Lời giải:

$\begin{array}{rl}& f(1)=\frac{1}{2.1-1}=\frac{1}{2-1}=\frac{1}{1}=1\\ & f(2)=\frac{1}{2.2-1}=\frac{1}{4-1}=\frac{1}{3}\\ & f(3)=\frac{1}{2.3-1}=\frac{1}{6-1}=\frac{1}{5}\\ & f(4)=\frac{1}{4.2-1}=\frac{1}{8-1}=\frac{1}{7}\\ & f(5)=\frac{1}{5.2-1}=\frac{1}{10-1}=\frac{1}{9}\end{array}$

Lời giải:

- Hàm số cho bằng bảng

Ví dụ:

- Hàm số cho bằng công thức:
Ví dụ: ${\displaystyle y=\frac{2x+1}{x}}$.

a) Dãy nghịch đảo của các số tự nhiên lẻ;

b) Dãy các số tự nhiên chia cho $3$ dư $1$.

Lời giải:

a)

Năm số hạng đầu: 

${\displaystyle \frac{1}{1};\frac{1}{3};\frac{1}{5};\frac{1}{7};\frac{1}{9}}$

Số hạng tổng quát của dãy số: ${\displaystyle \frac{1}{2n-1}}$ $(n\in \mathbb{N}\ast )$.

b)

Năm số hạng đầu: $1;4;7;10;13$

Số hạng tổng quát của dãy số: $3n-2$ với $(n\in N\ast )$.

Lời giải:

Mười số hạng đầu của dãy Phi-bô-na-xi: 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55.

Câu hỏi 5 trang 89 SGK Đại số và Giải tích 11: Cho các dãy số $\left(u_n\right)$ và $\left(v_n\right)$ và  với $\left(u_n\right)=1+\frac{1}{n}$; $v_n=5n-1$

a) Tính $u_{n+1}$, $v_{n+1}$;

b) Chứng minh  $u_{n+1}<u_n$ và $v_{n+1}>v_n$ , với mọi $n\in N\ast$.

Phương pháp giải:

a) Thay giá trị $n+1$ vào hai dãy tìm $u_{n+1}$, $v_{n+1}$

b) Xét hiệu $u_{n+1}-u_n,v_{n+1}-v_n$

Lời giải:

a) $u_n=1+$$\frac{1}{n+1}$; $v_{n+1}=5(n+1)-1=5n+4$

b) Ta có:

$u_{n+1}-u_n=(1+\frac{1}{n+1})-(1+\frac{1}{n})$ $=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}=\frac{n-\left(n+1\right)}{n\left(n+1\right)}=\frac{-1}{n(n+1)}<0$

⇒ $u_{n+1}-u_n<0$ ⇒ $u_{n+1}<u_n$ , $\mathrm{\forall }n\in N\ast$.

$v_{n+1}-v_n$ $=(5n+4)-(5n-1)=5>0$

⇒ $v_{n+1}-v_n>0$  ⇒ $v_{n+1}>v_n$  ,$\mathrm{\forall }n\in N\ast$.

a) $u_n={\displaystyle \frac{n}{2^n-1}}$;

b) $u_n={\displaystyle \frac{2^n-1}{2^n+1}}$;

c) $u_n=(1+{\displaystyle \frac{1}{n}}{)}^n$;

d) $u_n={\displaystyle \frac{n}{\sqrt{n^2+1}}}$.

Phương pháp giải:

a) Muốn viết 5 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho ta tính $u_n$ lần lượt tại $n=1;2;3;4;5$.

b) Muốn viết 5 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho ta tính $u_n$ lần lượt tại $n=1;2;3;4;5$.

c) Muốn viết 5 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho ta tính $u_n$ lần lượt tại $n=1;2;3;4;5$.

d) Muốn viết 5 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho ta tính $u_n$ lần lượt tại $n=1;2;3;4;5$.

Lời giải:

a) Ta có: $u_1={\displaystyle \frac{1}{2^1-1}}=1$; $u_2={\displaystyle \frac{2}{2^2-1}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$; $u_3={\displaystyle \frac{3}{2^3-1}}={\displaystyle \frac{3}{7}}$; $u_4={\displaystyle \frac{4}{2^4-1}}={\displaystyle \frac{4}{15}}$; $u_5={\displaystyle \frac{5}{2^5-1}}={\displaystyle \frac{5}{31}}$

Năm số hạng đầu của dãy số là:

$u_1=1$; $u_2={\displaystyle \frac{2}{3}}$, $u_3={\displaystyle \frac{3}{7}};u_4={\displaystyle \frac{4}{15}};u_5={\displaystyle \frac{5}{31}}$

$u_n={\displaystyle \frac{2^n-1}{2^n+1}}$

b)

Ta có: $u_1={\displaystyle \frac{2^1-1}{2^1+1}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$; $u_2={\displaystyle \frac{2^2-1}{2^2+1}}={\displaystyle \frac{3}{5}}$; $u_3={\displaystyle \frac{2^3-1}{2^3+1}}={\displaystyle \frac{7}{9}}$; $u_4={\displaystyle \frac{2^4-1}{2^4+1}}={\displaystyle \frac{15}{17}}$; $u_5={\displaystyle \frac{2^5-1}{2^5+1}}={\displaystyle \frac{31}{33}}$.

Năm số hạng đầu của dãy số là $u_1={\displaystyle \frac{1}{3}},u_2={\displaystyle \frac{3}{5}};u_3={\displaystyle \frac{7}{9}};u_4={\displaystyle \frac{15}{17}};u_5={\displaystyle \frac{31}{33}}$

c)

Ta có: $u_1={\left(1+{\displaystyle \frac{1}{1}}\right)}^1=2$, $u_2={\left(1+{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2={\displaystyle \frac{9}{4}}$; $u_3={\left(1+{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^3={\displaystyle \frac{64}{27}}$; $u_4={\left(1+{\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^4={\displaystyle \frac{625}{256}}$; $u_5={\left(1+{\displaystyle \frac{1}{5}}\right)}^5={\displaystyle \frac{7776}{3125}}$.

Năm số hạng đầu của dãy số là

$u_1=2$; $u_2={\displaystyle \frac{9}{4}};u_3={\displaystyle \frac{64}{27}};u_4={\displaystyle \frac{625}{256}};u_5={\displaystyle \frac{7776}{3125}}$

d)

Ta có: $u_1={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1^2+1}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$, $u_2={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{2^2+1}}}={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}}$, $u_3={\displaystyle \frac{3}{\sqrt{3^2+1}}}={\displaystyle \frac{3}{\sqrt{10}}}$, $u_4={\displaystyle \frac{4}{\sqrt{4^2+1}}}={\displaystyle \frac{4}{\sqrt{17}}}$, $u_5={\displaystyle \frac{5}{\sqrt{5^2+1}}}={\displaystyle \frac{5}{\sqrt{26}}}$.

Năm số hạng đầu của dãy số là

$u_1={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}};u_2={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}};u_3={\displaystyle \frac{3}{\sqrt{10}}};$ $u_4={\displaystyle \frac{4}{\sqrt{17}}};u_5={\displaystyle \frac{5}{\sqrt{26}}}$.

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.

b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp.

Phương pháp giải:

a) Để viết năm số hạng đầu tiên của dãy số ta tính $u_n$ lần lượt tại $n=1;2;3;4$.

b)

Dựa vào các giá trị $u_1;u_2;u_3;u_4;u_5$ dự đoán công thức tổng $u_n$.

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học.

Bước 1: Chứng minh đẳng thức đã cho đúng với $n=1$.

Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng đến $n=k\ge 1$ (giả thiết quy nạp). Chứng minh đẳng thức đúng đến $n=k+1$.

Lời giải:

a) Ta có:

$u_2=\sqrt{1+u_1^2}=\sqrt{1+3^2}=\sqrt{10}$

$u_3=\sqrt{1+u_2^2}=\sqrt{1+(\sqrt{10}{)}^2}=\sqrt{11}$

$u_4=\sqrt{1+u_3^2}=\sqrt{1+(\sqrt{11}{)}^2}=\sqrt{12}$

$u_5=\sqrt{1+u_4^2}=\sqrt{1+(\sqrt{12}{)}^2}=\sqrt{13}$

Năm số hạng đầu của dãy số là $u_1=3;u_2=\sqrt{10};u_3=\sqrt{11};$ $u_4=\sqrt{12};u_5=\sqrt{13}$

b)

Ta có:

$u_1=3=\sqrt{9}=\sqrt{1+8}$

$u_2=\sqrt{10}=\sqrt{2+8}$

$u_3=\sqrt{11}=\sqrt{3+8}$

$u_4=\sqrt{12}=\sqrt{4+8}$

$u_5=\sqrt{13}=\sqrt{5+8}$

...........

Từ trên ta dự đoán $u_n=\sqrt{n+8}$, với $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$   (1)

Chứng minh công thức (1) bằng phương pháp quy nạp:

- Với $n=1$, rõ ràng công thức (1) là đúng.

- Giả sử (1) đúng với $n=k\ge 1$, tức là có  $u_k=\sqrt{k+8}$ với $k\ge 1$, ta cần chứng minh $u_{k+1}=\sqrt{(k+1)+8}$

Theo công thức dãy số, ta có:

$u_{k+1}=\sqrt{1+u_k^2}$ $=\sqrt{1+(\sqrt{k+8}{)}^2}$

$=\sqrt{1+k+8}$ $=\sqrt{(k+1)+8}$.

Như vậy công thức (1) đúng với $n=k+1$.

Vậy công thức (1) được chứng minh.

a) $u_n={\displaystyle \frac{1}{n}}-2$;

b) $u_n={\displaystyle \frac{n-1}{n+1}}$;

c) $u_n=(-1{)}^n(2^n+1)$;

d) $u_n={\displaystyle \frac{2n+1}{5n+2}}$.

Phương pháp giải:

a) Để xét tính tăng, giảm có dãy số ta có 2 cách sau: 

Cách 1: Xét hiệu $u_{n+1}-u_n$

+) Nếu hiệu trên lớn hơn $0$ chứng tỏ $u_{n+1}>u_n$ do đó dãy số là dãy tăng.

+) Nếu hiệu trên nhỏ hơn $0$ chứng tỏ $u_{n+1}<u_n$ do đó dãy số là dãy giảm.

Cách 2: Xét thương ${\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n}}$

+) Nếu thương trên lớn hơn $1$ chứng tỏ $u_{n+1}>u_n$ do đó dãy số là dãy tăng.

+) Nếu thương trên nhỏ hơn $1$ chứng tỏ $u_{n+1}<u_n$ do đó dãy số là dãy giảm.

d) Xét thương ${\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n}}$ (vì $u_n>0$  với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ ) rồi so sánh với $1$.

Lời giải:

a) Xét hiệu

$u_{n+1}-u_n={\displaystyle \frac{1}{n+1}}-2-\left({\displaystyle \frac{1}{n}}-2\right)$ $={\displaystyle \frac{1}{n+1}}-{\displaystyle \frac{1}{n}}$

$=\frac{n-\left(n+1\right)}{n\left(n+1\right)}=\frac{-1}{n\left(n+1\right)}<0,\mathrm{\forall }n\in N^{\ast }$

$\Rightarrow u_{n+1}-u_n<0\mathrm{\forall }n\in N^{\ast }$

$\Rightarrow u_{n+1}<u_n,\mathrm{\forall }n\in N^{\ast }$

Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.

Cách khác:

Với mọi $n\in N\ast$  ta có:

$$u_{n+1}=\frac{1}{n+1}-2<\frac{1}{n}-2<u_n$$

Do đó $(u_n)$ là dãy số giảm.

b)

Xét hiệu $u_{n+1}-u_n={\displaystyle \frac{n+1-1}{n+1+1}}-{\displaystyle \frac{n-1}{n+1}}$ $={\displaystyle \frac{n}{n+2}}-{\displaystyle \frac{n-1}{n+1}}$ $={\displaystyle \frac{n\left(n+1\right)-\left(n-1\right)\left(n+2\right)}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}}$

$={\displaystyle \frac{n^2+n-\left(n^2-n+2n-2\right)}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}}$$={\displaystyle \frac{n^2+n-\left(n^2+n-2\right)}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}}$ $={\displaystyle \frac{n^2+n-n^2-n+2}{(n+1)(n+2)}}$ $={\displaystyle \frac{2}{(n+1)(n+2)}}>0$

$\Rightarrow u_{n+1}>u_n\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$

Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.

Cách khác:

$u_n=\frac{n-1}{n+1}=\frac{n+1-2}{n+1}=\frac{n+1}{n+1}-\frac{2}{n+1}=1-\frac{2}{n+1}$

Với mọi n thuộc N* ta có:

$\begin{array}{l}{u}_{n+1}=1-\frac{1}{\left(n+1\right)+1}=1-\frac{1}{n+2}\\ u_n=1-\frac{1}{n+1}\\ \frac{1}{n+2}<\frac{1}{n+1}\Rightarrow -\frac{1}{n+2}>-\frac{1}{n+1}\\ \Rightarrow 1-\frac{1}{n+2}>1-\frac{1}{n+1}\Rightarrow u_{n+1}>u_n\end{array}$

Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.

c)

Nhận xét: 

$\begin{array}{l}{u}_1<0,u_2>0,u_3<0,u_4>0,\dots \\ \Rightarrow u_1<u_2,u_2>u_3,u_3<u_4,\dots \end{array}$

⇒ dãy số $(u_n)$không tăng, không giảm.

Chú ý:

Các dãy số mà có số hạng đang dấu là dãy số không tăng và cũng không giảm.

d)

Ta có: $u_{n+1}=\frac{2\left(n+1\right)+1}{5\left(n+1\right)+2}=\frac{2n+3}{5n+7}$

${\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n}}$ $={\displaystyle \frac{2n+3}{5n+7}}:{\displaystyle \frac{2n+1}{5n+2}}$

$={\displaystyle \frac{2n+3}{5n+7}}.{\displaystyle \frac{5n+2}{2n+1}}$

$={\displaystyle \frac{\left(2n+3\right)\left(5n+2\right)}{\left(5n+7\right)\left(2n+1\right)}}$

$={\displaystyle \frac{10n^2+15n+4n+6}{10n^2+14n+5n+7}}$

$={\displaystyle \frac{10n^2+19n+6}{10n^2+19n+7}}<1$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$

(Vì $10n^2+19n+6<10n^2+19n+7$)

Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm dần.

Cách khác:

$\begin{array}{l}{u}_{n+1}-u_n=\frac{2\left(n+1\right)+1}{5\left(n+1\right)+2}-\frac{2n+1}{5n+2}\\ =\frac{2n+3}{5n+7}-\frac{2n+1}{5n+2}\\ =\frac{\left(2n+3\right)\left(5n+2\right)-\left(2n+1\right)\left(5n+7\right)}{\left(5n+7\right)\left(5n+2\right)}\\ =\frac{\left(10n^2+15n+4n+6\right)-\left(10n^2+5n+14n+7\right)}{\left(5n+7\right)\left(5n+2\right)}\\ =\frac{-1}{\left(5n+7\right)\left(5n+2\right)}<0,\mathrm{\forall }n\in N^{\ast }\\ \Rightarrow u_{n+1}-u_n<0,\mathrm{\forall }n\in N^{\ast }\\ \Rightarrow u_{n+1}<u_n,\mathrm{\forall }n\in N^{\ast }\end{array}$