SBT Toán 8 Bài 3: Phương trình đưa về dạng ax+b=0

SBT Toán 8 Bài 3: Phương trình đưa về dạng ax+b=0 | Giải SBT Toán lớp 8

Nghiêm Thị Ngà Ngày: 19-05-2022 Lớp 8

449

Toptailieu.vn giới thiệu Giải sách bài tập Toán lớp 8 Bài 3: Phương trình đưa về dạng ax+b=0 chi tiết giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 8. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 8 Bài 3: Phương trình đưa về dạng ax+b=0

Bài 19 Trang 7 SBT Toán 8 Tập 2: Giải các phương trình sau:

a) $1, 2 - (x - 0, 8) = - 2 (0, 9 + x)$

b) $2, 3 x - 2 (0, 7 + 2 x) = 3, 6 - 1, 7 x$

c) $3 (2, 2 - 0, 3 x) = 2, 6 + (0, 1 x - 4)$

d) $3, 6 - 0, 5 (2 x + 1)$ $= x - 0, 25 (2 - 4 x)$

Phương pháp giải:

Thực hiện phép tính để bỏ dấu ngoặc và chuyển vế các hạng tử để đưa phương trình về dạng $a x + b = 0$ hoặc $a x = - b$ .

Lời giải:

a) $1, 2 - (x - 0, 8) = - 2 (0, 9 + x)$

$\Leftrightarrow 1, 2 - x + 0, 8 = - 1, 8 - 2 x$

$\begin{aligned} \Leftrightarrow - x + 2 x = - 1, 8 - 1, 2 - 0, 8 \\ \Leftrightarrow x = - 3, 8 \end{aligned}$

Phương trình có tập nghiệm $S = {- 3, 8} .$

b) $2, 3 x - 2 (0, 7 + 2 x) = 3, 6 - 1, 7 x$

$\begin{aligned} \Leftrightarrow 2, 3 x - 1, 4 - 4 x = 3, 6 - 1, 7 x \\ \Leftrightarrow 2, 3 x - 4 x + 1, 7 x = 3, 6 + 1, 4 \\ \Leftrightarrow 0 x = 5 (v ô l ý) \end{aligned}$

Phương trình vô nghiệm.

c) $3 (2, 2 - 0, 3 x) = 2, 6 + (0, 1 x - 4)$

$\begin{aligned} \Leftrightarrow 6, 6 - 0, 9 x = 2, 6 + 0, 1 x - 4 \\ \Leftrightarrow 6, 6 - 2, 6 + 4 = 0, 1 x + 0, 9 x \\ \Leftrightarrow x = 8 \end{aligned}$

Phương trình có tập nghiệm $S = {8}$ .

d) $3, 6 - 0, 5 (2 x + 1)$ $= x - 0, 25 (2 - 4 x)$

$\begin{aligned} \Leftrightarrow 3, 6 - x - 0, 5 = x - 0, 5 + x \\ \Leftrightarrow 3, 6 - 0, 5 + 0, 5 = x + x + x \\ \Leftrightarrow 3, 6 = 3 x \\ \Leftrightarrow x = 3, 6 : 3 \\ \Leftrightarrow x = 1, 2 \end{aligned}$

Phương trình có tập nghiệm $S = {1, 2}$ .

Bài 20 Trang 8 SBT Toán 8 Tập 2: Giải các phương trình sau:

a) $\begin{aligned} \frac{x - 3}{5} = 6 - \frac{1 - 2 x}{3} \end{aligned}$

b) $\begin{aligned} \frac{3 x - 2}{6} - 5 = \frac{3 - 2 (x + 7)}{4} \end{aligned}$

c) $\begin{aligned} 2 (x + \frac{3}{5}) = 5 - (\frac{13}{5} + x) \end{aligned}$

d) $\begin{aligned} \frac{7 x}{8} - 5 (x - 9) = \frac{20 x + 1, 5}{6} \end{aligned}$

Phương pháp giải:

Để giải các phương trình đưa được về $a x + b = 0$ ta thường biến đổi phương trình như sau :

+ Quy đồng mẫu hai vế phương trình và khử mẫu.

+ Thực hiện phép tính để bỏ dấu ngoặc và chuyển vế các hạng tử để đưa phương trình về dạng $a x + b = 0$ hoặc $a x = - b$ .

+ Tìm nghiệm của phương trình dạng $a x + b = 0$ .

Lời giải:

a) $\frac{x - 3}{5} = 6 - \frac{1 - 2 x}{3}$

$\Leftrightarrow \frac{3 (x - 3)}{15} = \frac{6.15}{15} - \frac{5 (1 - 2 x)}{15}$

$\Leftrightarrow 3 (x - 3) = 6.15 - 5 (1 - 2 x)$

$\begin{aligned} \Leftrightarrow 3 x - 9 = 90 - 5 + 10 x \\ \Leftrightarrow 3 x - 10 x = 90 - 5 + 9 \\ \Leftrightarrow - 7 x = 94 \\ \Leftrightarrow x = - \frac{94}{7} \end{aligned}$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S = {- \frac{94}{7}} .$

b) $\frac{3 x - 2}{6} - 5 = \frac{3 - 2 (x + 7)}{4}$

$\Leftrightarrow \frac{2 (3 x - 2)}{12} - \frac{5.12}{12}$ $= \frac{3 [3 - 2 (x + 7)]}{12}$
$\Leftrightarrow 2 (3 x - 2) - 5.12$ $= 3 [3 - 2 (x + 7)]$

$\Leftrightarrow 6 x - 4 - 60 = 9 - 6 (x + 7)$

$\Leftrightarrow 6 x - 64 = 9 - 6 x - 42$
$\Leftrightarrow 6 x + 6 x = 9 - 42 + 64$
$\Leftrightarrow 12 x = 31$
$\Leftrightarrow x = \frac{31}{12}$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S = {\frac{31}{12}} .$

$\begin{aligned} 2 (x + \frac{3}{5}) = 5 - (\frac{13}{5} + x) \\ \Leftrightarrow 2 x + \frac{6}{5} = \frac{25}{5} - \frac{13}{5} - x \\ \Leftrightarrow 2 x + \frac{6}{5} = \frac{12}{5} - x \\ \Leftrightarrow 2 x + x = \frac{12}{5} - \frac{6}{5} \\ \Leftrightarrow 3 x = \frac{6}{5} \\ \Leftrightarrow x = \frac{6}{5} : 3 \\ \Leftrightarrow x = \frac{2}{5} \end{aligned}$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S = {\frac{2}{5}} .$

d) $\frac{7 x}{8} - 5 (x - 9) = \frac{20 x + 1, 5}{6}$

$\Leftrightarrow \frac{3.7 x}{24} - \frac{24.5 (x - 9)}{24}$ $= \frac{4. (20 x + 1, 5)}{24}$
$\Leftrightarrow 3.7 x - 24.5 (x - 9)$ $= 4 (20 x + 1, 5)$
$\Leftrightarrow 21 x - 120 (x - 9) = 80 x + 6$
$\Leftrightarrow 21 x - 120 x + 1080 = 80 x + 6$
$\Leftrightarrow 21 x - 120 x - 80 x = 6 - 1080$
$\Leftrightarrow - 179 x = - 1074$
$\Leftrightarrow x = (- 1074) : (- 179)$
$\Leftrightarrow x = 6$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S = {6} .$

Bài 21 Trang 8 SBT Toán 8 Tập 2: Tìm điều kiện của $x$ để giá trị của mỗi phân thức sau được xác định :

a) $A = \frac{3 x + 2}{2 (x - 1) - 3 (2 x + 1)}$

b) $B = \frac{0, 5 (x + 3) - 2}{1, 2 (x + 0, 7) - 4 (0, 6 x + 0, 9)}$

Phương pháp giải:

Phân thức xác định khi mẫu thức khác $0$ .

Lời giải:

a) Phân thức $A = \frac{3 x + 2}{2 (x - 1) - 3 (2 x + 1)}$ xác định khi : $2 (x - 1) - 3 (2 x + 1) \neq 0$

Ta giải phương trình : $2 (x - 1) - 3 (2 x + 1) = 0$ .

Ta có: $2 (x - 1) - 3 (2 x + 1) = 0$

$\Leftrightarrow 2 x - 2 - 6 x - 3 = 0$

$\Leftrightarrow - 4 x - 5 = 0$

$\Leftrightarrow 4 x = - 5 \Leftrightarrow x = - \frac{5}{4}$

Suy ra $2 (x - 1) - 3 (2 x + 1) \neq 0$ khi $x \neq - \frac{5}{4}$

Vậy khi $x \neq - \frac{5}{4}$ thì phân thức $A$ xác định.

b) Phân thức $B = \frac{0, 5 (x + 3) - 2}{1, 2 (x + 0, 7) - 4 (0, 6 x + 0, 9)}$ xác định khi :

$1, 2 (x + 0, 7) - 4 (0, 6 x + 0, 9) \neq 0$

Ta giải phương trình: $1, 2 (x + 0, 7) - 4 (0, 6 x + 0, 9) = 0$

Ta có:

$\begin{aligned} 1, 2 (x + 0, 7) - 4 (0, 6 x + 0, 9) = 0 \\ \Leftrightarrow 1, 2 x + 0, 84 - 2, 4 x - 3, 6 = 0 \\ \Leftrightarrow - 1, 2 x - 2, 76 = 0 \\ \Leftrightarrow - 1, 2 x = 2, 76 \\ \Leftrightarrow x = 2, 76 : (- 1, 2) \Leftrightarrow x = - 2, 3 \end{aligned}$

Suy ra $1, 2 (x + 0, 7) - 4 (0, 6 x + 0, 9) \neq 0$ khi $x \neq - 2, 3$

Vậy khi $x \neq - 2, 3$ thì phân thức $B$ xác định.

Bài 22 Trang 8 SBT Toán 8 Tập 2: Giải các phương trình sau:

a) $\frac{5 (x - 1) + 2}{6} - \frac{7 x - 1}{4}$ $= \frac{2 (2 x + 1)}{7} - 5$

b) $\frac{3 (x - 3)}{4} + \frac{4 x - 10, 5}{10}$ $= \frac{3 (x + 1)}{5} + 6$

c) $\frac{2 (3 x + 1) + 1}{4} - 5$ $= \frac{2 (3 x - 1)}{5} - \frac{3 x + 2}{10}$

d) $\frac{x + 1}{3} + \frac{3 (2 x + 1)}{4}$ $= \frac{2 x + 3 (x + 1)}{6} + \frac{7 + 12 x}{12}$

Phương pháp giải:

Để giải các phương trình đưa được về $a x + b = 0$ ta thường biến đổi phương trình như sau :

+ Quy đồng mẫu hai vế phương trình và khử mẫu.

+ Thực hiện phép tính để bỏ dấu ngoặc và chuyển vế các hạng tử để đưa phương trình về dạng $a x + b = 0$ hoặc $a x = - b$ .

+ Tìm nghiệm của phương trình dạng $a x + b = 0$ .

Lời giải:

a) $\frac{5 (x - 1) + 2}{6} - \frac{7 x - 1}{4}$ $= \frac{2 (2 x + 1)}{7} - 5$

$\Leftrightarrow \frac{5 x - 5 + 2}{6} - \frac{7 x - 1}{4}$ $= \frac{4 x + 2}{7} - 5$

$\Leftrightarrow \frac{5 x - 3}{6} - \frac{7 x - 1}{4}$ $= \frac{4 x + 2}{7} - 5$

$\Leftrightarrow \frac{14 (5 x - 3) - 21 (7 x - 1)}{84}$ $= \frac{12 (4 x + 2) - 5.84}{84}$

$\Leftrightarrow 14 (5 x - 3) - 21 (7 x - 1)$ $= 12 (4 x + 2) - 5.84$

$\Leftrightarrow 70 x - 42 - 147 x + 21$ $= 48 x + 24 - 420$

$\Leftrightarrow 70 x - 147 x - 48 x$ $= 24 - 420 + 42 - 21$

$\Leftrightarrow - 125 x = - 375 \Leftrightarrow x = 3$

Vậy phương trình có nghiệm $x = 3.$

b) $\frac{3 (x - 3)}{4} + \frac{4 x - 10, 5}{10}$ $= \frac{3 (x + 1)}{5} + 6$

$\Leftrightarrow \frac{3 x - 9}{4} + \frac{4 x - 10, 5}{10}$ $= \frac{3 x + 3}{5} + 6$

$\Leftrightarrow \frac{5 (3 x - 9) + 2 (4 x - 10, 5)}{20}$ $= \frac{4 (3 x + 3) + 6.20}{20}$

$\Leftrightarrow 5 (3 x - 9) + 2 (4 x - 10, 5)$ $= 4 (3 x + 3) + 6.20$

$\Leftrightarrow 15 x - 45 + 8 x - 21$ $= 12 x + 12 + 120$

$\Leftrightarrow 15 x + 8 x - 12 x$ $= 12 + 120 + 45 + 21$

$\Leftrightarrow 11 x = 198$

$\Leftrightarrow x = 18$

Phương trình có nghiệm $x = 18.$

c) $\frac{2 (3 x + 1) + 1}{4} - 5$ $= \frac{2 (3 x - 1)}{5} - \frac{3 x + 2}{10}$

$\Leftrightarrow \frac{6 x + 2 + 1}{4} - 5$ $= \frac{6 x - 2}{5} - \frac{3 x + 2}{10}$

$\Leftrightarrow \frac{6 x + 3}{4} - 5$ $= \frac{6 x - 2}{5} - \frac{3 x + 2}{10}$

$\Leftrightarrow \frac{5 (6 x + 3) - 5.20}{20}$ $= \frac{4 (6 x - 2) - 2 (3 x + 2)}{20}$

$\Leftrightarrow 5 (6 x + 3) - 5.20$ $= 4 (6 x - 2) - 2 (3 x + 2)$

$\Leftrightarrow 30 x + 15 - 100$ $= 24 x - 8 - 6 x - 4$

$\Leftrightarrow 30 x - 24 x + 6 x$ $= - 8 - 4 - 15 + 100$

$\Leftrightarrow 12 x = 73 \Leftrightarrow x = \frac{73}{12}$

Phương trình có nghiệm $x = \frac{73}{12}$ .

d) $\frac{x + 1}{3} + \frac{3 (2 x + 1)}{4}$ $= \frac{2 x + 3 (x + 1)}{6} + \frac{7 + 12 x}{12}$

$\Leftrightarrow \frac{x + 1}{3} + \frac{6 x + 3}{4}$ $= \frac{2 x + 3 x + 3}{6} + \frac{7 + 12 x}{12}$

$\Leftrightarrow \frac{x + 1}{3} + \frac{6 x + 3}{4}$ $= \frac{5 x + 3}{6} + \frac{7 + 12 x}{12}$

$\Leftrightarrow \frac{4 (x + 1) + 3 (6 x + 3)}{12}$ $= \frac{2 (5 x + 3) + 7 + 12 x}{12}$

$\Leftrightarrow 4 (x + 1) + 3 (6 x + 3)$ $= 2 (5 x + 3) + 7 + 12 x$

$\Leftrightarrow 4 x + 4 + 18 x + 9$ $= 10 x + 6 + 7 + 12 x$

$\Leftrightarrow 4 x + 18 x - 10 x - 12 x$ $= 6 + 7 - 4 - 9$

$\Leftrightarrow 0 x = 0$ (luôn đúng)

Vậy phương trình có vô số nghiệm.

Bài 23 Trang 8 SBT Toán 8 Tập 2: Tìm giá trị của $k$ sao cho:

a) Phương trình $(2 x + 1) (9 x + 2 k) - 5 (x + 2) = 40$ có nghiệm $x = 2$ .

b) Phương trình $2 (2 x + 1) + 18 = 3 (x + 2) (2 x + k)$ có nghiệm $x = 1$ .

Phương pháp giải:

Thay giá trị của $x$ vào phương trình đã cho, khi đó thu được phương trình ẩn $k$ . Giải phương trình ẩn $k$ để tìm $k$ .

Lời giải:

a) Thay $x = 2$ vào phương trình $(2 x + 1) (9 x + 2 k) - 5 (x + 2) = 40$ , ta có:

$\begin{aligned} (2.2 + 1) (9.2 + 2 k) - 5 (2 + 2) = 40 \\ \Leftrightarrow (4 + 1) (18 + 2 k) - 5.4 = 40 \\ \Leftrightarrow 5 (18 + 2 k) - 20 = 40 \\ \Leftrightarrow 90 + 10 k - 20 = 40 \\ \Leftrightarrow 10 k = 40 - 90 + 20 \\ \Leftrightarrow 10 k = - 30 \\ \Leftrightarrow k = - 3 \end{aligned}$

Vậy khi $k = - 3$ thì phương trình $(2 x + 1) (9 x + 2 k) - 5 (x + 2) = 40$ có nghiệm $x = 2$ .

b) Thay $x = 1$ vào phương trình $2 (2 x + 1) + 18 = 3 (x + 2) (2 x + k)$ , ta có:

$\begin{aligned} 2 (2.1 + 1) + 18 = 3 (1 + 2) (2.1 + k) \\ \Leftrightarrow 2 (2 + 1) + 18 = 3.3 (2 + k) \\ \Leftrightarrow 2.3 + 18 = 9 (2 + k) \\ \Leftrightarrow 6 + 18 = 18 + 9 k \\ \Leftrightarrow 24 - 18 = 9 k \\ \Leftrightarrow 6 = 9 k \\ \Leftrightarrow k = \frac{6}{9} \\ \Leftrightarrow k = \frac{2}{3} \end{aligned}$

Vậy khi $k = \frac{2}{3}$ thì phương trình có nghiệm $x = 1$ .

Bài 24 Trang 8 SBT Toán 8 Tập 2: Tìm các giá trị của $x$ sao cho hai biểu thức $A$ và $B$ cho sau đây có giá trị bằng nhau:

a) $A = (x - 3) (x + 4) - 2 (3 x - 2)$

$B = {(x - 4)}^{2}$

b) $A = (x + 2) (x - 2) + 3 x^{2}$

$B = {(2 x + 1)}^{2} + 2 x$

c) $A = (x - 1) (x^{2} + x + 1) - 2 x$

$B = x (x - 1) (x + 1)$

d) $A = {(x + 1)}^{3} - {(x - 2)}^{3}$

$B = (3 x - 1) (3 x + 1)$

Phương pháp giải:

Cho $A = B$ rồi giải phương trình ẩn $x$ để tìm $x$ .

Lời giải:

a) Ta có: $A = B$

$\Leftrightarrow (x - 3) (x + 4) - 2 (3 x - 2)$ $= {(x - 4)}^{2}$

$\Leftrightarrow x^{2} + 4 x - 3 x - 12 - 6 x + 4$ $= x^{2} - 8 x + 16$

$\Leftrightarrow x^{2} - x^{2} + 4 x - 3 x - 6 x + 8 x$ $= 16 + 12 - 4$

$\Leftrightarrow 3 x = 24 \Leftrightarrow x = 8$

Vậy với $x = 8$ thì $A = B$ .

b)Ta có : $A = B$

$\Leftrightarrow (x + 2) (x - 2) + 3 x^{2}$ $= {(2 x + 1)}^{2} + 2 x$

$\Leftrightarrow x^{2} - 4 + 3 x^{2}$ $= 4 x^{2} + 4 x + 1 + 2 x$

$\Leftrightarrow x^{2} + 3 x^{2} - 4 x^{2} - 4 x - 2 x$ $= 1 + 4$

$\Leftrightarrow - 6 x = 5 \Leftrightarrow x = - \frac{5}{6}$

Vậy với $x = - \frac{5}{6}$ thì $A = B$ .

c) Ta có: $A = B$

$\Leftrightarrow (x - 1) (x^{2} + x + 1) - 2 x$ $= x (x - 1) (x + 1)$

$\begin{aligned} \Leftrightarrow x^{3} - 1 - 2 x = x (x^{2} - 1) \\ \Leftrightarrow x^{3} - 1 - 2 x = x^{3} - x \\ \Leftrightarrow x^{3} - x^{3} - 2 x + x = 1 \\ \Leftrightarrow - x = 1 \Leftrightarrow x = - 1 \end{aligned}$

Vậy với $x = - 1$ thì $A = B$ .

d) Ta có : $A = B$

$\Leftrightarrow {(x + 1)}^{3} - {(x - 2)}^{3}$ $= (3 x - 1) (3 x + 1)$

$\Leftrightarrow x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1 - x^{3} + 6 x^{2}$ $- 12 x + 8 = 9 x^{2} - 1$

$\Leftrightarrow x^{3} - x^{3} + 3 x^{2} + 6 x^{2} - 9 x^{2} + 3 x$ $- 12 x = - 1 - 1 - 8$

$\Leftrightarrow - 9 x = - 10 \Leftrightarrow x = \frac{10}{9}$

Vậy với $x = \frac{10}{9}$ thì $A = B$ .

Bài 25 Trang 9 SBT Toán 8 Tập 2: Giải các phương trình sau:

a) $\frac{2 x}{3} + \frac{2 x - 1}{6} = 4 - \frac{x}{3}$

b) $\frac{x - 1}{2} + \frac{x - 1}{4} = 1 - \frac{2 (x - 1)}{3}$

c) $\frac{2 - x}{2001} - 1 = \frac{1 - x}{2002} - \frac{x}{2003}$

Phương pháp giải:

Để giải các phương trình đưa được về $a x + b = 0$ ta thường biến đổi phương trình như sau :

+ Quy đồng mẫu hai vế phương trình và khử mẫu.

+ Thực hiện phép tính để bỏ dấu ngoặc và chuyển vế các hạng tử để đưa phương trình về dạng $a x + b = 0$ hoặc $a x = - b$ .

+ Tìm nghiệm của phương trình dạng $a x + b = 0$ .

Lời giải:

$\begin{aligned} \frac{2 x}{3} + \frac{2 x - 1}{6} = 4 - \frac{x}{3} \\ \Leftrightarrow \frac{2.2 x}{6} + \frac{2 x - 1}{6} = \frac{4.6}{6} - \frac{2 x}{6} \\ \Leftrightarrow 2.2 x + 2 x - 1 = 4.6 - 2 x \\ \Leftrightarrow 4 x + 2 x - 1 = 24 - 2 x \\ \Leftrightarrow 6 x - 1 = 24 - 2 x \\ \Leftrightarrow 6 x + 2 x = 24 + 1 \\ \Leftrightarrow 8 x = 25 \\ \Leftrightarrow x = \frac{25}{8} \end{aligned}$

Vậy phương trình có nghiệm $x = \frac{25}{8} .$

b) $\begin{aligned} \frac{x - 1}{2} + \frac{x - 1}{4} = 1 - \frac{2 (x - 1)}{3} \\ \Leftrightarrow \frac{x - 1}{2} + \frac{x - 1}{4} = 1 - \frac{2 x - 2}{3} \end{aligned}$

$\Leftrightarrow \frac{6 (x - 1)}{12} + \frac{3 (x - 1)}{12}$ $= \frac{12}{12} - \frac{4 (2 x - 2)}{12}$

$\Leftrightarrow 6 (x - 1) + 3 (x - 1)$ $= 12 - 4 (2 x - 2)$
$\Leftrightarrow 6 x - 6 + 3 x - 3 = 12 - 8 x + 8$
$\Leftrightarrow 6 x + 3 x + 8 x = 12 + 8 + 6 + 3$
$\Leftrightarrow 17 x = 29$
$\Leftrightarrow x = \frac{29}{17}$

Vậy phương trình có nghiệm $x = \frac{29}{17} .$

c) $\frac{2 - x}{2001} - 1 = \frac{1 - x}{2002} - \frac{x}{2003}$

$\Leftrightarrow \frac{2 - x}{2001} - 1 + 2$ $= \frac{1 - x}{2002} + 1 + 1 - \frac{x}{2003}$
$\Leftrightarrow \frac{2 - x}{2001} + 1$ $= (\frac{1 - x}{2002} + 1) + (1 - \frac{x}{2003})$
$\Leftrightarrow \frac{2003 - x}{2001}$ $= \frac{2003 - x}{2002} + \frac{2003 - x}{2003}$
$\Leftrightarrow \frac{2003 - x}{2001} - \frac{2003 - x}{2002}$ $- \frac{2003 - x}{2003} = 0$
$\Leftrightarrow (2003 - x)$ $(\frac{1}{2001} - \frac{1}{2002} - \frac{1}{2003}) = 0$
$\Leftrightarrow 2003 - x = 0$
$\Leftrightarrow x = 2003$

(Vì $\frac{1}{2001} - \frac{1}{2002} - \frac{1}{2003} \neq 0$ .)

Vậy phương trình có nghiệm $x = 2003.$

Bài 3.1Trang 9 SBT Toán 8 Tập 2: Cho hai phương trình :

$\frac{7 x}{8} - 5 (x - 9) = \frac{1}{6} (20 x + 1, 5)$ $(1)$

$2 (a - 1) x - a (x - 1) = 2 a + 3$ $(2)$

a) Chứng tỏ rằng phương trình $(1)$ có nghiệm duy nhất, tìm nghiệm đó.

b) Giải phương trình $(2)$ khi $a = 2$ .

c) Tìm giá trị của a để phương trình $(2)$ có một nghiệm bằng một phần ba nghiệm của phương trình $(1)$ .

Phương pháp giải:

Để giải các phương trình đưa được về $a x + b = 0$ ta thường biến đổi phương trình như sau :

+ Thực hiện phép tính để bỏ dấu ngoặc và chuyển vế các hạng tử để đưa phương trình về dạng $a x + b = 0$ hoặc $a x = - b$ .

+ Tìm nghiệm của phương trình dạng $a x + b = 0$ .

Lời giải:

a) Nhân hai vế của phương trình $(1)$ với $24$ , ta được :

$24. [\frac{7 x}{8} - 5 (x - 9)] = 24. [\frac{1}{6} (20 x + 1, 5)]$

$\begin{aligned} \Leftrightarrow 21 x - 120 (x - 9) = 4 (20 x + 1, 5) \\ \Leftrightarrow 21 x - 120 x - 80 x = 6 - 1080 \\ \Leftrightarrow - 179 x = - 1074 \\ \Leftrightarrow x = 6 \end{aligned}$

Vậy phương trình $(1)$ có một nghiệm duy nhất $x = 6$ .

b) Ta có:

$\begin{aligned} 2 (a - 1) x - a (x - 1) = 2 a + 3 \\ \Leftrightarrow (a - 2) x = a + 3 (3) \end{aligned}$

Thay $a = 2$ vào phương trình (3) ta được: $(2 - 2) x = 2 + 3 \Leftrightarrow 0 x = 5$ (vô nghiệm)

Suy ra phương trình $(2)$ vô nghiệm.

c) Theo điều kiện của bài toán, nghiệm của phương trình $(2)$ bằng một phần ba nghiệm của phương trình $(1)$ mà phương trình (1) có nghiệm $x = 6$ (theo câu a) nên nghiệm của phương trình (2) là $x = 2$ .

Theo câu b ta biến đổi được phương trình (2) thành phương trình $(a - 2) 2 = a + 3$ (3) nên lúc này $x = 2$ là nghiệm của phương trình (3).

Thay giá trị $x = 2$ vào phương trình (3), ta được $(a - 2) .2 = a + 3$ .

Ta coi đây là phương trình mới đối với ẩn a. Giải phương trình mới này:

$(a - 2) .2 = a + 3$ $\Leftrightarrow 2 a - 4 = a + 3$

$\Leftrightarrow 2 a - a = 3 + 4 \Leftrightarrow a = 7$

Vậy với $a = 7$ thì phương trình $(2)$ có nghiệm $x = 2$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 3.2 Trang 9 SBT Toán 8 Tập 2: Bằng cách đặt ẩn phụ theo hướng dẫn, giải các phương trình sau:

a) $\frac{6 (16 x + 3)}{7} - 8$ $= \frac{3 (16 x + 3)}{7} + 7$

Hướng dẫn : Đặt $u = \frac{16 x + 3}{7}$ .

b) $(\sqrt{2} + 2) (x \sqrt{2} - 1) = 2 x \sqrt{2} - \sqrt{2}$

Hướng dẫn : Đặt $u = x \sqrt{2} - 1$ .

c) $0, 05 (\frac{2 x - 2}{2009} + \frac{2 x}{2010} + \frac{2 x + 2}{2011})$ $= 3, 3 - (\frac{x - 1}{2009} + \frac{x}{2010} + \frac{x + 1}{2011})$ $\begin{aligned} u = 5 \Leftrightarrow \frac{16 x + 3}{7} = 5 \\ \Leftrightarrow 16 x + 3 = 35 \\ \Leftrightarrow 16 x = 32 \Leftrightarrow x = 2 \end{aligned}$

Hướng dẫn : Đặt $u = x \sqrt{2} - 1$ .

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ $u$ theo hướng dẫn, khi đó thu được các phương trình (ẩn $u$ ) đưa về được về dạng phương trình bậc nhất. Giải các phương trình ẩn $u$ , tìm được $u$ ta quay lại giải phương trình ẩn $x$ .

Lời giải:

a) Đặt $u = \frac{16 x + 3}{7}$ , ta có phương trình $6 u - 8 = 3 u + 7$ .

Giải phương trình này ta có :

$6 u - 8 = 3 u + 7 \Leftrightarrow 6 u - 3 u = 7 + 8$

$\Leftrightarrow 3 u = 15 \Leftrightarrow u = 5$

Thay lại cách đặt, ta được:

Vậy phương trình có nghiệm $x = 2$ .

b) Nếu đặt u $= x \sqrt{2} - 1$ thì $x \sqrt{2} = u + 1$ nên phương trình có dạng

$(\sqrt{2} + 2) u = 2 (u + 1) - \sqrt{2}$ $(1)$

Ta giải phương trình $(1)$ :

$(1) \Leftrightarrow \sqrt{2} u + 2 u = 2 u + 2 - \sqrt{2}$

$\begin{aligned} \Leftrightarrow \sqrt{2} u = 2 - \sqrt{2} \\ \Leftrightarrow \sqrt{2} u = \sqrt{2} (\sqrt{2} - 1) \\ \Leftrightarrow u = \sqrt{2} - 1 \end{aligned}$

Thay lại cách đặt, ta được:

$\begin{aligned} u = \sqrt{2} - 1 \\ \Leftrightarrow x \sqrt{2} - 1 = \sqrt{2} - 1 \\ \Leftrightarrow x \sqrt{2} = \sqrt{2} \\ \Leftrightarrow x = 1 \end{aligned}$

Vậy phương trình có nghiệm $x = 1$ .

c) Nếu đặt $u = \frac{x - 1}{2009} + \frac{x}{2010} + \frac{x + 1}{2011}$ thì $\frac{2 x - 2}{2009} + \frac{2 x}{2010} + \frac{2 x + 2}{2011} = 2 u$ nên phương trình đã cho có dạng $0, 05.2 u = 3, 3 - u$