 x - 60 x - 196 x - 140 x$ $= - 30, 8 - 28 + 14, 7 - 18$

$\Leftrightarrow - 207 x = - 62, 1 \Leftrightarrow x = 0, 3$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S = {0, 3} .$

b) $\frac{3 x - 1}{x - 1} - \frac{2 x + 5}{x + 3}$ $= 1 - \frac{4}{(x - 1) (x + 3)}$ ĐKXĐ: $x \neq 1$ và $x \neq - 3$

$\Leftrightarrow \frac{(3 x - 1) (x + 3)}{(x - 1) (x + 3)}$ $- \frac{(2 x + 5) (x - 1)}{(x - 1) (x + 3)}$ $= \frac{(x - 1) (x + 3)}{(x - 1) (x + 3)}$ $- \frac{4}{(x - 1) (x + 3)}$

$\Rightarrow (3 x - 1) (x + 3) - (2 x + 5) (x - 1)$ $= (x - 1) (x + 3) - 4$

$\Leftrightarrow 3 x^{2} + 9 x - x - 3 - 2 x^{2} + 2 x - 5 x$ $+ 5 = x^{2} + 3 x - x - 3 - 4$

$\Leftrightarrow 3 x^{2} - 2 x^{2} - x^{2} + 9 x - x + 2 x$ $- 5 x - 3 x + x = - 3 - 4 + 3 - 5$

$\Leftrightarrow 3 x = - 9$

$\Leftrightarrow x = - 3$ (loại)

Vậy phương trình vô nghiệm.

c) $\frac{3}{4 (x - 5)} + \frac{15}{50 - 2 x^{2}} = - \frac{7}{6 (x + 5)}$ ĐKXĐ: $x \neq \pm 5$

$\Leftrightarrow \frac{3}{4 (x - 5)} + \frac{15}{2 (25 - x^{2})}$ $= - \frac{7}{6 (x + 5)}$

$\Leftrightarrow \frac{3}{4 (x - 5)} - \frac{15}{2 (x + 5) (x - 5)}$ $= - \frac{7}{6 (x + 5)}$

$\Leftrightarrow \frac{9 (x + 5)}{12 (x + 5) (x - 5)}$ $- \frac{90}{12 (x + 5) (x - 5)}$ $= - \frac{14 (x - 5)}{12 (x + 5) (x - 5)}$

$\Rightarrow 9 (x + 5) - 90 = - 14 (x - 5)$

$\Leftrightarrow 9 x + 45 - 90 = - 14 x + 70$

$\Leftrightarrow 9 x + 14 x = 70 - 45 + 90$

$\Leftrightarrow 23 x = 115$

$\Leftrightarrow x = 5$ (loại)

Vậy phương trình vô nghiệm.

d) $\frac{8 x^{2}}{3 (1 - 4 x^{2})} = \frac{2 x}{6 x - 3} - \frac{1 + 8 x}{4 + 8 x}$ ĐKXĐ: $x \neq \pm \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{8 x^{2}}{3 (1 - 2 x) (1 + 2 x)} = \frac{- 2 x}{3 (1 - 2 x)}$ $- \frac{1 + 8 x}{4 (1 + 2 x)}$

$\Leftrightarrow \frac{32 x^{2}}{12 (1 - 2 x) (1 + 2 x)}$ $= \frac{- 8 x (1 + 2 x)}{12 (1 - 2 x) (1 + 2 x)}$ $- \frac{3 (1 + 8 x) (1 - 2 x)}{12 (1 - 2 x) (1 + 2 x)}$

$\Rightarrow 32 x^{2} = - 8 x (1 + 2 x)$ $- 3 (1 - 2 x + 8 x - 16 x^{2})$

$\Leftrightarrow 32 x^{2} = - 8 x - 16 x^{2} - 3 - 18 x$ $+ 48 x^{2}$

$\Leftrightarrow 32 x^{2} + 16 x^{2} - 48 x^{2} + 18 x + 8 x$ $= - 3$

$\Leftrightarrow 26 x = - 3$

$\Leftrightarrow x = - \frac{3}{26}$ (thỏa mãn)

Vậy phương trình có tập nghiệm $S = {- \frac{3}{26}} .$

Bài 65 Trang 16 SBT Toán 8 Tập 2: Cho phương trình (ẩn $x$ ): $4 x^{2} - 25 + k^{2} + 4 k x = 0$

a) Giải phương trình với $k = 0.$

b) Giải phương trình với $k = - 3.$

c) Tìm các giá trị của $k$ sao cho phương trình nhận $x = - 2$ làm nghiệm.

Phương pháp giải:

- Thay giá trị của $k$ vào phương trình đã cho rồi giải phương trình đó.

- Áp dụng phương pháp giải phương trình tích :

$A (x) . B (x) = 0 \Leftrightarrow A (x) = 0$ hoặc $B (x) = 0.$

Lời giải:

a) Khi $k = 0$ ta có phương trình :

$4 x^{2} - 25 = 0$

$\Leftrightarrow (2 x + 5) (2 x - 5) = 0$

$\Leftrightarrow 2 x + 5 = 0$ hoặc $2 x - 5 = 0$

+) Với $2 x + 5 = 0 \Leftrightarrow 2 x = - 5 \Leftrightarrow x = - \frac{5}{2}$

+) Với $2 x - 5 = 0 \Leftrightarrow 2 x = 5 \Leftrightarrow x = \frac{5}{2}$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S = {- \frac{5}{2}; \frac{5}{2}} .$

b)Khi $k = - 3$ ta có phương trình :

$4 x^{2} - 25 + {(- 3)}^{2} + 4 (- 3) x = 0$

$\begin{aligned} \Leftrightarrow 4 x^{2} - 25 + 9 - 12 x = 0 \\ \Leftrightarrow 4 x^{2} - 12 x - 16 = 0 \\ \Leftrightarrow x^{2} - 3 x - 4 = 0 \\ \Leftrightarrow x^{2} - 4 x + x - 4 = 0 \\ \Leftrightarrow x (x - 4) + (x - 4) = 0 \\ \Leftrightarrow (x + 1) (x - 4) = 0 \end{aligned}$

$\Leftrightarrow x + 1 = 0$ hoặc $x - 4 = 0$

+) Với $x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1$

+) Với $x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 4$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S = {- 1; 4} .$

c) Thay $x = - 2$ vào phương trình ta được :

$\begin{aligned} 4. {(- 2)}^{2} - 25 + k^{2} + 4 k . (- 2) = 0 \\ \Leftrightarrow k^{2} - 8 k - 9 = 0 \\ \Leftrightarrow k^{2} + k - 9 k - 9 = 0 \\ \Leftrightarrow k (k + 1) - 9 (k + 1) = 0 \\ \Leftrightarrow (k + 1) (k - 9) = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{matrix} k + 1 = 0 \\ k - 9 = 0 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow [\begin{matrix} k = - 1 \\ k = 9 \end{matrix} \end{aligned}$

Vậy $k = 9$ hoặc $k = - 1$ thì $x = - 2$ là nghiệm của phương trình.

Bài 66 Trang 17 SBT Toán 8 Tập 2: Giải các phương trình sau:

a) $(x + 2) (x^{2} - 3 x + 5) = (x + 2) x^{2}$

b) $\frac{- 7 x^{2} + 4}{x^{3} + 1} = \frac{5}{x^{2} - x + 1} - \frac{1}{x + 1}$

c) $2 x^{2} - x = 3 - 6 x$

d) $\frac{x - 2}{x + 2} - \frac{3}{x - 2} = \frac{2 (x - 11)}{x^{2} - 4}$

Phương pháp giải:

- Chuyển vế phải sang vế trái và phân tích vế trái thành nhân tử.

- Áp dụng phương pháp giải phương trình tích: $A (x) . B (x) = 0 \Leftrightarrow A (x) = 0$ hoặc $B (x) = 0.$

Lời giải:

a) $(x + 2) (x^{2} - 3 x + 5) = (x + 2) x^{2}$

$\Leftrightarrow (x + 2) (x^{2} - 3 x + 5) - (x + 2) x^{2}$ $= 0$

$\begin{aligned} \Leftrightarrow (x + 2) [(x^{2} - 3 x + 5) - x^{2}] = 0 \\ \Leftrightarrow (x + 2) (x^{2} - 3 x + 5 - x^{2}) = 0 \\ \Leftrightarrow (x + 2) (5 - 3 x) = 0 \end{aligned}$

$\Leftrightarrow x + 2 = 0$ hoặc $5 - 3 x = 0$

+) Với $x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = - 2.$

+) Với $5 - 3 x = 0 \Leftrightarrow 3 x = 5 \Leftrightarrow x = \frac{5}{3} .$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S = {- 2; \frac{5}{3}} .$

b) $\frac{- 7 x^{2} + 4}{x^{3} + 1} = \frac{5}{x^{2} - x - 1} - \frac{1}{x + 1}$ ĐKXĐ: $x \neq - 1$

$\Leftrightarrow \frac{- 7 x^{2} + 4}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$ $= \frac{5}{x^{2} - x + 1} - \frac{1}{x + 1}$

$\Leftrightarrow \frac{- 7 x^{2} + 4}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$ $= \frac{5 (x + 1)}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$ $- \frac{x^{2} - x + 1}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

$\Leftrightarrow \frac{- 7 x^{2} + 4}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$ $= \frac{5 x + 5}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$ $- \frac{x^{2} - x + 1}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

$\Rightarrow - 7 x^{2} + 4 = 5 x + 5 - x^{2} + x - 1$

$\Leftrightarrow - 7 x^{2} + x^{2} - 5 x - x = 5 - 1 - 4$

$\Leftrightarrow - 6 x^{2} - 6 x = 0$

$\Leftrightarrow - 6 (x^{2} + x) = 0$

$\Leftrightarrow x^{2} + x = 0$

$\Leftrightarrow x (x + 1) = 0$

$\Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x + 1 = 0$

$\Leftrightarrow x = 0$ (thỏa mãn) hoặc $x = - 1$ (loại)

Vậy phương trình có tập nghiệm $S = {0} .$

c) $\begin{aligned} 2 x^{2} - x = 3 - 6 x \\ \Leftrightarrow 2 x^{2} - x + 6 x - 3 = 0 \\ \Leftrightarrow (2 x^{2} + 6 x) - (x + 3) = 0 \\ \Leftrightarrow 2 x (x + 3) - (x + 3) = 0 \\ \Leftrightarrow (x + 3) (2 x - 1) = 0 \end{aligned}$

$\Leftrightarrow 2 x - 1 = 0$ hoặc $x + 3 = 0$

+) Với $2 x - 1 = 0 \Leftrightarrow 2 x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$

+) Với $x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = - 3$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S = {- 3; \frac{1}{2}} .$

d) $\frac{x - 2}{x + 2} - \frac{3}{x - 2} = \frac{2 (x - 11)}{x^{2} - 4}$ ĐKXĐ: $x \neq \pm 2$

$\Leftrightarrow \frac{x - 2}{x + 2} - \frac{3}{x - 2} = \frac{2 x - 22}{(x + 2) (x - 2)}$

$\Leftrightarrow \frac{(x - 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{3 (x + 2)}{(x + 2) (x - 2)}$ $= \frac{2 x - 22}{(x + 2) (x - 2)}$

$\Rightarrow (x - 2) (x - 2) - 3 (x + 2)$ $= 2 x - 22$

$\Leftrightarrow x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - 3 x - 6$ $= 2 x - 22$

$\Leftrightarrow x^{2} - 2 x - 2 x - 3 x - 2 x + 4 - 6$ $+ 22 = 0$

$\Leftrightarrow x^{2} - 9 x + 20 = 0$

$\Leftrightarrow x^{2} - 5 x - 4 x + 20 = 0$

$\Leftrightarrow x (x - 5) - 4 (x - 5) = 0$

$\Leftrightarrow (x - 4) (x - 5) = 0$

$\Leftrightarrow x - 4 = 0$ hoặc $x - 5 = 0$

+) Với $x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 4$ (thỏa mãn)

+) Với $x - 5 = 0 \Leftrightarrow x = 5$ (thỏa mãn)

Vậy phương trình có tập nghiệm $S = {4; 5} .$

Bài 67 Trang 17 SBT Toán 8 Tập 2: Số nhà của Khanh là một số tự nhiên có hai chữ số. Nếu thêm chữ số $5$ vào bên trái số đó thì được một số kí hiệu là $A$ . Nếu thêm chữ số $5$ vào bên phải số đó thì được một số kí hiệu là $B$ . Tìm số nhà của Khanh, biết rằng $A - B = 153.$

Phương pháp giải:

B1: Gọi $x$ là số nhà bạn Khanh. Điều kiện: $10 \leq x \leq 99; x \in N .$

B2: Biểu diễn các đại lượng còn lại theo $x .$

B3: Lập phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng và giải phương trình đó.

B4: Kết luận (Kiểm tra nghiệm tìm được với điều kiện).

Lời giải:

Gọi $x$ là số nhà bạn Khanh. Điều kiện: $10 \leq x \leq 99; x \in N .$

Thêm số $5$ vào bên trái số nhà bạn Khanh ta được số $A$ : $A = \bar{5 x} = 500 + x$

Thêm số 5 vào bên phải số nhà bạn Khanh ta được số $B$ : $B = \bar{x 5} = 10 x + 5$

Vì $A - B = 153$ nên ta có phương trình :

$\begin{aligned} (500 + x) - (10 x + 5) = 153 \\ \Leftrightarrow 500 + x - 10 x - 5 = 153 \\ \Leftrightarrow - 9 x = 153 - 500 + 5 \\ \Leftrightarrow - 9 x = - 342 \end{aligned}$

$\Leftrightarrow x = 38$ ( thỏa mãn)

Vậy số nhà bạn Khanh là $38$ .

Bài 68 Trang 17 SBT Toán 8 Tập 2: Một đội thợ mỏ lập kế hoạch khai thác than, theo đó mỗi ngày phải khai thác được $50$ tấn than. Khi thực hiện, mỗi ngày đội khai thác được $57$ tấn than. Do đó, đội đã hoàn thành kế hoạch trước một ngày và vượt mức $13$ tấn than. Hỏi theo kế hoạch, đội phải khai thác bao nhiêu tấn than ?

Phương pháp giải:

B1: Gọi $x$ (tấn) là khối lượng than khai thác theo kế hoạch $(x > 0) .$

B2: Biểu diễn các đại lượng còn lại theo $x .$

B3: Lập phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng và giải phương trình đó.

B4: Kết luận (Kiểm tra nghiệm tìm được với điều kiện).

Lời giải:

Gọi $x$ (tấn) là khối lượng than khai thác theo kế hoạch $(x > 0) .$

Thời gian dự định làm là $\frac{x}{50}$ (ngày).

Khối lượng than thực tế khai thác là $x + 13$ (tấn).

Thời gian thực tế làm là $\frac{x + 13}{57}$ (ngày).

Vì thời gian hoàn thành sớm hơn kế hoạch một ngày nên ta có phương trình:

$\begin{aligned} \frac{x}{50} - \frac{x + 13}{57} = 1 \\ \Leftrightarrow \frac{57 x}{2850} - \frac{50 (x + 13)}{2850} = \frac{2850}{2850} \\ \Leftrightarrow 57 x - 50 x - 650 = 2850 \\ \Leftrightarrow 7 x = 2850 + 650 \\ \Leftrightarrow 7 x = 3500 \end{aligned}$

$\Leftrightarrow x = 500$ (thỏa mãn)

Vậy theo kế hoạch, đội phải khai thác $500$ tấn than.

Bài 69 Trang 17 SBT Toán 8 Tập 2: Hai xe ô tô cùng khởi hành từ Lạng Sơn về Hà Nội, quãng đường dài $163 k m$ . Trong $43 k m$ đầu, hai xe có cùng vận tốc. Nhưng sau đó chiếc xe thứ nhất tăng vận tốc lên gấp $1, 2$ lần vận tốc ban đầu, trong khi chiếc xe thứ hai vẫn duy trì vận tốc cũ. Do đó xe thứ nhất đã đến Hà Nội sớm hơn xe thứ hai $40$ phút. Tính vận tốc ban đầu của hai xe.

Phương pháp giải:

B1: Gọi $x (k m / h)$ là vận tốc ban đầu của hai xe $(x > 0) .$

B2: Biểu diễn các đại lượng còn lại theo $x .$

B3: Lập phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng và giải phương trình đó.

B4: Kết luận (Kiểm tra nghiệm tìm được với điều kiện).

Lời giải:

Gọi $x (k m / h)$ là vận tốc ban đầu của hai xe $(x > 0) .$

Quãng đường còn lại sau khi xe thứ nhất tăng vận tốc là :

$163 - 43 = 120 (k m)$

Vận tốc xe thứ nhất sau khi tăng tốc là $1, 2 x (k m / h) .$

Thời gian xe thứ nhất đi hết quãng đường còn lại là $\frac{120}{1, 2 x}$ (giờ).

Thời gian xe thứ hai đi hết quãng đường còn lại là $\frac{120}{x}$ (giờ).

Vì xe thứ nhất đến sớm hơn xe thứ hai $40$ phút hay $\frac{2}{3}$ giờ nên ta có phương trình:

$\begin{aligned} \frac{120}{x} - \frac{120}{1, 2 x} = \frac{2}{3} \\ \Leftrightarrow \frac{120}{x} - \frac{100}{x} = \frac{2}{3} \\ \Leftrightarrow \frac{360}{3 x} - \frac{300}{3 x} = \frac{2 x}{3 x} \\ \Rightarrow 360 - 300 = 2 x \\ \Leftrightarrow 2 x = 60 \end{aligned}$

$\Leftrightarrow x = 30$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy vận tốc ban đầu của hai xe là $30 k m / h .$

Bài 70 Trang 17 SBT Toán 8 Tập 2: Một đoàn tàu hỏa từ Hà Nội đi Thành phố Hồ Chí Minh. $1$ giờ $48$ phút sau, một đoàn tàu hỏa khác khởi hành từ Nam Định cũng đi Thành phố Hồ Chí Minh với vận tốc nhỏ hơn vận tốc của đoàn tàu thứ nhất là $5 k m / h$ . Hai đoàn tàu gặp nhau ( tại một ga nào đó) sau $4$ giờ $48$ phút kể từ khi đoàn tàu thứ nhất khởi hành. Tính vận tốc mỗi đoàn tàu, biết rằng ga Nam Định nằm trên đường từ Hà Nội đi Thành phố Hồ Chí Minh và cách ga Hà Nội $87 k m$ .

Phương pháp giải:

B1: Gọi $x (k m / h)$ là vận tốc của đoàn tàu thứ hai $(x > 0) .$

B2: Biểu diễn các đại lượng còn lại theo $x .$

B3: Lập phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng và giải phương trình đó.

B4: Kết luận (Kiểm tra nghiệm tìm được với điều kiện).

Lời giải:

Gọi $x (k m / h)$ là vận tốc của đoàn tàu thứ hai $(x > 0) .$

Vận tốc của đoàn tàu thứ nhất là $x + 5 (k m / h) .$

Khi gặp nhau thì đoàn tàu thứ nhất đi được $4$ giờ $48$ phút.

Vì đoàn tàu thứ hai đi sau $1$ giờ $48$ phút nên khi gặp nhau đoàn tàu thứ hai đi được:

$4$ giờ $48$ phút $- (1$ giờ $48$ phút) $= 3$ giờ.

Đổi $4$ giờ $48$ phút $= 4 \frac{4}{5}$ giờ $= \frac{24}{5}$ giờ.

Quãng đường đoàn tàu thứ nhất đi được từ lúc khởi hành đến lúc hai đoàn tàu gặp nhau là $\frac{24}{5} (x + 5) (k m) .$

Quãng đường đoàn tàu thứ hai đi được từ lúc khởi hành đến lúc hai đoàn tàu gặp nhau là $3 x (k m) .$

Vì ga Nam Định cách ga Hà Nội $87 k m$ nên đến khi gặp nhau thì đoàn tàu thứ nhất đã đi quãng đường nhiều hơn đoàn tàu thứ hai là $87 k m,$ ta có phương trình :

$\begin{aligned} \frac{24}{5} (x + 5) = 3 x + 87 \\ \Leftrightarrow \frac{24}{5} x + 24 = 3 x + 87 \\ \Leftrightarrow \frac{24}{5} x - 3 x = 87 - 24 \\ \Leftrightarrow \frac{9}{5} x = 63 \end{aligned}$

$\Leftrightarrow x = 35$ (thỏa mãn)

$\Rightarrow x + 5 = 35 + 5 = 40.$

Vậy vận tốc của đoàn tàu thứ nhất là $40 k m / h$ . Vận tốc của đoàn tàu thứ hai là $35 k m / h .$

Bài 71 Trang 17 SBT Toán 8 Tập 2: Lúc $7$ giờ sáng, một chiếc ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B, cách nhau $36 k m$ , rồi ngay lập tức quay trở về và đến bến A lúc $11$ giờ $30$ phút. Tính vận tốc của ca nô khi xuôi dòng, biết rằng vận tốc nước chảy là $6 k m / h .$

Phương pháp giải:

B1: Gọi $x (k m / h)$ là vận tốc thực của ca nô $(x > 6) .$

B2: Biểu diễn các đại lượng còn lại theo $x .$

B3: Lập phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng và giải phương trình đó.

B4: Kết luận (Kiểm tra nghiệm tìm được với điều kiện).

Lời giải:

Gọi $x (k m / h)$ là vận tốc thực của ca nô $(x > 6) .$

Vận tốc của ca nô khi xuôi dòng là $x + 6 (k m / h) .$

Vận tốc của ca nô khi ngược dòng là $x - 6 (k m / h) .$

Thời gian lúc ca nô đi xuôi dòng là $\frac{36}{x + 6}$ (giờ).

Thời gian lúc ca nô đi ngược dòng là $\frac{36}{x - 6}$ (giờ).

Thời gian ca nô đi và về:

$11$ giờ $30$ phút $- 7$ giờ $= 4$ giờ $30$ phút $= 4 \frac{1}{2}$ giờ $= \frac{9}{2}$ giờ

Theo đề bài, ta có phương trình:

$\frac{36}{x + 6} + \frac{36}{x - 6} = \frac{9}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{72 (x - 6)}{2 (x + 6) (x - 6)}$ $+ \frac{72 (x + 6)}{2 (x + 6) (x - 6)}$ $= \frac{9 (x + 6) (x - 6)}{2 (x + 6) (x - 6)}$

$\Rightarrow 72 (x - 6) + 72 (x + 6)$ $= 9 (x + 6) (x - 6)$

$\Leftrightarrow 72 x - 432 + 72 x + 432$ $= 9 x^{2} - 324$

$\begin{aligned} \Leftrightarrow 9 x^{2} - 144 x - 324 = 0 \\ \Leftrightarrow x^{2} - 16 x - 36 = 0 \\ \Leftrightarrow x^{2} + 2 x - 18 x - 36 = 0 \\ \Leftrightarrow x (x + 2) - 18 (x + 2) = 0 \\ \Leftrightarrow (x + 2) (x - 18) = 0 \end{aligned}$

$\Leftrightarrow x + 2 = 0$ hoặc $x - 18 = 0$

+) Với $x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = - 2$ (loại)

+) Với $x - 18 = 0 \Leftrightarrow x = 18$ (thỏa mãn)

$\Rightarrow x + 6 = 18 + 6 = 24$

Vậy vận tốc của ca nô lúc xuôi dòng là $24 k m / h .$

Bài 3.1* Trang 18 SBT Toán 8 Tập 2: Giải các phương trình sau :

a) $\frac{13}{(2 x + 7) (x - 3)} + \frac{1}{2 x + 7} = \frac{6}{x^{2} - 9}$

b) ${(1 - \frac{2 x - 1}{x + 1})}^{3} + 6 {(1 - \frac{2 x - 1}{x + 1})}^{2}$ $= \frac{12 (2 x - 1)}{x + 1} - 20$

Phương pháp giải:

a) Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.

Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.

Bước 4: Kết luận.

Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định chính là các nghiệm của phương trình đã cho.

b) Đặt $y = 1 - \frac{2 x - 1}{x + 1}$ rồi giải phương trình tìm được.

Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.

Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.

Bước 4: Kết luận.

Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định chính là các nghiệm của phương trình đã cho.

Lời giải:

a) ĐKXĐ: $x \neq - \frac{7}{2}$ và $x \neq \pm 3$ .

$\frac{13}{(2 x + 7) (x - 3)} + \frac{1}{2 x + 7} = \frac{6}{x^{2} - 9}$

$\Leftrightarrow \frac{13}{(2 x + 7) (x - 3)} + \frac{1}{2 x + 7}$ $= \frac{6}{(x - 3) (x + 3)}$

$\Leftrightarrow \frac{13 (x + 3)}{(2 x + 7) (x - 3) (x + 3)}$ $+ \frac{(x + 3) (x - 3)}{(2 x + 7) (x - 3) (x + 3)}$ $= \frac{6 (2 x + 7)}{(2 x + 7) (x - 3) (x + 3)}$

$\Rightarrow 13 (x + 3) + (x + 3) (x - 3)$ $= 6 (2 x + 7)$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 13 x + 39 + x^{2} - 9 = 12 x + 42 \\ \Leftrightarrow 13 x + 39 + x^{2} - 9 - 12 x - 42 = 0 \end{array}$

$\begin{aligned} \Leftrightarrow x^{2} + x - 12 = 0 \\ \Leftrightarrow x^{2} + 4 x - 3 x - 12 = 0 \\ \Leftrightarrow x (x + 4) - 3 (x + 4) = 0 \\ \Leftrightarrow (x + 4) (x - 3) = 0 \end{aligned}$

$\Leftrightarrow x + 4 = 0$ hoặc $x - 3 = 0$

$\Leftrightarrow x = - 4$ (thỏa mãn) hoặc $x = 3$ (loại)

Vậy phương trình có tập nghiệm $S = {- 4} .$

b) Đặt $y = 1 - \frac{2 x - 1}{x + 1}$

Suy ra $\frac{2 x - 1}{x + 1} = 1 - y$

Nên $\frac{12 (2 x - 1)}{x + 1} - 20$ $= 12. \frac{2 x - 1}{x + 1} - 20$ $= - 12 (1 - y) - 20$ $= - 12 y - 8$

Do đó, phương trình đã cho có dạng $y^{3} + 6 y^{2} = - 12 y - 8$

$\begin{aligned} \Leftrightarrow y^{3} + 6 y^{2} + 12 y + 8 = 0 \\ \Leftrightarrow y^{3} + 3 y^{2} .2 + 3 y {.2}^{2} + 2^{3} = 0 \\ \Leftrightarrow {(y + 2)}^{3} = 0 \\ \Leftrightarrow y + 2 = 0 \\ \Leftrightarrow y = - 2 \end{aligned}$

Thay lại cách đặt, ta có:

$y = - 2 \Rightarrow 1 - \frac{2 x - 1}{x + 1} = - 2$

$\Leftrightarrow \frac{2 x - 1}{x + 1} = 3$ ĐKXĐ: $x \neq - 1$

$\begin{aligned} \Rightarrow 2 x - 1 = 3 (x + 1) \\ \Leftrightarrow 2 x - 1 = 3 x + 3 \\ \Leftrightarrow 2 x - 3 x = 3 + 1 \\ \Leftrightarrow - x = 4 \Leftrightarrow x = - 4 \end{aligned}$

Giá trị $x = - 4$ thỏa mãn ĐKXĐ.

Vậy phương trình có tập nghiệm $S = {- 4} .$

Bài 3.2* Trang 18 SBT Toán 8 Tập 2: a) Cho ba số $a, b$ và $c$ đôi một phân biệt. Giải phương trình

$\frac{x}{(a - b) (a - c)} + \frac{x}{(b - a) (b - c)}$ $+ \frac{x}{(c - a) (c - b)} = 2$

b) Cho số $a$ và ba số $b, c, d$ khác $a$ và thỏa mãn điều kiện $c + d = 2 b$ . Giải phương trình

$\frac{x}{(a - b) (a - c)} - \frac{2 x}{(a - b) (a - d)}$ $+ \frac{3 x}{(a - c) (a - d)}$ $= \frac{4 a}{(a - c) (a - d)}$

Phương pháp giải:

Để giải các phương trình đưa được về $a x + b = 0$ ta thường biến đổi phương trình như sau :

+ Quy đồng mẫu hai vế phương trình và khử mẫu.

+ Thực hiện phép tính để bỏ dấu ngoặc và chuyển vế các hạng tử để đưa phương trình về dạng $a x + b = 0$ hoặc $a x = - b$ .

+ Tìm nghiệm của phương trình dạng $a x + b = 0$ .

Lời giải:

a) Do $a, b, c$ đôi một khác nhau nên $(a - b) (b - c) (c - a) \neq 0$

Ta có:

$\frac{x}{(a - b) (a - c)} + \frac{x}{(b - a) (b - c)}$ $+ \frac{x}{(c - a) (c - b)} = 2$

$\Leftrightarrow \frac{x (c - b) + x (a - c) + x (b - a)}{(a - b) (b - c) (c - a)}$ $= 2$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{x (c - b + a - c + b - a)}{(a - b) (b - c) (c - a)} = 2 \\ \Leftrightarrow \frac{x .0}{(a - b) (b - c) (c - a)} = 2 \\ \Leftrightarrow 0 = 2 (v ô l ý) \end{array}$

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

b) $\frac{x}{(a - b) (a - c)} - \frac{2 x}{(a - b) (a - d)}$ $+ \frac{3 x}{(a - c) (a - d)}$ $= \frac{4 a}{(a - c) (a - d)}$

$\Leftrightarrow \frac{x (a - d) - 2 x (a - c) + 3 x (a - b)}{(a - b) (a - c) (a - d)}$ $= \frac{4 a (a - b)}{(a - b) (a - c) (a - d)}$

$\Leftrightarrow \frac{x (a - d - 2 a + 2 c + 3 a - 3 b)}{(a - b) (a - c) (a - d)}$ $= \frac{4 a (a - b)}{(a - b) (a - c) (a - d)}$

$\Rightarrow x (a - d - 2 a + 2 c + 3 a - 3 b)$ $= 4 a (a - b)$

$\Leftrightarrow x (2 a - 3 b + 2 c - d) = 4 a (a - b) (*)$

Theo giả thiết, $b + d = 2 c$ nên $b = 2 c - d$

Do đó $2 a - 3 b + 2 c - d = 2 a - 3 b + b$ $= 2 a - 2 b = 2 (a - b)$ .

Từ đó phương trình (*) trở thành:

$2 (a - b) x = 4 a (a - b)$

$\Leftrightarrow x = \frac{4 a (a - b)}{2 (a - b)}$ (vì $a - b \neq 0)$

$\Leftrightarrow x = 2 a$ .

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = 2 a .$

Bài 3.3 Trang 18 SBT Toán 8 Tập 2: Cần phải thêm vào tử và mẫu của phân số $\frac{13}{18}$ với cùng một số tự nhiên nào để được phân số $\frac{4}{5}$ ?

Phương pháp giải:

B1: Gọi $x$ là số tự nhiên cần thêm vào cả tử và mẫu của phân số $\frac{13}{18}$ để được phân số $\frac{4}{5}$ $(x > 0) .$

B2: Biểu diễn các đại lượng còn lại theo $x .$

B3: Lập phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng và giải phương trình đó.

B4: Kết luận (Kiểm tra nghiệm tìm được với điều kiện).

Lời giải:

Gọi $x$ là số tự nhiên cần thêm vào cả tử và mẫu của phân số $\frac{13}{18}$ để được phân số $\frac{4}{5}$ $(x > 0) .$

Theo giả thiết ta có phương trình

$\frac{13 + x}{18 + x} = \frac{4}{5}$

$\Rightarrow (13 + x) .5 = (18 + x) .4$

$\Leftrightarrow 65 + 5 x = 72 + 4 x$

$\Leftrightarrow 5 x - 4 x = 72 - 65$

$\Leftrightarrow x = 7$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy số tự nhiên cần tìm là $7$ .

Bài 3.4 Trang 18 SBT Toán 8 Tập 2: Cách đây $10$ năm, tuổi của người thứ nhất gấp $3$ lần tuổi của người thứ hai. Sau đây $2$ năm, tuổi của người thứ hai bằng nửa tuổi của người thứ nhất. Hỏi hiện nay, tuổi của mỗi người là bao nhiêu ?

Phương pháp giải:

B1: Gọi tuổi hiện nay của người thứ hai là $x$ ( $x$ nguyên dương).

B2: Biểu diễn các đại lượng còn lại theo $x .$

B3: Lập phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng và giải phương trình đó.

B4: Kết luận (Kiểm tra nghiệm tìm được với điều kiện).

Ta lập bảng:

	Tuổi của người thứ nhất	Tuổi của người thứ hai
Cách đây $10$ năm	$3 (x - 10)$	$x - 10$
Hiện nay	$3 (x - 10) + 10$ $= 2 (x + 2) - 2$	$x$
Sau đây $2$ năm	$2 (x + 2)$	$x + 2$