Toptailieu.vn xin giới thiệu sơ lược Lý thuyết Dãy số (Lý thuyết + 40 bài tập có lời giải) Toán 11 chọn lọc, hay nhất giúp học sinh lớp 11 ôn luyện để nắm chắc kiến thức cơ bản và đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán.

Mời các bạn đón xem:

Dãy số (Lý thuyết + 40 bài tập có lời giải)

I. Lý thuyết Dãy số

I.1 Định nghĩa

1. Định nghĩa dãy số

Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương N^* được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu:

    u: N^* → R

    n → u(n).

Người ta thường viết dãy số dưới dạng khai triển

    u₁, u₂, u₃,…, u_n,…,

trong đó u_n = u(n) hoặc viết tắt là (u_n), và gọi u₁ là số hạng đầu, u_n là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số.

2. Định nghĩa dãy số hữu hạn

Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1,2,3,…,m} với m ∈ N^* được gọi là một dãy số hữu hạn.

Dạng khai triển của nó là u₁, u₂, u₃,…, u_n, trong đó u₁ là số hạng đầu, u_n là số hạng cuối.

I.2 Cách cho một dãy số

1. Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát

2. Dãy số cho bằng phương pháp mô tả

3. Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi

Cách cho một dãy số bằng phương pháp truy hồi, tức là:

a) Cho số hạng đầu (hay vài số hạng đầu).

b) Cho hệ thức truy hồi, tức là hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước nó.

I.3 Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn

1. Dãy số tăng, dãy số giảm

Định nghĩa 1

Dãy số (u_n) được gọi là dãy số tăng nếu ta có u_n+1 > u_n với mọi n ∈ N^*.

Dãy số (u_n) được gọi là dãy số giảm nếu ta có u_n+1 < u_n với mọi n ∈ N^*.

Chú ý: Không phải mọi dãy số đều tăng hoặc giảm. Chẳng hạn, dãy số (u_n) với u_n = (–3)ⁿ tức là dãy –3; 9; –27; 81,… không tăng cũng không giảm.

2. Dãy số bị chặn

Định nghĩa 2

Dãy số (u_n) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho

    u_n ≤ M, ∀ n ∈ N^*

Dãy số (u_n) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho

    u_n ≥ m, ∀ n ∈ N^*

Dãy số (u_n) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho

    m ≤ u_n ≤ M, ∀ n ∈ N^*

Câu 1: Cho dãy số có 4 số hạng đầu là: $-1,3,19,53$. Hãy tìm một quy luật của dãy số trên và viết số hạng thứ 10 của dãy với quy luật vừa tìm.

 A. $u_{10}=97$               

B. $u_{10}=71$                

C. $u_{10}=1414$             

D. $u_{10}=971$

Đáp án: A

Câu 2: Cho dãy số $\left(u_n\right)$với $u_n=\frac{a{n}^2}{n+1}$ (a: hằng số). $u_{n+1}$ là số hạng nào sau đây?

A. $u_{n+1}=\frac{a.{\left(n+1\right)}^2}{n+2}$.

B. $u_{n+1}=\frac{a.{\left(n+1\right)}^2}{n+1}$.

C. $u_{n+1}=\frac{a.n^2+1}{n+1}$.

D. $u_{n+1}=\frac{a{n}^2}{n+2}$.

Đáp án: A

Câu 3: Cho dãy số có các số hạng đầu là: $5;10;15;20;25;\mathrm{...}$Số hạng tổng quát của dãy số này là:

A. $u_n=5(n-1)$.

B. $u_n=5n$.

C. $u_n=5+n$.

D. $u_n=5.n+1$.

Đáp án: B

Câu 4: Cho dãy số có các số hạng đầu là:$8,15,22,29,36,\mathrm{...}$.Số hạng tổng quát của dãy số này là:

A. $u_n=7n+7$

B. $u_n=7.n$

C. $u_n=7.n+1$

D. $u_n$ : Không viết được dưới dạng công thức

Đáp án: C

Câu 5: Cho dãy số có các số hạng đầu là: $0;\frac{1}{2};\frac{2}{3};\frac{3}{4};\frac{4}{5};\mathrm{...}$. Số hạng tổng quát của dãy số này là:

A. $u_n=\frac{n+1}{n}$

B. $u_n=\frac{n}{n+1}$

C. $u_n=\frac{n-1}{n}$

D. $u_n=\frac{n^2-n}{n+1}$

Đáp án: B

Câu 6: Cho dãy số có các số hạng đầu là: $-2;0;2;4;6;\mathrm{...}$. Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng?

A. $u_n=-2n$

B. $u_n=\left(-2\right)+n$

C. $u_n=\left(-2\right)(n+1)$

D. $u_n=\left(-2\right)+2\left(n-1\right)$

Đáp án: D

Câu 7: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số $\left(u_n\right)$, biết: $u_n=\frac{2n-13}{3n-2}$ 

A. Dãy số tăng, bị chặn

B. Dãy số giảm, bị chặn

C. Dãy số không tăng không giảm, không bị chặn

D. Cả A, B, C đều sai

Đáp án: A

Câu 8: Cho dãy số  được xác định như sau: $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=1\\ u_n=3u_{n-1}+\frac{1}{2u_{n-1}}-2,n\ge 2\end{array}\right.$.

Viết 4 số hạng đầu của dãy và chứng minh rằng $u_n>0,\forall n$

A. $u_1=1,u_2=\frac{3}{2},u_3=\frac{47}{6},u_4=\frac{227}{34}$

B. $u_1=1,u_2=\frac{3}{2},u_3=\frac{17}{6},u_4=\frac{227}{34}$

C. $u_1=1,u_2=\frac{3}{2},u_3=\frac{19}{6},u_4=\frac{227}{34}$

D. $u_1=1,u_2=\frac{3}{2},u_3=\frac{17}{6},u_4=\frac{2127}{34}$                   

Đáp án: B

Câu 9: Cho dãy số có các số hạng đầu là: $\frac{1}{3};\frac{1}{3^2};\frac{1}{3^3};\frac{1}{3^4};\frac{1}{3^5};$…. Số hạng tổng quát của dãy số này là?

A. $u_n=\frac{1}{3}\frac{1}{3^{n+1}}$

B. $u_n=\frac{1}{3^{n+1}}$

C. $u_n=\frac{1}{3^n}$

D. $u_n=\frac{1}{3^{n-1}}$

Đáp án: C

Câu 10: Cho dãy số $\left(u_n\right)$ với $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=5\\ u_{n+1}=u_n+n\end{array}\right.$. Số hạng tổng quát $u_n$ của dãy số là số hạng nào dưới đây?

A. $u_n=\frac{(n-1)n}{2}$

B. $u_n=5+\frac{(n-1)n}{2}$

C. $u_n=5+\frac{(n+1)n}{2}$

D. $u_n=5+\frac{(n+1)(n+2)}{2}$

Đáp án: B

Câu 11: Cho dãy số $\left(u_n\right)$ với $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=1\\ u_{n+1}=u_n+{\left(-1\right)}^{2n}\end{array}\right.$. Số hạng tổng quát $u_n$ của dãy số là số hạng nào dưới đây?

A. $u_n=1+n$

B. $u_n=1-n$

C. $u_n=1+{\left(-1\right)}^{2n}$

D. $u_n=n$

Đáp án: D

Câu 12: Cho dãy số $\left(u_n\right)$ với $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=1\\ u_{n+1}=u_n+{\left(-1\right)}^{2n+1}\end{array}\right.$. Số hạng tổng quát $u_n$ của dãy số là số hạng nào dưới đây?

A. $u_n=2-n$.

B. $u_n$ không xác định.

C. $u_n=1-n$.

D. $u_n=-n$ với mọi n.

Đáp án: A

Câu 13: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau:  $u_n=\frac{3n^2-2n+1}{n+1}$

A. Dãy số tăng

B. Dãy số giảm

C. Dãy số không tăng không giảm

D. Cả A, B, C đều sai                                                                              

Đáp án: B

Câu 14: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: $u_n=n-\sqrt{n^2-1}$

A. Dãy số tăng

B. Dãy số giảm

C. Dãy số không tăng không giảm

D. Cả A, B, C đều sai                                        

Đáp án: B

Câu 15: Cho dãy số $\left(u_n\right)$ với $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=1\\ u_{n+1}=u_n+n^2\end{array}\right.$. Số hạng tổng quát $u_n$ của dãy số là số hạng nào dưới đây?

A. $u_n=1+\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}$

B. $u_n=1+\frac{n\left(n-1\right)\left(2n+2\right)}{6}$

C. $u_n=1+\frac{n\left(n-1\right)\left(2n-1\right)}{6}$

D. $u_n=1+\frac{n\left(n+1\right)\left(2n-2\right)}{6}$

Đáp án: C

Câu 16: Cho dãy số $\left(u_n\right)$ với $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=2\\ u_{n+1}-u_n=2n-1\end{array}\right.$. Số hạng tổng quát $u_n$ của dãy số là số hạng nào dưới đây?

A. $u_n=2+{\left(n-1\right)}^2$.

B. $u_n=2+n^2$.

C. $u_n=2+{\left(n+1\right)}^2$.

D. $u_n=2-{\left(n-1\right)}^2$.

Đáp án: A

Câu 17: Cho dãy số $\left(u_n\right)$ với $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=-2\\ u_{n+1}=-2-\frac{1}{u_n}\end{array}\right.$. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:

A. $u_n=-\frac{n-1}{n}$

B. $u_n=\frac{n+1}{n}$

C. $u_n=-\frac{n+1}{n}$

D. $u_n=-\frac{n}{n+1}$

Đáp án: C

Câu 18: Cho dãy số $\left(u_n\right)$ với $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=\frac{1}{2}\\ u_{n+1}=u_n-2\end{array}\right.$. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:

A. $u_n=\frac{1}{2}+2\left(n-1\right)$.

B. $u_n=\frac{1}{2}-2\left(n-1\right)$.

C. $u_n=\frac{1}{2}-2n$.

D. $u_n=\frac{1}{2}+2n$.

Đáp án: B

Câu 19: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: $u_n=\frac{3^n-1}{2^n}$ 

A. Dãy số tăng

B. Dãy số giảm

C. Dãy số không tăng không giảm

D. Cả A, B, C đều sai

Đáp án: A

Câu 20: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: $u_n=\frac{n+{\left(-1\right)}^n}{n^2}$

A. Dãy số tăng

B. Dãy số giảm

C. Dãy số không tăng không giảm

D. Cả A, B, C đều sai                                        

Đáp án: C

Câu 21: Cho dãy số $\left(u_n\right)$ được xác định bởi : $\left\{\begin{array}{l}{u}_0=2011\\ u_{n+1}=\frac{u_n^2}{u_n+1},\forall n=1,2,\mathrm{...}\end{array}\right.$

Khẳng định nào sau đây đúng

 A. Dãy $\left(u_n\right)$ là dãy giảm

B. Dãy $\left(u_n\right)$ là dãy tăng

C. Dãy $\left(u_n\right)$ là dãy không tăng, không giảm

D. A, B, C đều sai                                         

Đáp án: A

Câu 22: Cho dãy số (u_n) với .Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Năm số hạng đầu của dãy là: ;

B. Là dãy số tăng.

C. Bị chặn trên bởi số M = 1/2.

D. Không bị chặn.

A. Dãy số tăng

B. Dãy số giảm

C. Dãy số không tăng không giảm

D. Cả A, B, C đều sai

A. 1, 6

B. 6

C. 0,5

D. 0,6

A. d = 2

B. d = 4

C. d = 3

D. d = 5

A. n = 12

B. n = 13

C. n = 14

D. n = 15

A. m = 2

B. m = 3

C. m = 4

D. m = 5

A. u_n = 5n + 1

B. u_n = 5n - 1

C. u_n = 4n + 1

D. u_n = 4n - 1

A. 16

B. –16

C. 4

D. 8

A. d = 2

B. d = 3

C. d = 4

D. d = 5

A. 60

B. 120

C. 720

D. 1440

Đáp án: A

Đáp án: D

Đáp án: A

A. Số hạng thứ 10.

B. Số hạng thứ 11.

C. Số hạng thứ 12.

D. Số hạng thứ 13.

Đáp án: D

A. x = ± 1

B. x = ± 1

C. x = ± √2

D. x = ± √3

Đáp án: B

A. 19674.

B. 59040.

C. 177138.

D. 6552

Đáp án: B

A. 40

B. 25

C. 100

D. 10

Đáp án: A

Câu 40: Cho 4 số lập thành cấp số cộng. Tổng của chúng bằng 22. Tổng các bình phương của chúng bằng 166. Tổng các lập phương của chúng bằng :

A. 22

B. 166

C. 1752

D. 1408

Đáp án: D