b) Dự đoán kết quả tổng quát và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

a) $2+5+8+....+3n-1={\displaystyle \frac{n(3n+1)}{2}}$;

b) ${\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{8}}+...+{\displaystyle \frac{1}{2^n}}={\displaystyle \frac{2^n-1}{2^n}}$;

c) $1^2+2^2+3^2+...+n^2$ $={\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}$.

Phương pháp giải:

Vận dụng phương pháp chứng minh quy nạp toán học.

Bước 1: Chứng minh mệnh đề đúng với $n=1$.

Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng đến $n=k\ge 1$ (giả thiết quy nạp). Chứng minh đẳng thức đúng đến $n=k+1$.

Khi đó đẳng thức đúng với mọi $n\in N^{\ast }$.

Lời giải:

a)

Với $n=1$, vế trái chỉ có một số hạng là $2$, vế phải bằng ${\displaystyle \frac{1.(3.1+1)}{2}}=2$.

Do đó hệ thức a) đúng với $n=1$.

Đặt vế trái bằng $S_n$

Giả sử đẳng thức a) đúng với $n=k\ge 1$, tức là

$S_k=2+5+8+\dots +3k–1$ $={\displaystyle \frac{k(3k+1)}{2}}$

Ta phải chứng minh rằng a) cũng đúng với $n=k+1$, nghĩa là phải chứng minh

$S_{k+1}=2+5+8+\dots .+3k-1+(3(k+1)–1)$ $={\displaystyle \frac{(k+1)(3(k+1)+1)}{2}}$

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:

$S_{k+1}=[2+5+8+\dots .+3k-1]+(3(k+1)–1)$

$=S_k+3k+2$

$={\displaystyle \frac{k(3k+1)}{2}}+3k+2$

$={\displaystyle \frac{3k^2+k+6k+4}{2}}$

$=\frac{3k^2+7k+4}{2}$ $=\frac{\left(k+1\right)\left(3k+4\right)}{2}$ $=\frac{\left(k+1\right)\left(3k+3+1\right)}{2}$ $=\frac{\left(k+1\right)\left[3\left(k+1\right)+1\right]}{2}$

(điều phải chứng minh)

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức a) đúng với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

b)

Với $n=1$, vế trái bằng ${\displaystyle \frac{1}{2}}$, vế phải bằng ${\displaystyle \frac{1}{2}}$, do đó hệ thức đúng với $n=1$.

Đặt vế trái bằng $S_n$.

Giả sử hệ thức b) đúng với $n=k\ge 1$, tức là

$S_k={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{8}}+...+{\displaystyle \frac{1}{2^k}}$ $={\displaystyle \frac{2^k-1}{2^k}}$

Ta phải chứng minh $S_{k+1}={\displaystyle \frac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}}$.

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:

$S_{k+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{8}}+...+{\displaystyle \frac{1}{2^k}}+{\displaystyle \frac{1}{2^{k+1}}}$

$=S_k+{\displaystyle \frac{1}{2^{k+1}}}$

$={\displaystyle \frac{2^k-1}{2^k}}+{\displaystyle \frac{1}{2^{k+1}}}$ $={\displaystyle \frac{2\left(2^k-1\right)+1}{2^{k+1}}}$ $={\displaystyle \frac{2^{k+1}-2+1}{2^{k+1}}}={\displaystyle \frac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}}$

(điều phải chứng minh)

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức b) đúng với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

c)

Với $n=1$, vế trái bằng $1$, vế phải bằng ${\displaystyle \frac{1(1+1)(2+1)}{6}}=1$ nên hệ thức c) đúng với $n=1$.

Đặt vế trái bằng $S_n$.

Giả sử hệ thức c) đúng với $n=k\ge 1$, tức là

$S_k=1^2+2^2+3^2+...+k^2$ $={\displaystyle \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}}$

Ta phải chứng minh $S_{k+1}={\displaystyle \frac{(k+1)(k+2)(2(k+1)+1)}{6}}$

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có: 

$S_{k+1}=1^2+2^2+3^2+...+k^2+(k+1{)}^2$

$=S_k+{\left(k+1\right)}^2$

$={\displaystyle \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}}+(k+1{)}^2$

$\begin{array}{l}=\frac{k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)+6{\left(k+1\right)}^2}{6}\\ =\frac{\left(k+1\right)\left[k\left(2k+1\right)+6\left(k+1\right)\right]}{6}\\ =\frac{\left(k+1\right)\left(2k^2+k+6k+6\right)}{6}\\ =\frac{\left(k+1\right)\left(2k^2+7k+6\right)}{6}\\ =\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(2k+3\right)}{6}\\ =\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(2k+2+1\right)}{6}\\ =\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left[2\left(k+1\right)+1\right]}{6}\end{array}$

(đpcm)

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức c) đúng với mọi  $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

a) $n^3+3n^2+5n$ chia hết cho $3$;

b) $4^n+15n-1$ chia hết cho $9$;

c) $n^3+11n$ chia hết cho $6$.

Phương pháp giải:

Vận dụng phương pháp chứng minh quy nạp toán học.

Bước 1: Chứng minh mệnh đề đúng với $n=1$.

Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng đến $n=k\ge 1$ (giả thiết quy nạp). Chứng minh đẳng thức đúng đến $n=k+1$.

Khi đó đẳng thức đúng với mọi $n\in N^{\ast }$.

Lời giải:

a)

Đặt $S_n=n^3+3n^2+5n$

Với $n=1$ thì $S_1=1^3+{3.1}^2+5.1=9$ chia hết cho $3$

Giả sử với $n=k\ge 1$, $S_k=(k^3+3k^2+5k)⋮$ $3$

Ta phải chứng minh rằng $S_{k+1}$$⋮$ $3$

Thật vậy :

$S_{k+1}={\left(k+1\right)}^3+3{\left(k+1\right)}^2+5\left(k+1\right)$

$=k^3+3k^2+3k+1+3k^2+6k+3+5k+5$

$=(k^3+3k^2+5k)+3k^2+9k+9$

$=S_k+3(k^2+3k+3)$

Theo giả thiết quy nạp thì $S_k$ $⋮$ $3$

Mà $3(k^2+3k+3)⋮$ $3$ nên $S_{k+1}⋮$ $3$.

Vậy $n^3+3n^2+5n$ chia hết cho $3$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Cách khác:

Chứng minh trực tiếp.

Ta có:

$\begin{array}{l}{n}^3+3n^2+5n\\ =n.(n^2+3n+5)\\ =n.(n^2+3n+2+3)\\ =n.(n^2+3n+2)+3n\\ =n.\left(n+1\right)\left(n+2\right)+3n.\end{array}$

Mà: $n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮3$ (tích của ba số tự nhiên liên tiếp)

và $3n⋮3$

$\Rightarrow n^3+3n^2+5n=n(n+1)(n+2)+3n⋮3.$

Vậy $n^3+3n^2+5n$ chia hết cho $3$ với mọi $\mathrm{\forall }n\in N\ast$.

b)

Đặt $S_n=4^n+15n-1$

Với $n=1,S_1=4^1+15.1-1=18$ nên $S_1⋮$ $9$

Giả sử với $n=k\ge 1$ thì $S_k=4^k+15k-1$ chia hết cho $9$.

Ta phải chứng minh $S_{k+1}⋮$ $9$.

Thật vậy, ta có:

$S_{k+1}=4^{k+1}+15\left(k+1\right)-1$ 

$={4.4}^k+15k+15-1$

$={4.4}^k+15k+14$

$={4.4}^k+60k-45k+18-4$

$=\left({4.4}^k+60k-4\right)-45k+18$

$=4(4^k+15k-1)-45k+18$

$=4S_k-9\left(5k-2\right)$

Theo giả thiết quy nạp thì $S_k⋮$ $9$  nên $4S_k⋮9$

Mặt khác $9(5k-2)⋮$ $9$, nên $S_{k+1}⋮9$

Vậy $(4^n+15n-1)⋮$ $9$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

c)

Đặt $S_n=n^3+11n$

Với $n=1$, ta có $S_1=1^3+11.1=12$ nên $S_1$ $⋮$ $6$

Giả sử với $n=k\ge 1$ , $S_k=k^3+11k$ chia hết cho 6.

Ta phải chứng minh $S_{k+1}$$⋮$ 6

Thật vậy, ta có 

$S_{k+1}={\left(k+1\right)}^3+11\left(k+1\right)$

$=k^3+3k^2+3k+1+11k+11$

$=\left(k^3+11k\right)+\left(3k^2+3k+12\right)$

$=(k^3+11k)+3(k^2+k+4)$

$=S_k+3(k^2+k+4)$

Theo giả thiết quy nạp thì  $S_k$$⋮$ $6$, mặt khác $k^2+k+4=k(k+1)+4$ là số chẵn nên $3(k^2+k+4)$ $⋮$ $6$, do đó $S_{k+1}$$⋮$ $6$

Vậy $n^3+11n$ chia hết cho $6$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Cách khác:

Chứng minh trực tiếp.

Ta có: 

$\begin{array}{l}{n}^3+11n\\ =n^3--n+12n\\ =n(n^2--1)+12n\\ =n\left(n--1\right)\left(n+1\right)+12n.\end{array}$

Vì $n\left(n--1\right)\left(n+1\right)$ là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên có ít nhất 1 thừa số chia hết cho $2$ và 1 thừa số chia hết cho $3$

$n(n-1)(n+1)⋮6$

Lại có: $12n⋮6$

$\Rightarrow n^3+11n=n\left(n--1\right)\left(n+1\right)+12n⋮6.$

a) Tính $S_1,S_2,S_3$;

b) Dự đoán công thức tính tổng $S_n$ và chứng minh bằng quy nạp.

Phương pháp giải:

a) Tính các giá trị $S_1;S_2;S_3$ bằng cách thay lần lượt $n=1;n=2;n=3$.

b) Dựa vào các giá trị $S_1;S_2;S_3$ tính được ở trên, dự đoán tổng $S_n$.

Chứng minh kết quả vừa dự đoán bằng phương pháp quy nạp toán học.

Lời giải:

a)

Ta có:

$\begin{array}{rl}& S_1=\frac{1}{1.2}=\frac{1}{2}\\ & S_2=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}=\frac{2}{3}\\ & S_3=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}=\frac{3}{4}\end{array}$

b)

Từ câu a) ta dự đoán ${\displaystyle S_n=\frac{n}{n+1}(1)}$, với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$

Ta sẽ chứng minh đẳng thức (1) bằng phương pháp quy nạp

Khi $n=1$, vế trái là ${\displaystyle S_1=\frac{1}{2}}$ vế phải bằng ${\displaystyle \frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}}$.

Vậy đẳng thức (1) đúng.

Giả sử đẳng thức (1) đúng với $n\ge 1$, tức là 

${\displaystyle S_k=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{k(k+1)}=\frac{k}{k+1}}$

Ta phải chứng minh đẳng thức đúng với $n=k+1$, nghĩa là phải chứng minh: ${\displaystyle S_{k+1}=\frac{k+1}{k+2}}$

Ta có :

${\displaystyle S_{k+1}=S_k+\frac{1}{(k+1)(k+2)}}$${\displaystyle =\frac{k}{k+1}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}}$

$={\displaystyle \frac{k\left(k+2\right)+1}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}}$ ${\displaystyle =\frac{k^2+2k+1}{(k+1)(k+2)}}$

$=\frac{{\left(k+1\right)}^2}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}$ $=\frac{k+1}{k+2}$

tức là đẳng thức (1) đúng với $n=k+1$.

Vậy đẳng thức (1) đã được chứng minh.

Chú ý:

Một cách dự đoán khác các em có thể tham khảo thêm như sau:

$\begin{array}{l}{S}_1=\frac{1}{1.2}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2}\\ S_2=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}=\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)=1-\frac{1}{3}\\ S_3=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}=\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)=1-\frac{1}{4}\end{array}$

Dự đoán: $S_n=1-\frac{1}{n+1}$ (1)

Ta chứng minh đẳng thức (1) bằng quy nạp

+ Với $n=1$ thì (1) đúng.

+ Giả sử (1) đúng với $n=k$, tức là

$$S_k=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{k\left(k+1\right)}=1-\frac{1}{k+1}$$

Khi đó,

$\Rightarrow \left(1\right)\text{đúng với }n=k+1,\text{do đó đúng }\mathrm{\forall }n\in N\ast .$

Ta chứng minh khẳng định đúng với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $n\ge 4$.

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh.

Lời giải:

Kí hiệu số đường chéo của đa giác $n$ cạnh là $C_n$.

Ta chứng minh ${\displaystyle C_n=\frac{n(n-3)}{2}}$ (1) với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $n\ge 4$.

*) Với $n=4$, ta có tứ giác nên nó có 2 đường chéo.

Mặt khác ${\displaystyle \frac{4(4-3)}{2}=2}$ nên (1) đúng với $n=4$.

Vậy khẳng định đúng với $n=4$.

*) Giả sử (1) đúng với $n=k\ge 4$, tức là $C_k={\displaystyle \frac{k(k-3)}{2}}$