Toptailieu.vn xin giới thiệu 40 câu trắc nghiệm Phương pháp quy nạp toán học (có đáp án) chọn lọc, hay nhất giúp học sinh lớp 11 ôn luyện kiến thức để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán. Tài liệu gồm có các nội dung chính sau:

Mời các bạn đón xem:

40 câu trắc nghiệm Phương pháp quy nạp toán học (có đáp án) chọn lọc

Câu 2. Giá trị của tổng là:

 S=1−2+3−4+...−2n+(2n+1)S=1−2+3−4+...−2n+(2n+1)

A.   1

B.   0

C.   5

D.  n +1

Lời giải:

Đáp án: D

Giải thích:

Với =0 ta có: S=1S=1

Với =1 ta có SS =1–2+3=2

Với =2 ta có SS=1–2+3–4+5=3

Dự đoán S = n+1(*)* ta sẽ chứng minh (*)*đúng bằng quy nạp.

Với n = 0 đương nhiên (*)* đúng.

Giả sử (*)* đúng với n=kn=k, tức là

Sk=1−2+3−4+...−2k+(2k+1)Sk=1−2+3−4+...−2k+(2k+1)

=k+1=k+1, ta chứng minh (*)* đúng với n=kn=k +1.

Ta có:

Sk+1=1−2+3−4+...2(k−1)Sk+1=1−2+3−4+...2(k−1) +(2(k+1)+1)+(2(k+1)+1)

=(1−2+3−4+...−2k+2k+1)=(1−2+3−4+...−2k+2k+1)

−(2k+2)+(2k+3)−(2k+2)+(2k+3)

=Sk−(2k+2)+(2k+3)=Sk−(2k+2)+(2k+3)

=k+1−2k−2+2k+3=k+1−2k−2+2k+3

=k+2=k+2

Vậy (*)* đúng với mọi số tự nhiên n, tức là S = n+1.

Câu 3. Với mọi số nguyên dương n , tổng Sn=1.2+2.3+3.4+...+n(n+1)Sn=1.2+2.3+3.4+...+n(n+1) là: 

A.  n(n+1)(n+2)(n+3)6n(n+1)(n+2)(n+3)6

B.   n(n+1)(n+2)3n(n+1)(n+2)3

C.   n(n+1)(n+2)2n(n+1)(n+2)2

D.   Đáp số khác

Lời giải:

Đáp án: B

Giải thích:

Với =1 ta có: S =1.2=2, do đó đáp án A, C sai.

Ta chứng minh Sn=n(n+1)(n+2)3(*)Sn=n(n+1)(n+2)3(*) đúng với mọi số nguyên dương .

Giả sử (*)* đúng đến , tức là 

Sk=1.2+2.3+3.4+...+k(k+1)Sk=1.2+2.3+3.4+...+k(k+1)

=k(k+1)(k+2)3=k(k+1)(k+2)3

, ta chứng minh () đúng đến n=k+1n=k+1, tức là cần chứng minh

Sk+1Sk+1

=1.2+2.3+...+(k+1)(k+2)=1.2+2.3+...+(k+1)(k+2)

=(k+1)(k+2)(k+3)3=(k+1)(k+2)(k+3)3

Ta có: 

Sk+1=1.2+2.3+...+k(k+1)+(k+1)(k+2)=k(k+1)(k+2)3+(k+1)(k+2)=(k+1).(k2+2k3+k+2)

=(k+1)(k2+2k+3k+6)3=(k+1)(k2+5k+6)3=(k+1)(k+2)(k+3)3Sk+1=1.2+2.3+...+k(k+1)+

(k+1)(k+2)=k(k+1)(k+2)3+(k+1)(k+2)=  (k+1).k2+2k3+ k+2=(k+1)(k2+2k+3k+6)3=(k+1)(k2+5k+6)3=(k+1)(k+2)(k+3)3

Vậy (*)* đúng với mọi số nguyên dương n.

Câu 4: Một học sinh chứng minh mệnh đề ''8n+1''8n+1 chia hết cho 7,∀n∈N∗''(*)7,∀n∈N*''(*) như sau:

Giả sử (*)* đúng với n=kn=k tức là 8k8k+ 1 chia hết cho 7

Ta có: 8k8k+ 1 = 8(8k+1)(8k+1)- 7, kết hợp với giả thiết 8k8k+ 1 chia hết cho 7  nên suy ra được 8k+18k+1+ 1 chia hết cho 7. Vậy đẳng thức (*)* đúng với mọi n∈N∗n∈N*

 Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.   Học sinh trên chứng minh đúng.

B.    Học sinh chứng minh sai vì không có giả thiết qui nạp.

C.    Học sinh chứng minh sai vì không dùng giả thiết qui nạp.

D.   Học sinh không kiểm tra bước 1 (bước cơ sở) của phương pháp qui nạp

Lời giải:

Đáp án: D

Giải thích:

Quan sát lời giải trên ta thấy:

Học sinh thực hiện thiếu bước 1: Kiểm tra n=1n=1 thì 8181+1=9 không chia hết cho 7 nên mệnh đề đó sai.

Câu 5: Với n∈N∗n∈N* , ta xét các mệnh đề: PP :“ 7n7n + 5  chia hết cho 2”;

Q: “7n7n+ 5 chia hết cho 3” và R: “7n7n+ 5  chia hết cho 6”.

Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:

A.        3

B.         0

C.         1

D.        2

Lời giải:

Đáp án: A

Giải thích:

Bằng quy nạp toán học ta chứng minh được 7n7n + 5  chia hết cho 6.

Thật vậy, với n = 1 ta có: 7171 + 5  =12 ⋮⋮ 6

Giả sử mệnh đề đúng với n = k , nghĩa là 7k7k + 5  chia hết cho 6, ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với , nghĩa là phải chứng minh 7k+17k+1 + 5  chia hết cho 6.

Ta có: 7k+17k+1 + 5  =7(7k7k+5)−30

Theo giả thiết quy nạp ta có 7k7k+5chia hết cho 6, và 30 chia hết cho 6 nên 

7(7k7k+5)−30cũng chia hết cho 6.

Do đó mệnh đề đúng với n=k+1n=k+1.

Vậy 7n7n + 5  chi hết cho 6 với mọi n∈N∗n∈N*

Mọi số chia hết cho 6 đều chia hết cho 2 và chia hết cho 3.

Do đó cả 3 mệnh đề đều đúng.

Câu 6: Trong phương pháp quy nạp toán học, nếu ta giả sử mệnh đề đúng với n=kn=k thì ta cần chứng minh mệnh đề đúng đến:

A.   n=k−1n=k−1

B.    n=k−2n=k−2

C.    n=k+1n=k+1 D. n=k+2n=k+2

Lời giải:

Đáp án: C

Giải thích:

Nếu ta giả sử mệnh đề đúng với n=kn=k thì ta cần chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1n=k+1 

Câu 7: Đối với bài toán chứng minh P(n)P(n) đúng với mọi n≥pn≥p với p là số tự nhiên cho trước thì ở bước 1 ta cần chứng minh mệnh đề đúng với:

A.     n=1n=1

B.      n=kn=k

C.      n=k+1n=k+1

D.     n=pn=p 

Lời giải:

Đáp án: D

Giải thích:

Đối với bài toán chứng minh P(n)P(n) đúng với mọi n≥pn≥p với p là số tự nhiên cho trước thì:

-   Bước 1: Chứng minh P(n)P(n) đúng với n=pn=p

-   Bước 2: Với k≥pk≥p là một số nguyên dương tùy ý, giả sử P(n)P(n) đúng với n=kn=k, chứng minh P(n)P(n) cũng đúng khi n=k+1n=k+1.

Từ đó ta thấy, ở bước đầu tiên ta cần chứng minh mệnh đề đúng với n=pn=p chứ không phải n=1n=1.

Câu 8: Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến P(n)P(n) đúng với mọi số tự nhiên n≥pn≥p (p là một số tự nhiên). Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề P(n)P(n) đúng với n=kn=k. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.      k≠pk≠p

B.      k≥pk≥p

C.      k=pk=p

D.      k<pk<p

Lời giải:

Đáp án: B

Giải thích:

Ở bước 2 ta cần giả sử mệnh đề đúng với n=kn=k với k≥pk≥p.

Câu 9: Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến  đúng với mọi số tự nhiên n≥pn≥p ( p là một số tự nhiên), ta tiến hành hai bước:

-   Bước 1, kiểm tra mệnh đề P(n)P(n) đúng với n=pn=p

-   Bước 2, giả thiết mệnh đề P(n)P(n) đúng với số tự nhiên bất kỳ n=k≥pn=k≥p và phải chứng minh rằng nó cũng đúng với  n=k+1n=k+1

Trong hai bước trên:

A.   Chỉ có bước 1 đúng.

B.    Chỉ có bước 2 đúng.

C.    Cả hai bước đều đúng

D.   Cả hai bước đều sai

Lời giải:

Đáp án: C

Giải thích:

Đối với bài toán chứng minh P(n)P(n) đúng với mọi n≥pn≥p với p là số tự nhiên cho trước thì:

-   Bước 1: Chứng minh P(n)P(n) đúng với n=pn=p.

-   Bước 2: Với là một số nguyên dương tùy ý, giả sử đúng với , chứng minh cũng đúng khi n=k+1n=k+1.

Từ lý thuyết trên ta thấy cả hai bước trên đều đúng.

Câu 10: Trong phương pháp quy nạp toán học, ở bước 2, nếu ta giả sử mệnh đề đúng với n=k+1n=k+1 thì ta cần chứng minh mệnh đề đúng với:

A.   n=kn=k

B.    n=k+1n=k+1

C.    n=k+2n=k+2 D.  n=k+3n=k+3

Lời giải:

Đáp án: B

Giải thích:

Phương pháp quy nạp toán học:

-   Bước 1: Chứng minh P(n)P(n) đúng với n=1n=1.

-   Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý, giả sử P(n)P(n) đúng với n=kn=k, chứng minh P(n)P(n) cũng đúng khi n=k+1n=k+1.

Do đó ta thấy, ở bước 2, nếu ta giả sử mệnh đề đúng với thì ta cần chứng minh mệnh đề đúng với 1

Câu 11: Giả sử Q là tập con thật sự của tập hợp các số nguyên dương sao cho

a)    Qk Q

b)   n∈Q⇒n+1∈Q∀n≥kn∈Q⇒n+1∈Q∀n≥k

Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. A. Mọi số nguyên dương đều thuộc Q.

B.    Mọi số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng k đều thuộc Q.

C.    Mọi số nguyên bé hơn k đều thuộc Q.

D.   Mọi số nguyên đều thuộc Q.

Lời giải:

Đáp án: B

Giải thích:

Đáp án A: sai vì Q là tập con thực sự của N* nên tồn tại số nguyên dương không thuộc Q.

Đáp án B: đúng vì theo lý thuyết của phương pháp quy nạp toán học.

Đáp án C: sai vì theo giả thiết b thì phải là số tự nhiên lớn hơn k thuộc Q.

Đáp án D: sai vì số nguyên âm không thuộc Q.

Câu 12. Tìm số nguyên dương p nhỏ nhất để 2n>2n+12n>2n+1 với mọi số nguyên

A.      p = 5

B.      p = 3

C.      p = 4

D.      p = 2

Lời giải:

Đáp án: B

Giải thích:

Dễ thấy p = 2 thì bất đẳng thức 2p>2p+12p>2p+1 là sai nên loại ngay phương án D.

Xét với p = 3 ta thấy 2p>2p+12p>2p+1 là bất đẳng thức đúng. Bằng phương pháp quy nạp toán học chúng ta chứng minh được rằng 2n>2n+12n>2n+1 với mọi n≥3n≥3

Vậy p =  là số nguyên dương nhỏ nhất cần tìm.

Câu 13: Với mọi số nguyên dương n, tổng 2 + 5 + 8 + … + (3n – 1) là:

A.      n(3n+1)2n(3n+1)2

B.      n(3n−1)2n(3n−1)2

C.      n(3n+2)2n(3n+2)2

D.      3n223n22

Lời giải:

Đáp án: A

Giải thích:

Gọi Sn=2+5+8+...+(3n−1)Sn=2+5+8+...+(3n−1)

Với n = 1 ta có: S1=2S1=2 , ta loại được các đáp án B, C và D.

Ta chứng minh

 Sn=2+5+8+...+(3n−1)Sn=2+5+8+...+(3n−1)

=n(3n+1)2(*)=n(3n+1)2(*) đúng với mọi số nguyên dương n bằng phương pháp quy nạp toán học.

Giả sử (*)* đúng đến n=k(k≥1)n=k(k≥1) tức là 

Sk=2+5+8+...+(3k−1)Sk=2+5+8+...+(3k−1)

=k(3k+1)2=k(3k+1)2

Ta cần chứng minh (*) đúng đến n=k+1n=k+1, tức là cần chứng minh

Sk+1=2+5+...+(3(k+1)−1)Sk+1=2+5+...+(3(k+1)−1)

=(k+1).(3(k+1)+1)2=  (k+1).(3(k+1)+1)2

Thật vậy ta có:

Sk+1=2+5+...+(3(k+1)−1)=k(3k+1)2+(3(k+1)−1)=k(3k+1)2+(3k+2)=3k2+k+6k+42=3k

2+7k+42=(k+1)(3k+4)2Sk+1=2+5+...+(3(k+1)−1)= k(3k+1)2+(

3(k+1)−1)=k(3k+1)2+(3k+2)=  3k2+k+6k+42= 3k2+7k+42=(k+1)(3k+4)2

Do đó (*) đúng đến n=k+1n=k+1.

Vậy Sn=2+5+8+...+(3n−1)Sn=2+5+8+...+(3n−1)

=n(3n+1)2=n(3n+1)2  đúng với mọi số nguyên dương n.

Câu 14: Với mọi số nguyên dương n≥2n≥2, ta

có: (1−14)(1−19)...(1−1n2)=an+2bn1−141−19...1−1n2=an+2bn, trong đó a, b là các số nguyên. Tính các giá trị của biểu thức T=a2+b2T=a2+b2

A.      P = 5

B.      P = 9

C.      P = 20

D.      P = 36

Lời giải:

Đáp án: C

Giải thích:

Bằng cách phân tích số hạng đại diện, ta có: 

1−1k2=k−1k.k+1k1−1k2=k−1k.k+1k

Suy ra  (1−14)(1−19)...(1−1n2)=12.32.23.43...n−1n.n+1n1−141−19...1−1n2=12.32.23.43...n−1 n.n+1n

=n+12n=2n+24n=n+12n=2n+24n

Đối chiếu với đẳng thức đã cho ta có: a=2,b=4a=2,b=4

Suy ra P=a2+b2=20P=a2+b2=20

Câu 15: So sánh an+bn2an+bn2và (a+b2)na+b2n, với a≥0;b≥0,n∈N*a≥0;b≥0,n∈N* ta được:

A.      an+bn2<(a+b2)nan+bn2<a+b2n

B.      an+bn2≥(a+b2)nan+bn2≥a+b2n

C.      an+bn2=(a+b2)nan+bn2=a+b2n

D.      Không so sánh được

Lời giải:

Đáp án: B

Giải thích:

Với n=1n=1 ta có a+b2=a+b2a+b2=a+b2, do đó loại đáp án A.

Với n = 2, chọn bất kì a = 1, b = 2 ta có:

Đáp án C sai.

Ta chứng minh đáp án B đúng với mọi a≥0,b≥0,n∈N*a≥0,b≥0,n∈N* bằng phương pháp quy nạp.

Với n =1 mệnh đề đúng.

Giả sử mệnh đề đúng đến n=k(k≥1)n=k(k≥1)

⇔ak+bk2≥(a+b2)k(1)⇔ak+bk2≥a+b2k(1)

Ta phải chứng minh ak+1+bk+12≥(a+b2)k+1ak+1+bk+12≥a+b2k+1

 Thật vậy, ta nhân 2 vế của (1) với a+b2>0a+b2>0 ta có: ak+bk2.a+b2≥(a+b2)k.a+b2⇔ak+1+akb+abk+bk+14≥(a+b2)k+1(2)ak+bk2.a+b2≥a+b2 k.a+b2⇔ak+1+akb+abk+bk+14≥a+b2k+1(2)

Do a≥0,b≥0a≥0,b≥0. Nếu a≥b≥0⇒(ak−bk)(a−b)≥0a≥b≥0⇒(ak−bk)(a−b)≥0, nếu

0≤a≤b⇒(ak−bk)(a−b)≥0⇒(ak−bk)(a−b)≥0∀a≥0,b≥00≤a≤b⇒ak−bk(a−b)≥0⇒ak−bk(a−b )≥0∀a≥0,b≥0

⇒ak+1+bk+1≥akb+abk⇒ak+1+bk+1≥akb+abk

⇒ak+1+akb+abk+bk+14⇒ak+1+akb+abk+bk+14

≤ak+1+ak+1+bk+1+bk+14≤ak+1+ak+1+bk+1+bk+14

=ak+1+bk+12=ak+1+bk+12

Từ (2) suy ra ak+1+bk+12≥(a+b2)k+1ak+1+bk+12≥a+b2k+1, do đó mệnh đề đúng đến n=k+1n=k+1

Vậy mệnh đề đúng với mọi n,a,bn,a,b thỏa mãn điều kiện bài toán.

Câu 16: Với mỗi số nguyên dương n , đặt S=12+22+...+n2S=12+22+...+n2. Mệnh đề nào dưới đây là đúng

A.   S=n(n+1)(n+2)6S=n(n+1)(n+2)6

B.    S=n(n+1)(2n+2)3S=n(n+1)(2n+2)3

C.    S=n(n+1)(2n+1)6S=n(n+1)(2n+1)6

D.   S=n(n+1)(n+2)6S=n(n+1)(n+2)6

Lời giải:

Đáp án: C

Giải thích:

Cách 1: (trắc nghiệm) Kiểm tra tính đúng – sai của từng phương án đến khi tìm được phương án đúng thông qua một số giá trị cụ thể của nn.

+ Với n=1n=1 thì S=12=1S=12=1 (loại được các phương án B và D);

+ Với n=2n=2 thì S=12+22=5S=12+22=5 (loại được phương án A).

Vậy phương án đúng là C.

Cách 2. Chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Câu 17: Với mọi số tự nhiên n≥2n≥2 bất đẳng thức nào sau đây đúng?

A.        3n>4n+13n>4n+1

B.         3n>4n+23n>4n+2

C.         3n>3n+23n>3n+2

D.        Cả ba đều đúng

Lời giải:

Đáp án: C

Giải thích:

Với n=2n=2 ta có: 32=9>3.2+232=9>3.2+2

Ta chứng minh đáp án C đúng bằng phương pháp quy nạp toán học.

Bất đẳng thức đúng với n=2n=2, giả sử bất đẳng thức đúng đến n=k(k≥2)n=k(k≥2), tức là 3k>3k+23k>3k+2.

Ta chứng minh bất đẳng thức đúng đến n=k+1n=k+1, tức là cần phải chứng minh 

3k+1>3(k+1)+2=3k+53k+1>3(k+1)+2=3k+5

Ta có: 

3k+1=3.3k>3(3k+2)3k+1=3.3k>3(3k+2)

=9k+6>3k+5=9k+6>3k+5

Vậy bất đằng thức đúng với mọi số tự nhiên n≥2n≥2

Câu 18. Tính tổng:

1.4 + 2.7 + … +n.(3n +1)

A.     n.(n+1)2n.(n+1)2

B.      (n+1).(n+2)2(n+1).(n+2)2

C.      (n+1).(2n−3)2(n+1).(2n−3)2

D.     Đáp án  khác

Lời giải:

Đáp án: A

Giải thích:

Ta dùng phương pháp quy nạp để chứng minh với mọi số nguyên dương n thì:

 1.4+2.7++n(3n+1)1.4+2.7+ +n3n+1

=n(n+1)2=nn+12 (1)

Với n = 1: Vế trái của (1)  = 1. 4 = 4.

 Vế phải của (1) =1(1+1)2=4=1(1+1)2=4.

 Suy ra Vế trái của (1) = Vế phải của (1).  Vậy (1) đúng với n = 1.

Giả sử (1) đúng với n = k . Có nghĩa là ta có:

1.4+2.7++k(3k+1)1.4+2.7+  +k3k+1

=k(k+1)2 (2)=kk+12 2

Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k + 1  . Có nghĩa ta phải chứng minh:

1.4+2.7++k(3k+1)1.4+2.7+  +k3k+1

+(k+1)(3k+4)+k+13k+4

=(k+1)(k+2)2=k+1k+22

Thật vậy

k(k+1)2+(k+1)(3k+4)=kk+12+k+13k+4

=(k+1).[k.(k+1)+3k+4]=(k+1).[ k.(k+1)+3k+4] 

  =(k+1).(k2+4k+4)=(k+1).(k2+4k+4)                                                                  

=(k+1)(k+2)2=k+1k+22 (đpcm).

Vậy (1) đúng khi n =  k + 1 . Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.

Câu 19. Chứng minh n3+3n2+5nn3+3n2+5n chia hết cho 3

Lời giải: Đáp án: 

Giải thích:

Đặt un=n3+3n2+5nun=  n3+3n2+5n

Ta có u1=13+3.12+5.1=9u1=13+3.12+5.1=9 chia hết cho 3.

Giả sử uk=k3+3k2+5kuk=  k3+3k2+5k chia hết cho 3.

Ta cần chứng minh uk+1=(k+1)3+3(k+1)2+5(k+1)uk+1=k+13+3k+12+5k+1 chia hết cho 3.

Thật vậy, ta có:  uk+1uk+1

=k3+3k2+3k+1+3k2+6k+3=k3+3k2+3k+1+3k2+6k+3

+5k+5+5k+5

=k3+6k2+14k+9=k3+  6k2+ 14k+9

=(k3+3k2+5k)=(k3+3k+25k)

+(3k2+9k+9)+  (3k2+  9k+ 9)

=uk+3(k2+3k+3)=uk+3k2+3k+3.

 Vì ukuk và 3(k2+3k+3)3k2+3k+3 đều chia hết cho 3, nên uk+1uk+1 cũng chia hết cho

3.

Vậy với mọi số nguyên dương n thì unun chia hết cho 3.

Câu 20: Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 2n+1>n2+3n2n+1>n2+3n

A.     n≥3n≥3

B.      n≥5n≥5

C.      n≥6n≥6 D.  n≥4n≥4

Lời giải:

Đáp án: D

Giải thích:

Kiểm tra tính đúng – sai của bất đẳng thức với các trường hợp = 1,2,3,4, ta dự đoán được 2n+1>n2+3n2n+1>n2+3n, với n≥n≥4. Ta chứng minh bất đẳng thức này bằng phương pháp quy nạp toán học. Thật vây:

-   Bước 1: Với n=4n=4 thì vế trái bằng 24+1=25=3224+1=25=32, còn vế phải bằng 42+3.4=2842+3.4=28

Do 32>28 nên bất đẳng thức đúng với n=4n=4

-   Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với n=k≥4n=k≥4, nghĩa là 2k+1>k2+3k2k+1>k2+3k

Ta phải chứng minh bất đẳng thức cũng đúng với n=k+1n=k+1, tức là phải chứng minh 2(k+1)+1>(k+1)2+3(k+1)2(k+1)+1>(k+1)2+3(k+1) hay 2k+2>k2+5k+42k+2>k2 +5k+4 

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có 2k+1>k2+3k2>k+1k2+3k

Suy ra 2.2k+1>2(k2+3k)2.2k+1>2(k2+3k) hay 2k+2>2k2+6k2k+2>2k2+6k

Mặt khác:

2k2+6k−(k2+5k+4)2k2+6k−(k2+5k+4)

=k2+k−4≥42+4−4=16=k2+k−4≥42+4−4=16 với mọi k≥4k≥4

Do đó 2k+2>2(k2+3k)>k2+5k+42k+2>2(k2+3k)>k2+5k+4 hay bất đẳng thức đúng với n=k+1n=k+1.

Suy ra bất đẳng thức được chứng minh.

Vậy phương án đúng là D.

Câu21:Chotổng Sn=11.2+12.3+13.4+...+1n(n+1)Sn=11.2+12.3+13.4+...+1n(n+1).

Mệnh đề nào đúng?

A.   Sn=1n+1Sn=1n+1

B.    Sn=nn+1Sn=nn+1

C.    Sn=n+1n+2Sn=n+1n+2

D.   Sn=nn+2Sn=nn+2

Lời giải:

Đáp án: B

Giải thích: Cách 1:

Bằng phương pháp quy nạp toán học, ta sẽ chứng minh được 

Sn=11.2+12.3+13.4+...+1n(n+1)Sn=11.2+12.3+13.4+...+1n(n+1)

= nn+1(*)nn+1(*)

Thật vậy, với n=1n=1 ta có S1=11.2=12=11+1S1=11.2=12=11+1

Giả sử (*)(*) đúng đến n=k(k≥1)n=k(k≥1) khi đó ta có:

Sk=11.2+12.3+13.4+...+1k(k+1)Sk=11.2+12.3+13.4+...+1k(k+1)=kk+1=kk+1, ta chứng minh (*) đúng đến n=k+1n=k+1, tức là cần chứng minh

Sk=11.2+12.3+13.4+...+1k(k+1)Sk=11.2+12.3+13.4+...+1k(k+1)

=k+1k+2=k+1k+2

Ta có:

Sk+1Sk+1

=11.2+12.3+...+1k(k+1)+1(k+1)(k+2)=11.2+12.3+...+1k(k+1)+1(k+1)(k+2)

=kk+1+1(k+1)(k+2)=kk+1+1(k+1)(k+2)

=k(k+2)+1(k+1)(k+2)=k(k+2)+1(k+1)(k+2)

=k2+2k+1(k+1)(k+2)=k2+2k+1(k+1)(k+2)

=(k+1)2(k+1)(k+2)=(k+1)2(k+1)(k+2)

=k+1k+2=k+1k+2

Vậy  đúng với mọi số nguyên dương .

Câu22: Đặt Sn=11.3+13.5+...+1(2n−1)(2n+1)Sn=11.3+13.5+...+1(2n−1)(2n+1) với n

N*nN*. Mệnh đề nào dưới đây đúng

A.   Sn=n+12(2n+1)Sn=n+12(2n+1)

B.    Sn=3n−14n+2Sn=3n−14n+2

C.    Sn=n+26n+3Sn=n+26n+3

D.   Sn=n2n+1Sn=n2n+1

Lời giải:

Đáp án: C

Giải thích:

Cách 1: Rút gọn biểu thức SnSn dựa vào việc phân tích phần tử đại diện.

Với mọi số nguyên dương , ta

có 1(2k−1)(2k+1)1(2k−1)(2k+1)=12(12k−1−12k+1)=1212k−1−12k+1

Do đó:

SnSn

=12(1−13+...+12n−1−12n+1)=121−13+...+12n−1−12n+1

=12(1−12n+1)=n2n+1=121−12n+1=n2n+1

Vậy phương án đúng là phương án C.

Cách 2. Dùng phương pháp quy nạp chứng minh C đúng.

Câu 23: Với n∈N∗n∈N*, hãy rút gọn biểu thức

 S=1.4+2.7+...+n(3n+1)S=1.4+2.7+...+n(3n+1)

A.        S=n(n+1)2S=n(n+1)2 

B.        S=n(n+2)2S=n(n+2)2

C.        S=n(n+1)S=n(n+1) D.  S=2n(n+1)S=2n(n+1)

Lời giải:

Đáp án: A

Giải thích:

Để chọn được S đúng, chúng ta có thể dựa vào một trong ba cách sau đây:

Cách 1: Kiểm tra tính đúng –sai của từng phương án với những giá trị của .

Với n=1 thì S=1.4 = 4 (loại ngay được phương án B và C).

Với n=2n=2 thì 

S =1.4+2.7=18 (loại được phương án D).

Cách 2: Bằng cách tính S trong các trường hợp n= 1, S= 4; n=2, S=18; n= 3, S= 48 ta dự đoán được công thức S=n(n+1)2S=n(n+1)2.

Cách 3: Ta tính  dựa vào các tổng đã biết kết quả như 1+2+...+n=n(n+1)21+2+...+n=n(n+1)2

2 và 12+22+...+n2=n(n+1)(2n+1)612+22+...+n2=n(n+1)(2n+1)6

 Ta có:

 SS=3(12+22+...+n2)=3(12+22+...+n2)

+(1+2+...+n)+(1+2+...+n)

=n(n+1)2=n(n+1)2

Câu24:  Kíhiệu k!=k(k−1)...2.1,∀k∈N∗k!=k(k−1)...2.1,∀k∈N* đặt Sn=1.1!+2.2!+...+n.

n!Sn=1.1!+2.2!+...+n.n! Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. Sn=2.n!Sn=2.n!

B.    Sn=(n+1)!−1Sn=(n+1)!−1

C.    Sn=(n+1)!Sn=(n+1)!

D.   Sn=(n+1)!+1Sn=(n+1)!+1

Lời giải:

Đáp án: B

Giải thích:

Cách 1: Kiểm nghiệm từng phương án đúng đối với những giá trị cụ thể của n.

Với n=1,S1=1.1!=1n=1,S1=1.1!=1 (Loại ngay được các phương án A, C, D).

Câu 25: Chọn mệnh đề đúng: Với mọi n∈N*n∈N* thì:

A.      (13n−1)⋮13(13n−1)⋮13

B.      (13n−1)⋮8(13n−1)⋮8

C.      (13n−1)⋮12(13n−1)⋮12

D.      (13n−1)⋮7(13n−1)⋮7

Lời giải:

Đáp án: C

Giải thích:

Với n=1n=1 ta có 131−1=12⋮12131−1=12⋮12, ta sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh 13n−113n−1chia hết cho 12 với mọi n∈N*n∈N*

Giả sử khẳng định trên đúng đến n=k(k≥1)n=k(k≥1), tức là (13k−1)⋮12(13k−1)⋮12, ta chứng minh đúng đến n=k+1n=k+1, tức là 13k+1−113k+1−1 cũng chia hết cho 12

Ta có: 13k+1−1=13.13k−13+1213k+1−1=13.13k−13+12

=13(13k−1)+12=13(13k−1)+12

Theo giả thiết quy nạp ta có: (13k−1)⋮12(13k−1)⋮12  và 12⋮1212⋮  12 nên

13(13k−1)+12⋮1213(13k−1)+12⋮12

⇒(13k+1−1)⋮12⇒(13k+1−1)⋮12

Vậy (13n−1)⋮12(13n−1)⋮12, ∀n∈N*∀n∈N*

Câu 26: Bất đẳng thức nào sau đây đúng? Với mọi số tự nhiên n thỏa n≥3n≥3 thì:

A.      2n<n2n<n

B.      2n<2n2n<2n

C.      2n<n+12n<n+1

D.      2n>2n+12n>2n+1

Lời giải:

Đáp án: D

Giải thích:

Với n=3n=3 ta loại được đáp án A, B và C.

Ta chứng minh đáp án D đúng bằng phương pháp quy nạp toán học.

Bất đẳng thức 2n>2n+12n>2n+1 đúng với n=3n=3 vì  vì 8>7.

Giả sử bất đẳng thức đúng đến n=k≥3n=k≥3, tức là , ta chứng minh bất đẳng thức đúng đến n=k+1n=k+1, tức là cần chứng minh 2k+1>2(k+1)+1=2k+32k+1>2(k+1)+1=2k+3

Ta có: 2k+1=2.2k>2(2k+1)2k+1=2.2k>2(2k+1)

=4k+2=2k+3+2k−1=4k+2=2k+3+2k−1

Vì : k≥32k−1≥5>0k≥3 2k−1≥5>0

Do đó bất đẳng thức đúng đến n=k+1n=k+1

Vậy BĐT đúng với mọi số tự nhiên n≥3n≥3

Câu 27. Bất đẳng thức nào sau đây đúng? Với mọi số nguyên dương n thì:

Lời giải:

Đáp án: C

Giải thích:

A.   300.

B.    212.

C.   250.

D.   249.

Lời giải:

Đáp án: C

Giải thích:

Vậy (*) đúng với n = k + 1. Kết luận (*) đúng với mọi số nguyên dương n.

D.    Dãy số giảm và bị chặn trên.

Lời giải:

Đáp án: A

A.   Dãy số bị chặn trên

B.    Dãy số bị chặn dưới.

C.   Dãy số bị chặn

D.   Tất cả sai.

Lời giải:

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải:

Đáp án: B

Giải thích:

A.   Dãy số không tăng, không giảm

B.    Dãy số không đổi.

Lời giải:

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải:

Đáp án: C

Giải thích:

Đáp án: A

Giải thích: