Toptailieu.vn xin giới thiệu sơ lược Lý thuyết Cấp số nhân (Lý thuyết + 40 bài tập có lời giải) Toán 11 chọn lọc, hay nhất giúp học sinh lớp 11ôn luyện để nắm chắc kiến thức cơ bản và đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán.

Mời các bạn đón xem:

Cấp số nhân (Lý thuyết + 40 bài tập có lời giải)

I. Lý thuyết Cấp số nhân

I.1 Định nghĩa

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q.

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

Nếu (u_n) là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi:

    u_n+1 = u_nq với n ∈ N^*

Đặc biệt:

    + Khi q = 0, cấp số nhân có dạng u₁, 0, 0,…, 0,…

    + Khi q = 1, cấp số nhân có dạng u₁, u₁, u₁,…, u₁,…

    + Khi u₁ = 0 thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0, 0, 0,…, 0…

I.2 Số hạng tổng quát

Định lí 1

Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u₁ và công bội q thì số hạng tổng quát u_n được xác định bởi công thức

    u_n = u₁.q^n-1 với n ≥ 2

I.3 Tính chất các số hạng của cấp số nhân

Định lí 2

Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là

    u_k² = u_k-1.u_k+1 với k ≥ 2

I.4 Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân

Định lí 3

Cho cấp số nhân (u_n) với công bội q ≠ 1. Đặt S_n = u₁ + u₂ + … + u_n. Khi đó

Chú ý: Nếu q = 1 thì cấp số nhân là u₁, u₁, u₁,…, u₁,… khi đó S_n = nu₁.

II. Bài tập Cấp số nhân

Câu 1: Tìm  x biết : $1,x^2,6-x^2$  lập thành cấp số nhân.
A. $x=\pm 1$

B. $x=\pm \sqrt{2}$

C. $x=\pm 2$

A. $u_1=\frac{1}{11},u_1=\frac{81}{11}$

B. $u_1=\frac{1}{12},u_1=\frac{81}{12}$

C. $u_1=\frac{1}{13},u_1=\frac{81}{13}$

D.  $u_1=\frac{2}{11},u_1=\frac{81}{11}$

Đáp án: A

Câu 4: Dãy số  $\left(u_n\right)$ có phải là cấp số nhân không? Nếu phải hãy xác định số công bội ? Biết: $u_n=2n$

A.  $q=3$

B.  $q=2$

C. $q=4$

D.  $q=\varnothing$

Đáp án: D

Câu 5: Dãy số $\left(u_n\right)$ có phải là cấp số nhân không ? Nếu phải hãy xác định số công bội ?

Biết:  $u_n={4.3}^n$ 

A. $q=3$

B. $q=2$

C. $q=4$

D.  $q=\varnothing$

Đáp án: A

Câu 6: Dãy số  $\left(u_n\right)$ có phải là cấp số nhân không ? Nếu phải hãy xác định số công bội ?

Biết: $u_n=\frac{2}{n}$ .

A. $q=3$

B. $q=\frac{1}{2}$

C. $q=4$

D. $q=\varnothing$

Đáp án: D

Câu 7: Cho dãy số $\frac{-1}{\sqrt{2}};\sqrt{\text{b}};\sqrt{\text{2}}$ . Chọn b để dãy số đã cho lập thành cấp số nhân?
A.  $b=-1$

B.  $b=1$

C.  $b=2$

D. Không có giá trị nào của b.

Đáp án: D

Câu 8: Cho cấp số nhân: $\frac{-1}{5};a;\frac{-\text{1}}{\text{125}}$ . Giá trị của a  là:
A. $a=\pm \frac{1}{\sqrt{5}}.$

B. $a=\pm \frac{1}{25}.$

C. $a=\pm \frac{1}{5}.$

D.  $a=\pm 5.$

Đáp án: B

Câu 9: Cho dãy số: $\text{-1; }x;\text{ 0,64}$. Chọn x để dãy số đã cho theo thứ tự lập thành cấp số nhân?

A. Không có giá trị nào của x

B. $x=-0,008.$

C. $x=0,008.$

D.  $x=0,004.$

Đáp án: A

Câu 10: Hãy chọn cấp số nhân trong các dãy số được cho sau đây:

A. $u_n=\frac{1}{4^n}-1$

B. $u_n=\frac{1}{4^{n-2}}$

C. $u_n=n^2+\frac{1}{4}$

D.  $u_n=n^2-\frac{1}{4}$

Đáp án: B

Câu 11: Cho dãy số: –1; 1; –1; 1; –1; … Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Dãy số này không phải là cấp số nhân

B. Số hạng tổng quát un = 1n =1

C. Dãy số này là cấp số nhân có u1= –1, q = –1

D. Số hạng tổng quát un = (–1)2n.

Đáp án: C

Câu 12. Cho dãy số : $1;\frac{\text{1}}{\text{2}};\frac{\text{1}}{\text{4}};\frac{\text{1}}{\text{8}};\frac{\text{1}}{\text{16}};\mathrm{...}$ . Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Dãy số này là cấp số nhân có u1= 1, q = $\frac{1}{2}$

B. Số hạng tổng quát un = $\frac{1}{2^{n-1}}$

C. Số hạng tổng quát un = $\frac{1}{2^n}$

D. Dãy số này là dãy số giảm

Đáp án: C

Câu 13. Cho dãy số: –1; –1; –1; –1; –1; … Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Dãy số này không phải là cấp số nhân.

B. Là cấp số nhân có $u_1=-1;\text{ q=1.}$ 

C. Số hạng tổng quát $u_n={(-1)}^n.$

D. Là dãy số giảm.

Đáp án: B

Câu 14. Cho dãy số : $-1;\frac{\text{1}}{\text{3}};-\frac{\text{1}}{\text{9}};\frac{\text{1}}{\text{27}};-\frac{\text{1}}{\text{81}}$ . Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Dãy số không phải là một cấp số nhân.

B. Dãy số này là cấp số nhân có $u_1=-1;\text{ q=}-\frac{1}{3}$

C. Số hạng tổng quát $u_n={\left(-1\right)}^n.\frac{1}{3^{n-1}}$ 

D. Là dãy số không tăng, không giảm.

Đáp án: A

Câu 15. Cho cấp số nhân  $\left(u_n\right)$ với $u_1=-\frac{1}{2};{\text{ u}}_7=-32$ . Tìm q ? 
A.  $q=\pm \frac{1}{2}$.

B.  $q=\pm 2$.

C.  $q=\pm 4$.

D.  $q=\pm 1$.

Đáp án: B

Câu 16. Cho cấp số nhân $\left(u_n\right)$  với $u_1=-2;\text{ q=-5}$. Viết 3 số hạng tiếp theo và số hạng tổng quát un ?

A.  $10;\text{ 50; }-250;\left(-2\right){\left(-5\right)}^{n-1}$.

B.  $10;-\text{50; }250;\text{ 2.}-5^{n-1}$.

C.  $10;-\text{50; }250;\left(-2\right){.5}^n$.

D.  $10;-\text{50; }250;\left(-2\right){\left(-5\right)}^{n-1}$.

Đáp án: D

Câu 17: Xét xem dãy số $u_n=-\frac{3^{n-1}}{5}$ có phải là cấp số nhân hay không? Nếu phải hãy xác định công bội.

A. $q=3$  

B. $q=2$

C. $q=4$

D. $q=\varnothing$

Đáp án: A

Câu 18. Cho cấp số nhân $\left(u_n\right)$  với $u_1=-1;\text{ q=0,00001}$ . Tìm q và $u_n$?

A. $q=\frac{1}{10};{\text{ u}}_{\text{n}}=\frac{-1}{{10}^{n-1}}$

B. $q=\frac{-1}{10};{\text{ u}}_{\text{n}}=-{10}^{n-1}$

C. $q=\frac{-1}{10};{\text{ u}}_{\text{n}}=\frac{1}{{10}^{n-1}}$

D.  $q=\frac{-1}{10};{\text{ u}}_{\text{n}}=\frac{{(-1)}^n}{{10}^{n-1}}$

Đáp án: D

Câu 19. Cho cấp số nhân $\left(u_n\right)$ với $u_1=-1;q=\frac{-1}{10}$ . Số $\frac{1}{{10}^{103}}$  là số hạng thứ mấy của $\left(u_n\right)$?

A. Số hạng thứ 103

B. Số hạng thứ 104

C. Số hạng thứ 105

D. Không là số hạng của cấp số đã cho.

Đáp án: B

Câu 20. Cho cấp số nhân $\left(u_n\right)$ với $u_1=3;\text{ q=}-2$. Số 192 là số hạng thứ mấy của $\left(u_n\right)$ ?

A. Số hạng thứ 5.

B. Số hạng thứ 6.

C. Số hạng thứ 7.

D. Không là số hạng của cấp số đã cho.

Đáp án: C

Câu 21. Cho cấp số nhân $\left(u_n\right)$  với $u_1=3;q=\frac{-1}{2}$ . Số 222 là số hạng thứ mấy của $\left(u_n\right)$ ?

A. Số hạng thứ 11

B. Số hạng thứ 12

C. Số hạng thứ 9

D. Không là số hạng của cấp số đã cho

Đáp án: D

Câu 22: Cho cấp số nhân (un) có các số hạng khác không, tìm $u_1$  biết: 

$\left\{\begin{array}{c}{u}_1+u_2+u_3+u_4=15\\ u_1^2+u_2^2+u_3^2+u_4^2=85\end{array}\right.$

A. $u_1=1,u_1=2$

B. $u_1=1,u_1=8$

C. $u_1=1,u_1=5$

D. $u_1=1,u_1=9$

Đáp án: B

Câu 23: Xét xem dãy số sau có phải là cấp số nhân hay không? Nếu phải hãy xác định công bội. 

$u_n=3n-1$

A.  $q=3$ 

B. $q=2$

C.  $q=4$

D.  $q=\varnothing$

Đáp án: D

Câu 24: Xét xem dãy số sau có phải là cấp số nhân hay không? Nếu phải hãy xác định công bội.

$u_n=\frac{2^n-1}{3}$  

A.  $q=3$ 

B. $q=2$

C. $q=4$

D.  $q=\varnothing$

Đáp án: D

Câu 25: Xét xem dãy số $u_n=n^3$ có phải là cấp số nhân hay không? Nếu phải hãy xác định công bội.

A.  $q=3$ 

B. $q=2$

C. $q=4$

D.  $q=\varnothing$

Đáp án: D

Câu 26: Cho cấp số nhân có $u_1=-3$ , $q=\frac{2}{3}$ . Tính $u_5?$ 

A. $u_5=\frac{-27}{16}.$

B. $u_5=\frac{-16}{27}.$

C. $u_5=\frac{16}{27}.$

D.  $u_5=\frac{27}{16}.$

Đáp án: B

Câu 27: Cho cấp số nhân có $u_1=-3$ , $q=\frac{2}{3}$ . Số $\frac{-96}{243}$  là số hạng thứ mấy của cấp số này?

A. Thứ 5.

B. Thứ 6.

C. Thứ 7.

D. Không phải là số hạng của cấp số.

Đáp án: B

Câu 28: Cho cấp số nhân có $u_2=\frac{1}{4}$ ; $u_5=16$ . Tìm  q và $u_1$ .

A. $q=\frac{1}{2};u_{\text{1}}=\frac{1}{2}.$

B. $q=-\frac{1}{2};u_{\text{1}}=-\frac{1}{2}.$

C. $q=4;u_{\text{1}}=\frac{1}{16}.$

D. $q=-4;u_{\text{1}}=-\frac{1}{16}.$ 

Đáp án: C

Câu 29: Xác định  x để 3 số $x-2;x+1;3-x$ lập thành một cấp số nhân:

A. Không có giá trị nào của x  

B. $x=\pm 1.$

C.  $x=2.$ 

D. $x=-3.$

Đáp án: A

Câu 30: Phương trình $x^3+2x^2+\left(m+1\right)x+2\left(m+1\right)=0$  có ba nghiệm lập thành cấp số nhân. 

A. $m=-1,m=-3,m=-4$

B.  $m=-1,m=13,m=-4$

C. $m=1,m=3,m=4$

D. $m=-1,m=3,m=-4$

Đáp án: D

Câu 31: Cho cấp số nhân (u_n) thỏa mãn: . Số 2/6561 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số ?

A. 11

B. 12

C. 6

D. 9

A. m = -7

B. m = 1

C. m = -1 hoặc m= 7

D. m = 1 hoặc m = -7

A. x = 14

B. x = 32

C. x = 64

D. x = 68

A. 720.

B. 81.

C. 64.

D. 56.

A. P = 1

B. P = 2

C. P = 3

Đáp án: C