a) ${\displaystyle \frac{1-x}{x+1}+3=\frac{2x+3}{x+1}}$

b) ${\displaystyle \frac{{\left(x+2\right)}^2}{2x-3}-1=\frac{x^2+10}{2x-3}}$

c)${\displaystyle \frac{5x-2}{2-2x}+\frac{2x-1}{2}=1-\frac{x^2+x-3}{1-x}}$

d) ${\displaystyle \frac{5-2x}{3}+\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{3x-1}}$ ${\displaystyle =\frac{\left(x+2\right)\left(1-3x\right)}{9x-3}}$

Phương pháp giải:

Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.

Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.

Bước 4: Kết luận.

Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định chính là các nghiệm của phương trình đã cho.

Lời giải:

a) ${\displaystyle \frac{1-x}{x+1}+3=\frac{2x+3}{x+1}}$

ĐKXĐ: ${\displaystyle x\ne -1}$

${\displaystyle \begin{array}{rl}& \iff \frac{1-x}{x+1}+\frac{3\left(x+1\right)}{x+1}=\frac{2x+3}{x+1}\\ & \Rightarrow 1-x+3\left(x+1\right)=2x+3\\ & \iff 1-x+3x+3-2x-3=0\\ & \iff 0x=-1\end{array}}$

Phương trình vô nghiệm.

b) ${\displaystyle \frac{{\left(x+2\right)}^2}{2x-3}-1=\frac{x^2+10}{2x-3}}$            ĐKXĐ: ${\displaystyle x\ne \frac{3}{2}}$

${\displaystyle \iff \frac{{\left(x+2\right)}^2}{2x-3}-\frac{2x-3}{2x-3}=\frac{x^2+10}{2x-3}}$

${\displaystyle \Rightarrow {\left(x+2\right)}^2-\left(2x-3\right)=x^2+10}$

${\displaystyle \iff x^2+4x+4-2x+3-x^2-10=0}$

${\displaystyle \iff 2x=3}$

${\displaystyle \iff x=\frac{3}{2}}$ (loại)

Phương trình vô nghiệm.

c)${\displaystyle \frac{5x-2}{2-2x}+\frac{2x-1}{2}=1-\frac{x^2+x-3}{1-x}}$                ĐKXĐ:  ${\displaystyle x\ne 1}$

${\displaystyle \iff \frac{5x-2}{2\left(1-x\right)}+\frac{\left(2x-1\right)\left(1-x\right)}{2\left(1-x\right)}}$ ${\displaystyle =\frac{2\left(1-x\right)}{2\left(1-x\right)}-\frac{2\left(x^2+x-3\right)}{2\left(1-x\right)}}$

${\displaystyle \Rightarrow 5x-2+\left(2x-1\right)\left(1-x\right)}$ ${\displaystyle =2\left(1-x\right)-2\left(x^2+x-3\right)}$

${\displaystyle \iff 5x-2+2x-2x^2-1+x}$ ${\displaystyle =2-2x-2x^2-2x+6}$

${\displaystyle \iff 5x+2x+x+2x+2x-2x^2+2x^2}$${\displaystyle =2+6+2+1}$

${\displaystyle \iff 12x=11}$ ${\displaystyle \iff x=\frac{11}{12}}$ (thỏa mãn)

 Vậy phương trình có tập nghiệm ${\displaystyle S=\left\{{\displaystyle \frac{11}{12}}\right\}.}$   

d)  ${\displaystyle \frac{5-2x}{3}+\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{3x-1}}$ ${\displaystyle =\frac{\left(x+2\right)\left(1-3x\right)}{9x-3}}$

ĐKXĐ: ${\displaystyle x\ne \frac{1}{3}}$

${\displaystyle \iff \frac{\left(5-2x\right)\left(3x-1\right)}{3\left(3x-1\right)}}$ ${\displaystyle +\frac{3\left(x+1\right)\left(x-1\right)}{3\left(3x-1\right)}}$ ${\displaystyle =\frac{\left(x+2\right)\left(1-3x\right)}{3\left(3x-1\right)}}$

${\displaystyle \Rightarrow \left(5-2x\right)\left(3x-1\right)}$ ${\displaystyle +3\left(x+1\right)\left(x-1\right)}$ ${\displaystyle =\left(x+2\right)\left(1-3x\right)}$

${\displaystyle \iff 15x-5-6x^2+2x+3x^2-3}$ ${\displaystyle =x-3x^2+2-6x}$

${\displaystyle \iff -6x^2+3x^2+3x^2+15x+2x}$ ${\displaystyle -x+6x=2+5+3}$

${\displaystyle \iff 22x=10}$ ${\displaystyle \iff x=\frac{5}{11}}$ (thỏa mãn)

 Vậy phương trình có tập nghiệm ${\displaystyle S=\left\{{\displaystyle \frac{5}{11}}\right\}.}$ 

a) ${\displaystyle \frac{1-6x}{x-2}+\frac{9x+4}{x+2}}$${\displaystyle =\frac{x\left(3x-2\right)+1}{x^2-4}}$

b)${\displaystyle 1+\frac{x}{3-x}}$${\displaystyle =\frac{5x}{\left(x+2\right)\left(3-x\right)}+\frac{2}{x+2}}$

c) ${\displaystyle \frac{2}{x-1}+\frac{2x+3}{x^2+x+1}}$ ${\displaystyle =\frac{\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}{x^3-1}}$

d) ${\displaystyle \frac{x^3-{\left(x-1\right)}^3}{\left(4x+3\right)\left(x-5\right)}=\frac{7x-1}{4x+3}-\frac{x}{x-5}}$

Phương pháp giải:

Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.

Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.

Bước 4: Kết luận.

Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định chính là các nghiệm của phương trình đã cho.

Lời giải:

a) ${\displaystyle \frac{1-6x}{x-2}+\frac{9x+4}{x+2}=\frac{x\left(3x-2\right)+1}{x^2-4}}$

ĐKXĐ: ${\displaystyle x\ne \pm 2}$

${\displaystyle \iff \frac{\left(1-6x\right)\left(x+2\right)}{x^2-4}}$ ${\displaystyle +\frac{\left(9x+4\right)\left(x-2\right)}{x^2-4}}$ ${\displaystyle =\frac{x\left(3x-2\right)+1}{x^2-4}}$

${\displaystyle \Rightarrow \left(1-6x\right)\left(x+2\right)+\left(9x+4\right)\left(x-2\right)}$ ${\displaystyle =x\left(3x-2\right)+1}$

${\displaystyle \iff x+2-6x^2-12x+9x^2-18x}$ ${\displaystyle +4x-8=3x^2-2x+1}$

${\displaystyle \iff -6x^2+9x^2-3x^2+x-12x}$ ${\displaystyle -18x+4x+2x=1-2+8}$

${\displaystyle \iff -23x=7\iff x=\frac{-7}{23}}$ (thỏa mãn) 

 Vậy phương trình có tập nghiệm ${\displaystyle S=\left\{{\displaystyle \frac{-7}{23}}\right\}.}$   

b) ${\displaystyle 1+\frac{x}{3-x}=\frac{5x}{\left(x+2\right)\left(3-x\right)}+\frac{2}{x+2}}$

ĐKXĐ: ${\displaystyle x\ne 3}$và ${\displaystyle x=-2}$

${\displaystyle \iff \frac{\left(x+2\right)\left(3-x\right)}{\left(x+2\right)\left(3-x\right)}+\frac{x\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)\left(3-x\right)}}$ ${\displaystyle =\frac{5x}{\left(x+2\right)\left(3-x\right)}+\frac{2\left(3-x\right)}{\left(x+2\right)\left(3-x\right)}}$

${\displaystyle \Rightarrow \left(x+2\right)\left(3-x\right)+x\left(x+2\right)}$ ${\displaystyle =5x+2\left(3-x\right)}$ 

${\displaystyle \iff 3x-x^2+6-2x+x^2+2x}$ ${\displaystyle =5x+6-2x}$ 

${\displaystyle \iff x^2-x^2+3x-2x+2x-5x+2x}$ ${\displaystyle =6-6}$ 

${\displaystyle \iff 0x=0}$

Phương trình đã cho có nghiệm đúng với mọi giá trị của $x$ thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy phương trình có có tập nghiệm ${\displaystyle S=\left\{x\in R|x\ne 3;x\ne -2\right\}.}$

c) ${\displaystyle \frac{2}{x-1}+\frac{2x+3}{x^2+x+1}}$ ${\displaystyle =\frac{\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}{x^3-1}}$

ĐKXĐ: ${\displaystyle x\ne 1}$

${\displaystyle \iff \frac{2\left(x^2+x+1\right)}{x^3-1}+\frac{\left(2x+3\right)\left(x-1\right)}{x^3-1}}$ ${\displaystyle =\frac{\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}{x^3-1}}$ 

${\displaystyle \Rightarrow 2\left(x^2+x+1\right)+\left(2x+3\right)\left(x-1\right)}$ ${\displaystyle =\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}$ 

${\displaystyle \iff 2x^2+2x+2+2x^2-2x+3x-3}$ ${\displaystyle =4x^2-1}$ 

$\iff 2x^2+2x^2-4x^2+2x-2x+3x$ $=-1-2+3$ 

$\iff 3x=0$ $\iff x=0$ (thỏa mãn)

 Vậy phương trình có tập nghiệm ${\displaystyle S=\{0\}.}$ 

d) ${\displaystyle \frac{x^3-{\left(x-1\right)}^3}{\left(4x+3\right)\left(x-5\right)}=\frac{7x-1}{4x+3}-\frac{x}{x-5}}$

ĐKXĐ: ${\displaystyle x\ne -\frac{3}{4}}$và ${\displaystyle x\ne 5}$

${\displaystyle \iff \frac{x^3-{\left(x-1\right)}^3}{\left(4x+3\right)\left(x-5\right)}}$ ${\displaystyle =\frac{\left(7x-1\right)\left(x-5\right)}{\left(4x+3\right)\left(x-5\right)}-\frac{x\left(4x+3\right)}{\left(4x+3\right)\left(x-5\right)}}$

${\displaystyle \Rightarrow x^3-{\left(x-1\right)}^3}$ ${\displaystyle =\left(7x-1\right)\left(x-5\right)-x\left(4x+3\right)}$ 

$\iff x^3-x^3+3x^2-3x+1$ $=7x^2-35x-x+5-4x^2-3x$ 

$\iff 3x^2-7x^2+4x^2-3x+35x$ $+x+3x=5-1$ 

${\displaystyle \iff 36x=4}$ ${\displaystyle \iff x=\frac{1}{9}}$ (thỏa mãn)

 Vậy phương trình có tập nghiệm ${\displaystyle S=\left\{{\displaystyle \frac{1}{9}}\right\}.}$

a) ${\displaystyle \frac{2x+1}{x-1}}={\displaystyle \frac{5\left(x-1\right)}{x+1}}$

b)  ${\displaystyle \frac{x-3}{x-2}}+{\displaystyle \frac{x-2}{x-4}}=-1$

c) ${\displaystyle \frac{1}{x-1}}+{\displaystyle \frac{2x^2-5}{x^3-1}}={\displaystyle \frac{4}{x^2+x+1}}$

d) ${\displaystyle \frac{13}{\left(x-3\right)\left(2x+7\right)}}+{\displaystyle \frac{1}{2x+7}}$ $={\displaystyle \frac{6}{x^2-9}}$${\displaystyle \Rightarrow \left(2x+1\right)\left(x+1\right)}$

Phương pháp giải:

Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.

Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.

Bước 4: Kết luận.

Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định chính là các nghiệm của phương trình đã cho.

Lời giải:

a) ${\displaystyle \frac{2x+1}{x-1}}={\displaystyle \frac{5\left(x-1\right)}{x+1}}$

ĐKXĐ:  $x\ne \pm 1$

${\displaystyle \iff \frac{\left(2x+1\right)\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}}$ ${\displaystyle =\frac{5\left(x-1\right)\left(x-1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}}$ 

${\displaystyle =5\left(x-1\right)\left(x-1\right)}$

${\displaystyle \iff 2x^2+2x+x+1=5x^2-10x+5}$

${\displaystyle \iff 2x^2-5x^2+2x+x+10x+1-5}$ $=0$ 

${\displaystyle \iff -3x^2+13x-4=0}$ 

${\displaystyle \iff 3x^2-13x+4=0}$ 

${\displaystyle \iff 3x^2-x-12x+4=0}$ 

${\displaystyle \iff x\left(3x-1\right)-4\left(3x-1\right)=0}$ 

${\displaystyle \iff \left(3x-1\right)\left(x-4\right)=0}$

$\iff x-4=0$ hoặc $3x-1=0$

+) Với  $x-4=0\iff x=4$ (thỏa mãn)

+) Với  $3x-1=0\iff 3x=1\iff x={\displaystyle \frac{1}{3}}$ (thỏa mãn)

 Vậy phương trình có tập nghiệm ${\displaystyle S=\left\{4;{\displaystyle \frac{1}{3}}\right\}.}$

b) ${\displaystyle \frac{x-3}{x-2}}+{\displaystyle \frac{x-2}{x-4}}=-1$

ĐKXĐ: $x\ne 2$ và $x\ne 4$

${\displaystyle \iff \frac{\left(x-3\right)\left(x-4\right)}{\left(x-2\right)\left(x-4\right)}+\frac{\left(x-2\right)\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x-4\right)}}$ ${\displaystyle =-\frac{\left(x-2\right)\left(x-4\right)}{\left(x-2\right)\left(x-4\right)}}$

${\displaystyle \Rightarrow \left(x-3\right)\left(x-4\right)+\left(x-2\right)\left(x-2\right)}$ $=-\left(x-2\right)\left(x-4\right)$

$\iff x^2-4x-3x+12+x^2-2x$ $-2x+4=-x^2+4x+2x-8$

$\iff 3x^2-17x+24=0$

$\iff 3x^2-9x-8x+24=0$ $\iff 3x\left(x-3\right)-8\left(x-3\right)=0$ $\iff \left(3x-8\right)\left(x-3\right)=0$

$\iff 3x-8=0$ hoặc $x-3=0$ 

+ Với $3x-8=0\iff 3x=8$$\iff x={\displaystyle \frac{8}{3}}$ (thỏa mãn)

+ Với $x-3=0\iff x=3$ (thỏa mãn)

 Vậy phương trình có tập nghiệm ${\displaystyle S=\left\{{\displaystyle \frac{8}{3}};3\right\}.}$

c) ${\displaystyle \frac{1}{x-1}}+{\displaystyle \frac{2x^2-5}{x^3-1}}={\displaystyle \frac{4}{x^2+x+1}}$

ĐKXĐ:  $x\ne 1$

${\displaystyle \iff \frac{x^2+x+1}{x^3-1}+\frac{2x^2-5}{x^3-1}=\frac{4\left(x-1\right)}{x^3-1}}$

$\Rightarrow x^2+x+1+2x^2-5=4\left(x-1\right)$

$\iff x^2+x+1+2x^2-5=4x-4$

$\iff x^2+2x^2+x-4x=-4+5-1$ 

$\iff 3x^2-3x=0\iff 3x\left(x-1\right)=0$

$\iff x=0$ (thỏa mãn) hoặc $x-1=0\iff x=1$ (loại)

Vậy phương trình có tập nghiệm ${\displaystyle S=\left\{0\right\}.}$

d) ${\displaystyle \frac{13}{\left(x-3\right)\left(2x+7\right)}}+{\displaystyle \frac{1}{2x+7}}={\displaystyle \frac{6}{x^2-9}}$

ĐKXĐ: $x\ne \pm 3$ và $x=-{\displaystyle \frac{7}{2}}$

${\displaystyle \iff \frac{13\left(x+3\right)}{\left(x^2-9\right)\left(2x+7\right)}}$ ${\displaystyle +\frac{x^2-9}{\left(x^2-9\right)\left(2x+7\right)}}$ ${\displaystyle =\frac{6\left(2x+7\right)}{\left(x^2-9\right)\left(2x+7\right)}}$

$\Rightarrow 13\left(x+3\right)+x^2-9=6\left(2x+7\right)$

$\iff 13x+39+x^2-9=12x+42$

$\iff x^2+x-12=0$

$\iff x^2-3x+4x-12=0$

$\iff x\left(x-3\right)+4\left(x-3\right)=0$

$\iff \left(x+4\right)\left(x-3\right)=0$

$\iff x+4=0$ hoặc $x-3=0$

+ Với $x+4=0\iff x=-4$ (thỏa mãn)

+ Với $x-3=0\iff x=3$ (loại)

 Vậy phương trình có tập nghiệm ${\displaystyle S=\left\{-4\right\}.}$

${\displaystyle \frac{x+a}{a-x}+\frac{x-a}{a+x}=\frac{a\left(3a+1\right)}{a^2-x^2}}$

a) Giải phương trình với ${\displaystyle a=-3;}$

b) Giải phương trình với $a=1;$

c) Giải phương trình với $a=0;$ 

d) Tìm các giá trị của $a$ sao cho phương trình nhận ${\displaystyle x=\frac{1}{2}}$ làm nghiệm.

Phương pháp giải:

- Thay giá trị của $a$ vào phương trình đã cho rồi giải phương trình ẩn $x$ để tìm $x$.

*) Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu 

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.

Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.

Bước 4: Kết luận.

Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định chính là các nghiệm của phương trình đã cho.

Lời giải:

a) Khi $a=-3$, ta có phương trình:

${\displaystyle \frac{x-3}{-3-x}+\frac{x+3}{-3+x}=\frac{-3\left[3\left(-3\right)+1\right]}{{\left(-3\right)}^2-x^2}}$

ĐKXĐ: ${\displaystyle x\ne \pm 3}$

${\displaystyle \begin{array}{rl}& \iff \frac{3-x}{x+3}+\frac{x+3}{x-3}=\frac{24}{9-x^2}\\ & \iff \frac{3-x}{x+3}+\frac{x+3}{x-3}=\frac{-24}{x^2-9}\end{array}}$

${\displaystyle \iff \frac{\left(3-x\right)\left(x-3\right)}{x^2-9}+\frac{\left(x+3\right)\left(x+3\right)}{x^2-9}}$ ${\displaystyle =\frac{-24}{x^2-9}}$

${\displaystyle \Rightarrow \left(3-x\right)\left(x-3\right)+{\left(x+3\right)}^2=-24}$

${\displaystyle \iff 3x-9-x^2+3x+x^2+6x+9}$ $=-24$

${\displaystyle \iff 12x=-24}$ 

${\displaystyle \iff x=-2}$ (thỏa mãn)

 Vậy phương trình có tập nghiệm ${\displaystyle S=\left\{-2\right\}.}$

b) Khi $a=1$, ta có phương trình :

${\displaystyle \frac{x+1}{1-x}+\frac{x-1}{1+x}=\frac{1\left(3.1+1\right)}{1^2-x^2}}$

ĐKXĐ: ${\displaystyle x\ne \pm 1}$

${\displaystyle \iff \frac{x+1}{1-x}+\frac{x-1}{1+x}=\frac{4}{1-x^2}}$

${\displaystyle \iff \frac{{\left(x+1\right)}^2}{1-x^2}+\frac{\left(x-1\right)\left(1-x\right)}{1-x^2}}$ ${\displaystyle =\frac{4}{1-x^2}}$

${\displaystyle \Rightarrow {\left(x+1\right)}^2+\left(x-1\right)\left(1-x\right)=4}$

${\displaystyle \iff x^2+2x+1+x-x^2-1+x=4}$

${\displaystyle \iff 4x=4}$ ${\displaystyle \iff x=1}$ (loại)

 Vậy phương trình vô nghiệm.

c) Khi $a=0$, ta có phương trình: ${\displaystyle \frac{x}{-x}+\frac{x}{x}=\frac{0}{-x^2}}$       

ĐKXĐ: ${\displaystyle x\ne 0}$

Khi đó: ${\displaystyle \frac{x}{-x}+\frac{x}{x}=\frac{0}{-x^2}}$  

${\displaystyle \begin{array}{rl}& \Rightarrow {\displaystyle \frac{-x^2}{x^2}+\frac{x^2}{x^2}=\frac{0}{x^2}}\\ & \Rightarrow -x^2+x^2=0\\ & \iff 0x^2=0\end{array}}$

Phương trình có nghiệm đúng với mọi giá trị của ${\displaystyle x\ne 0}$

 Vậy phương trình có tập nghiệm ${\displaystyle S=\{x\in R|x\ne 0\}}$

d) Thay ${\displaystyle x=\frac{1}{2}}$ vào phương trình, ta có:

${\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}+a}}{a-{\displaystyle \frac{1}{2}}}+\frac{{\displaystyle \frac{1}{2}-a}}{a+{\displaystyle \frac{1}{2}}}=\frac{{\displaystyle a\left(3a+1\right)}}{a^2-{\displaystyle {\left(\frac{1}{2}\right)}^2}}}$

ĐKXĐ: ${\displaystyle a\ne \pm \frac{1}{2}}$

${\displaystyle \iff \frac{{\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{2}+a}}}{a-{\displaystyle \frac{1}{2}}}+\frac{{\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{2}-a}}}{a+{\displaystyle \frac{1}{2}}}=\frac{{\displaystyle a\left(3a+1\right)}}{a^2-{\displaystyle \frac{1}{4}}}}$

${\displaystyle \iff \frac{{\displaystyle 1+2a}}{2a-1}+\frac{{\displaystyle 1-2a}}{2a+1}=\frac{{\displaystyle 4a\left(3a+1\right)}}{4a^2-1}}$ 

${\displaystyle \iff \frac{{\displaystyle \left(1+2a\right)\left(2a+1\right)}}{4a^2-1}}$ ${\displaystyle +\frac{{\displaystyle \left(1-2a\right)\left(2a-1\right)}}{4a^2-1}}$ ${\displaystyle =\frac{{\displaystyle 4a\left(3a+1\right)}}{4a^2-1}}$ 

${\displaystyle \Rightarrow \left(1+2a\right)\left(2a+1\right)}$${\displaystyle +\left(1-2a\right)\left(2a-1\right)}$ ${\displaystyle =4a\left(3a+1\right)}$ 

${\displaystyle \iff 2a+1+4a^2+2a+2a-1-4a^2}$ $+2a=12a^2+4a$ 

${\displaystyle \iff 12a^2-4a=0}$ 

${\displaystyle \iff 4a\left(3a-1\right)=0}$

${\displaystyle \iff 4a=0}$ hoặc ${\displaystyle 3a-1=0}$

${\displaystyle \iff a=0}$ hoặc ${\displaystyle 3a=1}$ 

${\displaystyle \iff a=0}$ (thỏa mãn) hoặc ${\displaystyle a=\frac{1}{3}}$ (thỏa mãn)

Vậy khi $a=0$ hoặc ${\displaystyle a=\frac{1}{3}}$ thì phương trình ${\displaystyle \frac{x+a}{a-x}+\frac{x-a}{a+x}=\frac{a\left(3a+1\right)}{a^2-x^2}}$ nhận ${\displaystyle x=\frac{1}{2}}$ làm nghiệm.

a) ${\displaystyle \frac{2}{{\displaystyle x+\frac{1}{1+{\displaystyle \frac{x+1}{x-2}}}}}=\frac{6}{3x-1}}$

b) ${\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}}}{{\displaystyle 1+\frac{x+1}{x-1}}}=\frac{x-1}{2\left(x+1\right)}}$

c) ${\displaystyle \frac{5}{x}+\frac{4}{x+1}=\frac{3}{x+2}+\frac{2}{x+3}}$

Phương pháp giải:

Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.

Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.

Bước 4: Kết luận.

Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định chính là các nghiệm của phương trình đã cho.

 Lời giải:

a) Ta có: 

$\begin{array}{l}x+{\displaystyle \frac{1}{1+{\displaystyle \frac{x+1}{x-2}}}}=x+{\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{x-2+x+1}{x-2}}}}\\ =x+{\displaystyle \frac{x-2}{2x-1}}={\displaystyle \frac{x\left(2x-1\right)+x-2}{2x-1}}\\ ={\displaystyle \frac{2x^2-x+x-2}{2x-1}}={\displaystyle \frac{2x^2-2}{2x-1}}\\ ={\displaystyle \frac{2\left(x^2-1\right)}{2x-1}}\end{array}$

ĐKXĐ của phương trình là ${\displaystyle x\ne 2,x\ne \frac{1}{2},x\ne \pm 1,x\ne \frac{1}{3}}$.

Phương trình đã cho trở thành: ${\displaystyle \frac{2}{{\displaystyle \frac{2\left(x^2-1\right)}{2x-1}}}}={\displaystyle \frac{6}{3x-1}}$

$\iff {\displaystyle \frac{2x-1}{x^2-1}=\frac{6}{3x-1}}$

$\iff {\displaystyle \frac{\left(2x-1\right).\left(3x-1\right)}{\left(x^2-1\right)\left(3x-1\right)}}={\displaystyle \frac{6\left(x^2-1\right)}{\left(x^2-1\right)\left(3x-1\right)}}$

${\displaystyle \begin{array}{rl}& \Rightarrow \left(2x-1\right)\left(3x-1\right)=6\left(x^2-1\right)\\ & \iff 6x^2-3x-2x+1=6x^2-6\\ & \iff -5x=-7\\ & \iff x=\frac{7}{5}\end{array}}$

Giá trị ${\displaystyle x=\frac{7}{5}}$ thỏa mãn ĐKXĐ. 

Vậy phương trình có tập nghiệm là ${\displaystyle S=\left\{\frac{7}{5}\right\}.}$

b)Cách 1. ĐKXĐ: ${\displaystyle x\ne \pm 1}$. 

Ta có vế trái:

$\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{x+1}{x-1}}-{\displaystyle \frac{x-1}{x+1}}}{1+{\displaystyle \frac{x+1}{x-1}}}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{\left(x+1\right)\left(x+1\right)-\left(x-1\right)\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}}}{{\displaystyle \frac{x-1+x+1}{x-1}}}}\\ ={\displaystyle \frac{x^2+2x+1-\left(x^2-2x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}}.{\displaystyle \frac{x-1}{2x}}\\ ={\displaystyle \frac{4x}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}}.{\displaystyle \frac{x-1}{2x}}\\ ={\displaystyle \frac{2}{x+1}}\end{array}$

Từ đó, phương trình đã cho có dạng ${\displaystyle \frac{2}{x+1}=\frac{x-1}{2\left(x+1\right)}}$.

$\begin{array}{l}\iff {\displaystyle \frac{2.2}{2\left(x+1\right)}}={\displaystyle \frac{x-1}{2\left(x+1\right)}}\\ \Rightarrow 2.2=x-1\\ \iff x-1=4\\ \iff x=5(thỏamãn)\end{array}$