Toptailieu.vn xin giới thiệu sơ lược Lý thuyết Phương pháp quy nạp toán học (Lý thuyết + 40 bài tập có lời giải) Toán 11 chọn lọc, hay nhất giúp học sinh lớp 11 ôn luyện để nắm chắc kiến thức cơ bản và đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán.

Mời các bạn đón xem:

Phương pháp quy nạp toán học (Lý thuyết + 40 bài tập có lời giải)

I. Lý thuyết Phương pháp quy nạp toán học

1. Để chứng minh một mệnh đề là đúng với mọi n ∈ ℕ* bằng phương pháp quy nạp toán học, ta tiến hành hai bước:

        ♦ Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1.

        ♦ Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n = k (k ≥ 1) (ta gọi là giả thiết quy nạp) và chứng minh rằng nó cũng đúng với n=k+1.

2. Trong trường hợp phải chứng minh một mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên n ≥ p (p là số tự nhiên) thì:

        ♦ Ở bước 1, ta kiểm tra mệnh đề đúng với n = p.

        ♦ Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n = k (k ≥ p) và chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.

3. Phép thử với một số hữu hạn số tự nhiên, tuy không phải là chứng minh, nhưng cho phép ta dự đoán được kết quả. Kết quả này chỉ là giả thiết, và để chứng minh ta có thể dùng phương pháp quy nạp toán học.

II. Bài tập Phương pháp quy nạp toán học

Câu 1. Với mọi số tự nhiên n , tổng $S_n=n^3+3n^2+5n+3$ chia hết cho:

A.   3

B.   4

C.   5

D.   7

Đáp án: A

Câu 2. Giá trị của tổng là:

 $S=1-2+3-4+\mathrm{...}-2n+(2n+1)$

A.   1

B.   0

C.   5

D.  n +1

Đáp án: D

Câu 3. Với mọi số nguyên dương n , tổng $S_n=1.2+2.3+3.4+\mathrm{...}+n(n+1)$ là: 

A. $\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{6}$

B. $\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

C.  $\frac{n(n+1)(n+2)}{2}$

D.   Đáp số khác

Đáp án: B

Câu 4: Một học sinh chứng minh mệnh đề $\text{'}\text{'}{8}^n+1$ chia hết cho $7,\forall n\in N^{*}\text{'}\text{'}(*)$ như sau:

Giả sử $\left(*\right)$ đúng với $n=k$ tức là $8^k$+ 1 chia hết cho 7

Ta có: $8^k$+ 1 = 8$(8^k+1)$- 7, kết hợp với giả thiết $8^k$+ 1 chia hết cho 7  nên suy ra được $8^{k+1}$+ 1 chia hết cho 7.

Vậy đẳng thức $\left(*\right)$ đúng với mọi $n\in N^{*}$

 Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Học sinh trên chứng minh đúng.

B. Học sinh chứng minh sai vì không có giả thiết qui nạp.

C. Học sinh chứng minh sai vì không dùng giả thiết qui nạp.

D. Học sinh không kiểm tra bước 1 (bước cơ sở) của phương pháp qui nạp

Đáp án: D

Câu 5: Với $n\in N^{*}$ , ta xét các mệnh đề: $P$ :“ $7^n$ + 5  chia hết cho 2”;

Q: “$7^n$+ 5 chia hết cho 3” và R: “$7^n$+ 5  chia hết cho 6”.

Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:

A.   3

B.   0

C.   1

D.   2

Đáp án: A

Câu 6: Trong phương pháp quy nạp toán học, nếu ta giả sử mệnh đề đúng với $n=k$ thì ta cần chứng minh mệnh đề đúng đến:

A. $n=k-1$

B. $n=k-2$

C. $n=k+1$

D. $n=k+2$

Đáp án: C

Câu 7: Đối với bài toán chứng minh $P\left(n\right)$ đúng với mọi $n\ge p$ với p là số tự nhiên cho trước thì ở bước 1 ta cần chứng minh mệnh đề đúng với:

A.  $n=1$

B.  $n=k$

C.  $n=k+1$

D. $n=p$ 

Đáp án: D

Câu 8: Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến $P\left(n\right)$ đúng với mọi số tự nhiên $n\ge p$ (p là một số tự nhiên). Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề $P\left(n\right)$ đúng với $n=k$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.  $k\ne p$

B.  $k\ge p$

C. $k=p$

D. $k<p$

Đáp án: B

Câu 9: Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến  đúng với mọi số tự nhiên $n\ge p$ ( p là một số tự nhiên), ta tiến hành hai bước:

- Bước 1, kiểm tra mệnh đề $P\left(n\right)$ đúng với $n=p$

- Bước 2, giả thiết mệnh đề $P\left(n\right)$ đúng với số tự nhiên bất kỳ $n=k\ge p$ và phải chứng minh rằng nó cũng đúng với  $n=k+1$

Trong hai bước trên:

A. Chỉ có bước 1 đúng.

B. Chỉ có bước 2 đúng.

C. Cả hai bước đều đúng

D. Cả hai bước đều sai

Đáp án: C

Câu 10: Trong phương pháp quy nạp toán học, ở bước 2, nếu ta giả sử mệnh đề đúng với $n=k+1$ thì ta cần chứng minh mệnh đề đúng với:

A. $n=k$

B. $n=k+1$

C. $n=k+2$

D.  $n=k+3$

Đáp án: B

Câu 11: Giả sử Q là tập con thật sự của tập hợp các số nguyên dương sao cho

a) $k\in Q$

b) $n\in Q\Rightarrow n+1\in Q\forall n\ge k$

Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

A. Mọi số nguyên dương đều thuộc Q.

B. Mọi số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng k đều thuộc Q.

C. Mọi số nguyên bé hơn k đều thuộc Q.

D. Mọi số nguyên đều thuộc Q.

Đáp án: B

Câu 12. Tìm số nguyên dương p nhỏ nhất để $2^n>2n+1$ với mọi số nguyên

A. p = 5

B.  p = 3

C.  p = 4

D.  p = 2

Đáp án: B

Câu 13: Với mọi số nguyên dương n, tổng 2 + 5 + 8 + … + (3n – 1) là:

A.  $\frac{n(3n+1)}{2}$

B.  $\frac{n(3n-1)}{2}$

C.  $\frac{n(3n+2)}{2}$

D.  $\frac{3n^2}{2}$

Đáp án: A

Câu 14: Với mọi số nguyên dương $n\ge 2$, ta có: $\left(1-\frac{1}{4}\right)\left(1-\frac{1}{9}\right)\mathrm{...}\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\frac{an+2}{bn}$, trong đó a, b là các số nguyên. Tính các giá trị của biểu thức $T=a^2+b^2$

A.  P = 5

B.  P = 9

C.  P = 20

D.  P = 36

Đáp án: C

Câu 15: So sánh $\frac{a^n+b^n}{2}$và ${\left(\frac{a+b}{2}\right)}^n$, với $a\ge 0;b\ge 0,n\in N*$ ta được:

A. $\frac{a^n+b^n}{2}<{\left(\frac{a+b}{2}\right)}^n$

B.  $\frac{a^n+b^n}{2}\ge {\left(\frac{a+b}{2}\right)}^n$

C.  $\frac{a^n+b^n}{2}={\left(\frac{a+b}{2}\right)}^n$

D.  Không so sánh được

Đáp án: B

Câu 16: Với mỗi số nguyên dương n , đặt $S=1^2+2^2+\mathrm{...}+n^2$. Mệnh đề nào dưới đây là đúng

A. $S=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$

B. $S=\frac{n(n+1)(2n+2)}{3}$

C. $S=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

D. $S=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$

Đáp án: C

Câu 17: Với mọi số tự nhiên $n\ge 2$ bất đẳng thức nào sau đây đúng?

A. $3^n>4n+1$

B.  $3^n>4n+2$

C.  $3^n>3n+2$

D.   Cả ba đều đúng

Đáp án: C

Câu 18. Tính tổng:

1.4 + 2.7 + … +n.(3n +1)

A. $n.{(n+1)}^2$

B. $(n+1).{(n+\text{}2)}^2$

C.  $(n+\text{}1).(2n-3){\text{}}^2$

D. Đáp án  khác

Đáp án: A

Câu 19. Chứng minh $n^3+\text{}3n^2+5n$ chia hết cho 3

Đáp án:

Đặt $u_n=n^3+\text{}3n^2+5n$

Ta có $u_1=1^3+{3.1}^2+5.1=9$ chia hết cho 3.

Giả sử $u_k=k^3+\text{}3k^2+5k$ chia hết cho 3.

Ta cần chứng minh

$$\begin{gathered} u_{k+1}={\left(k+1\right)}^3+3{\left(k+1\right)}^2 \\ +5\left(k+1\right) \end{gathered}$$ chia hết cho 3.

Thật vậy, ta có:
 $u_{k+1}$

$=k^3+3k^2+3k+1+3k^2+6k+3$

$+5k+5$

$=k^3+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}6k^2+\text{\hspace{0.17em}}14k+\text{}9$

$=(k^3+\text{}3k{}_2+\text{}5k)$

$+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}(3k^2\text{}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}9k+\text{\hspace{0.17em}}9)$

$=u_k+3\left(k^2+3k+3\right)$.

 Vì $u_k$ và $3\left(k^2+3k+3\right)$ đều chia hết cho 3, nên $u_{k+\text{}1}$ cũng chia hết cho 3.

Vậy với mọi số nguyên dương n thì $u_n$ chia hết cho 3.

Câu 20: Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho $2^{n+1}>n^2+3n$

A.  $n\ge 3$

B.  $n\ge 5$

C.  $n\ge 6$

D.  $n\ge 4$

Đáp án: D

Câu 21: Cho tổng $S_n=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\mathrm{...}+\frac{1}{n(n+1)}$. Mệnh đề nào đúng?

A. $S_n=\frac{1}{n+1}$

B. $S_n=\frac{n}{n+1}$

C. $S_n=\frac{n+1}{n+2}$

D. $S_n=\frac{n}{n+2}$

Đáp án: B

Câu 22: Đặt $S_n=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\mathrm{...}+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$ với $n\in N*$. Mệnh đề nào dưới đây đúng

A. $S_n=\frac{n+1}{2(2n+1)}$

B. $S_n=\frac{3n-1}{4n+2}$

C. $S_n=\frac{n+2}{6n+3}$

D. $S_n=\frac{n}{2n+1}$

Đáp án: C

Câu 23: Với $n\in N^{*}$, hãy rút gọn biểu thức

 $S=1.4+2.7+\mathrm{...}+n(3n+1)$

A.  $S=n{(n+1)}^2$ 

B.   $S=n{(n+2)}^2$

C.  $S=n(n+1)$

D.  $S=2n(n+1)$

Đáp án: A

Câu 24. Kí hiệu $k!=k(k-1)\mathrm{...2.1},\forall k\in N^{*}$ đặt $S_n=1.1!+2.2!+\mathrm{...}+n.n!$ Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. $S_n=2.n!$

B. $S_n=(n+1)!-1$

C. $S_n=(n+1)!$

D. $S_n=(n+1)!+1$

Đáp án: B

Câu 25: Chọn mệnh đề đúng: Với mọi $n\in N*$ thì:

A.  $({13}^n-1)⋮13$

B.  $({13}^n-1)⋮8$

C.  $({13}^n-1)⋮12$

D.  $({13}^n-1)⋮7$

Đáp án: C

Câu 26: Bất đẳng thức nào sau đây đúng? Với mọi số tự nhiên n thỏa $n\ge 3$ thì:

A.  $2^n<n$

B.  $2^n<2n$

C.  $2^n<n+1$

D.  $2^n>2n+1$

Đáp án: D

Câu 27. Bất đẳng thức nào sau đây đúng? Với mọi số nguyên dương n thì:

A. $1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\mathrm{...}+\frac{1}{\sqrt{n}}>2\sqrt{n}$

B. $1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\mathrm{...}+\frac{1}{\sqrt{n}}>3\sqrt{n}$

C. $1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\mathrm{...}+\frac{1}{\sqrt{n}}<2\sqrt{n}$

D. $1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\mathrm{...}+\frac{1}{\sqrt{n}}>4\sqrt{5}$

Đáp án: C

Câu 28: Tìm công thức tính số hạng tổng quát u_n theo n của dãy số sau 

A. u_n = 3n + n² -1

B. u_n = 2n + 1

C. u_n = 4n - 10

D. Đáp án khác

A. Dãy số tăng

B. Dãy số giảm

C. Dãy số không tăng không giảm

D. Dãy số không đổi.

Đáp án: B

A. Dãy số giảm, bị chặn trên

B. Dãy số tăng, bị chặn dưới

C. Dãy số tăng, bị chặn.

D. Dãy số giảm, bị chặn dưới.

Đáp án: C

A. 300.

B. 212.

C. 250.

D. 249.