Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R. Đường cao BD, CE cắt nhau tại H. Vẽ đường kính AF của đường tròn tâm O. Gọi I là trung điểm của BC.

a) Chứng minh H, I, F thẳng hàng.

b) Chứng minh AH = 2OI.

c) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh $S_{\Delta AHG}=2S_{\Delta AGO}$.

Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh Ox hình phẳng giới hạn bởi đường parabol y = x² – 3x + 2, trục hoành và các đường thẳng x = 1,x = 2.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = \(\sqrt x \) − 2, trục hoành và các đường thẳng x = 4, x = 9.

Một ô tô đang chạy với vận tốc 15 m/s thì tăng tốc, chuyển động nhanh dần đều với gia tốc a = 3t – 8 (m/s²), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc tăng vận tốc.

a) Biết vận tốc của ô tô là v(t) = \(\frac{a}{2}\)t² + bt + c, với a, b, c là các số nguyên.

Tính giá trị a + b + c.

b) Quãng đường ô tô đi được sau 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là bao nhiêu mét? (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Tính:

a) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\sin }^2}\frac{x}{2}dx} \);

b) \(\int\limits_0^1 {\left( {3x - 4{x^3}} \right)dx - \int\limits_1^2 {\left( {4{x^3} - 3x} \right)dx} } \);

c) \(\int\limits_0^6 {\left( {\left| {2x - 2} \right| + 4{x^2}} \right)dx} \).

Tìm học các nguyên hàm của mỗi hàm số sau:

a) f(x) = 3x² – 2x + \(\frac{2}{x}\);

b) g(x) = sinx –\(\frac{3}{{{{\cos }^2}x}}\) + 1;

c) h(x) = (3x – 1)² − 2\(\sqrt x \) + sinx – 1.

Một hình chóp tứ giác đều ngoại tiếp hình cầu bán kính R.

a) Chứng minh rằng thể tích của khối chóp tương ứng và V = \(\frac{{4{R^2}{x^2}}}{{3\left( {x - 2R} \right)}}\), trong đó x là chiều cao của hình chóp.

b) Với giá trị nào của x để khối chóp tương ứng có thể tích nhỏ nhất?

a) Lập bảng biến thiên của hàm số y = \(\frac{{{x^2}}}{{x + 1}}\).

b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = \(\frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{\cos \alpha + 1}}\).

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = \( - \frac{{{x^2} + x + 1}}{x}\).

b) Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng d: y = −2x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A và B thuộc hai nhánh của đồ thị và đoạn AB ngắn nhất.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số y = \(\frac{{2x - 1}}{{x - 1}}\). Tìm tọa độ tâm đối xứng I của đồ thị.

b) Tìm điều kiện của tham số m để đường thẳng d: y = −x + m cắt đồ thị (H) tại hai điểm phân biệt.

c) Chứng minh rằng tiếp tuyến của đồ thị (H) tại mọi điểm M thuộc (H) luôn cắt hai tiệm của (H) tại hai điểm A và B thuộc hai nhánh của đồ thị và đoạn AB ngắn nhất.