Toptailieu.vn xin giới thiệu sơ lược Lý thuyết Cấp số cộng (Lý thuyết + 40 bài tập có lời giải) Toán 11 chọn lọc, hay nhất giúp học sinh lớp 11 ôn luyện để nắm chắc kiến thức cơ bản và đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán.

Mời các bạn đón xem:

Cấp số cộng (Lý thuyết + 40 bài tập có lời giải)

I. Lý thuyết Cấp số cộng

I.1 Định nghĩa

Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

Nếu (u_n) là cấp số cộng với công sai d, ta có công thức truy hồi

   u_n+1 = u_n + d với n ∈ N^*

Đặc biệt khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đỗi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).

I.2 Số hạng tổng quát

Định lí 1

Nếu cấp số cộng (u_n) có số hạng đầu u₁ và công sai d thì số hạng tổng quát u_n được xác định bởi công thức:

    u_n = u₁ + (n – 1 )d với n ≥ 2

I.3 Tính chất các số hạng của cấp số cộng

Định lí 2

Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là

I.4 Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng

Định lí 3

Cho cấp số cộng (u_n). Đặt S_n = u₁ + u₂ + u₃ +…+ u_n. Khi đó

Chú ý: Vì u_n = u₁ + (n – 1)d nên công thức trên có thể viết lại là 

II. Bài tập Cấp số cộng

Câu 1: Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Dãy số $-\frac{1}{2};0;\frac{1}{2};1;\frac{3}{2};\mathrm{.....}$ là một cấp số cộng: $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=-\frac{1}{2}\\ d=\frac{1}{2}\end{array}\right.$

B. Dãy số $\frac{1}{2};\frac{1}{2^2};\frac{1}{2^3};\mathrm{.....}$ là một cấp số cộng:$\left\{\begin{array}{l}{u}_1=\frac{1}{2}\\ d=\frac{1}{2};n=3\end{array}\right.$

C. Dãy số :$–2;–2;–2;–2;\dots$là cấp số cộng $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=-2\\ d=0\end{array}\right.$

D. Dãy số: $0,1;0,01;0,001;0,0001;\dots$ không phải là một cấp số cộng

Đáp án: B

Câu 2: Cho một cấp số cộng có $u_1=-\frac{1}{2};d=\frac{1}{2}$. Hãy chọn kết quả đúng

A. Dạng khai triển : $-\frac{1}{2};0;1;\frac{1}{2};\mathrm{1....}$

B. Dạng khai triển : $-\frac{1}{2};0;\frac{1}{2};0;\frac{1}{2}\mathrm{.....}$

C. Dạng khai triển :  $\frac{1}{2};1;\frac{3}{2};2;\frac{5}{2};\mathrm{.....}$

D. Dạng khai triển: $-\frac{1}{2};0;\frac{1}{2};1;\frac{3}{2}\mathrm{.....}$

Đáp án: D

Câu 3. Cho một cấp số cộng có $u_1=-3;u_6=27$. Tìm d ?

A. $d=5$.

B. $d=7$.

C. $d=6$.

D. $d=8$.

Đáp án: C

Câu 4: Cho một cấp số cộng có $u_1=\frac{1}{3};u_8=26$. Tìm ?

A. $d=\frac{11}{3}$

B. $d=\frac{3}{11}$

C. $d=\frac{10}{3}$

D. $d=\frac{3}{10}$

Đáp án: A

Câu 5: Cho cấp số cộng $\left(u_n\right)$ có: $u_1=-0,1;d=0,1$. Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là:

A. 1,6

B. 6

C. 0,5

D. 0,6

Đáp án: C

Câu 6: Cho tam giác ABC biết 3 góc của tam giác lập thành một cấp số cộng và có một góc bằng 25^o. Tìm 2 góc còn lại?

A. 65^o ; 90^o.

B. 75^o ; 80^o.

C. 60^o ; 95^o.

D. 60^o ; 90^o.

Đáp án: D

Câu 7: Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng?

A. $a^2+c^2=2ab+2bc$.

B. $a^2-c^2=2ab-2bc$.

C. $a^2+c^2=2ab-2bc$.

D. $a^2-c^2=ab-bc$.
Đáp án: B

Câu 8: Cho theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng?

A. $a^2+c^2=2ab+2bc+2ac$

B. $a^2-c^2=2ab+2bc-2ac$

C. $a^2+c^2=2ab+2bc-2ac$

D. $a^2-c^2=2ab-2bc+2ac$

Đáp án: C

Câu 9: Cho cấp số cộng $\left(u_n\right)$ thỏa: $\left\{\begin{array}{l}{u}_5+3u_3-u_2=-21\\ 3u_7-2u_4=-34\end{array}\right.$. Tính số hạng thứ 100 của cấp số ;

A.  $u_{100}=-243$

B.  $u_{100}=-295$

C.  $u_{100}=-231$

D.  $u_{100}=-294$

Đáp án: B

Câu 10: Tam giác ABC có ba góc A,B,C  theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng và C = 5A. Xác định số đo các góc A,B,C.

A. $\left\{\begin{array}{l}A={10}^0\\ B={120}^0\\ C={50}^0\end{array}\right.$

B. $\left\{\begin{array}{l}A={15}^0\\ B={105}^0\\ C={60}^0\end{array}\right.$

C.  $\left\{\begin{array}{l}A=5^0\\ B={60}^0\\ C={25}^0\end{array}\right.$

D.   $\left\{\begin{array}{l}A={20}^0\\ B={60}^0\\ C={100}^0\end{array}\right.$

Đáp án: D

Câu 11: Cho tam giác ABC biết ba góc tam giác lập thành cấp số cộng và $\sin A+\sin B+\sin C=\frac{3+\sqrt{3}}{2}$ tính các góc của tam giác

A.  ${30}^0,{60}^0,{90}^0$

B.  ${20}^0,{60}^0,{100}^0$

C.  ${10}^0,{50}^0,{120}^0$

D.   ${40}^0,{60}^0,{80}^0$

Đáp án: A

Câu 12: Cho $a,b,c$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng, ba số nào dưới đây cũng lập thành một cấp số cộng ?

A. $2b^2,a,c^2$.

B. $-2b,-2a,-2c$.

C. $2b,a,c$.

D. $2b,-a,-c$.

Đáp án: B

Câu 13. Cho dãy số $\left(u_n\right)$ có:$u_1=-3;d=\frac{1}{2}$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $u_n=-3+\frac{1}{2}\left(n+1\right)$.

B. $u_n=-3+\frac{1}{2}n-1$.

C. $u_n=-3+\frac{1}{2}\left(n-1\right)$.

D. $u_n=n\left(-3+\frac{1}{4}\left(n-1\right)\right)$.

Đáp án: C

Câu 14. Cho dãy số $\left(u_n\right)$ có:$u_1=\frac{1}{4};d=\frac{-1}{4}$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A.  $S_5=\frac{5}{4}.$

B.  $S_5=\frac{4}{5}.$

C.  $S_5=-\frac{5}{4}.$

D.  $S_5=-\frac{4}{5}.$

Đáp án: A

Câu 15. Cho dãy số  có d = –2; S₈ = 72. Tính u₁ ?

A.  $u_1=16$

B.  $u_1=-16$

C.  $u_1=\frac{1}{16}$

D.  $u_1=-\frac{1}{16}$

Đáp án: A

Câu 16. Cho dãy số $\left(u_n\right)$ có $d=0,1;S_5=-0,5.$Tính ?

A.  $u_1=0,3.$

B. $u_1=\frac{10}{3}$

C. $u_1=\frac{10}{3}$

D. $u_1=-0,3.$

Đáp án: D

Câu 17: Cho một cấp số cộng $\left(u_n\right)$ có $u_1=1$ và tổng 100 số hạng đầu bằng 24850. Tính $S=\frac{1}{u_1^{}{u}_2}+\frac{1}{u_2{u}_3}+\mathrm{...}+\frac{1}{u_{49}{u}_{50}}$

A. $S=\frac{9}{246}$

B. $S=\frac{4}{23}$

C. $S=123$

D. $S=\frac{49}{246}$

Đáp án: A

Câu 18: Xác định x để 3 số: $1-x;x^2;1+x$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng?

A. Không có giá trị nào của x.

B. $x=\pm 2$.

C. $x=\pm 1$

D. $x=0$

Đáp án: C

Câu 19: Xác định  để 3 số : $1+2x;2x^2-1;-2x$theo thứ tự lập thành một cấp số cộng?

A. $x=\pm 3$

B. $x=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

C. $x=\pm \frac{\sqrt{3}}{4}$

D. Không có giá trị nào của x.

Đáp án: B

Câu 20: Xác định m để phương trình $x^3-3x^2-9x+m=0$ có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.

A. $m=16$

B.  $m=11$

C.  $m=13$

D.  $m=12$

Đáp án: B

Câu 21: Xác định m để phương trình $x^4-2\left(m+1\right)x^2+2m+1=0$ (1) có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.

A. $m=2$ hoặc $m=-\frac{4}{9}$

B. $m=4$ hoặc $m=-\frac{4}{9}$

C. $m=4$ hoặc $m=-2$

D. $m=3$ hoặc $m=-1$       

Đáp án: B

Câu 22: Cho cấp số cộng có 8 số hạng. Số hạng đầu bằng 3 số hạng cuối bằng 24. Tính tổng các số hạng này

A. 105

B. 27

C. 108

D. 111

Đáp án: C

Câu 23: Cho một cấp số cộng có u1 = -3; u6 = 27. Tìm d ?

A. d = 5

B. d = 7

C. d = 6

D. d = 8

A. 22

B. 166

C. 1752

D. 1408

A. 1,6

B. 6

C. 0,5

D. 0,6

A. u_n = 3n - 2

B. u_n = 3n - 4

C. u_n = 3n - 3

D. u_n = 3n - 1

Đáp án: A

A.10

B. 20

C. 30

D. 40

A. - 243

B. - 295

C. - 231

D. - 294

Đáp án: B

Câu 29: Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn:.Tính tổng 15 số hạng đầu của cấp số ;

A. - 244

B. - 274

C. - 253

D. - 285

Đáp án: D

A. -3 hoặc – 6

B. – 4 hoặc -2

C. -1 hoặc -5

D. -4 hoặc - 7

A. 65° ; 90°.

B. 75° ; 80°.

C. 60° ; 95°.

D. 55°; 100°.

A. a² + c² = 2ab + 2bc.

B. a² - c² = 2ab - 2bc.

C. a² + c² = 2ab - 2bc.

D. a² - c² = ab - bc.

A. Không có giá trị nào của x.

B. x = ± 2 .

C. x = ± 1 .

D. x = 0