Lời giải:

Xét cấp số cộng  $(u_n)$ với $u_{n+1}=u_n+d$, ta có: $u_{n+1}–u_n=d$

+) $u_{n+1}>u_n$ nếu $d>0$

+)  $u_{n+1}<u_n$ nếu $d<0$

Vậy cấp số cộng $(u_n)$

+) Tăng nếu $d>0$

+) Giảm nếu $d<0$.

a) $q>0$

b) $q<0$

Phương pháp giải:

SHTQ của cấp số nhân: $u_n=u_1{q}^{n-1}$ với $u_1$ là số hạng đầu của CSN và $q$ là công bội của CSN.

Lời giải:

a)

Ta có: $u_n=u_1{q}^{n-1}$

$q>0\Rightarrow q^{n-1}>0\Rightarrow u_1.q^{n-1}<0$

(vì $u_1<0$)

$\Rightarrow u_n<0,\mathrm{\forall }n$

b)

Do $q<0$ nên:

+ Nếu $n$ chẵn $\Rightarrow n-1$ lẻ $\Rightarrow q^{n-1}<0$

$\Rightarrow u_1.q^{n-1}>0(\mathrm{V}ìu_1<0).$

$\Rightarrow u_n>0.$

+ Nếu $n$ lẻ $\Rightarrow n-1$ chẵn $\Rightarrow q^{n-1}>0$

$\Rightarrow u_1.q^{n-1}<0(\mathrm{V}ìu_1<0).$

$\Rightarrow u_n<0.$

Vậy nếu $q<0,u_1<0$ thì các số hạng thứ chẵn dương và các số hạng thứ lẻ âm.

Lời giải:

Giả sử có hai cấp số cộng $(u_n)$ với công sai $d_1$ và $\left(v_n\right)$ với công sai $d_2$.

Suy ra $\{\begin{array}{l}{u}_{n+1}-u_n=d_1\\ v_{n+1}-v_n=d_2\end{array}$

Xét dãy $(a_n)$ với $a_n=u_n+v_n$

Ta có: $a_{n+1}-a_n=(u_{n+1}+v_{n+1})-(u_n+v_n)$

$\begin{array}{l}=(u_{n+1}-u_n)+(v_{n+1}-v_n)\\ =d_1+d_2=const\end{array}$

Vậy $(a_n)$ là cấp số cộng có số hạng đầu là $a_1=u_1+v_1$ và công sai là $d_1+d_2$

Ví dụ:

$1,3,5,7,...$ là cấp số cộng có $u_1=1$ và $d_1=2$

$0,5,10,15,...$ là cấp số cộng có $v_1=0$ và $d_2=5$

$\Rightarrow (a_n):1,8,15,22,...$ là cấp số cộng có $a_1=1+0=1$ và $d=d_1+d_2=2+5=7$.

Gọi $(a_n)$ là cấp số nhân công bội $q_1$ và $(b_n)$ là cấp số nhân công bội $q_2$ tương ứng.

Xét $\left(u_n\right)$ với $u_n=a_n.b_n$

Ta có:

$u_{n+1}=a_{n+1}.b_{n+1}$

$\Rightarrow \frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{a_{n+1}{b}_{n+1}}{a_n{b}_n}=\frac{a_{n+1}}{a_n}.\frac{b_{n+1}}{b_n}=q_1{q}_2$

Vậy dãy số $(u_n)$ là một cấp số nhân có công bội : $q=q_1{q}_2$

Ví dụ:

$1,2,4,...$ là cấp số nhân có công bội $q_1=2$

$3,9,27,...$ là cấp số nhân có công bội $q_2=3$

Suy ra: $3,18,\mathrm{108...}$ là cấp số nhân có công bội: $q=q_1{q}_2=2.3=6$.

a) ${13}^n-1$ chia hết cho $6$;

b) $3n^3+15n$ chia hết cho $9$.

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh.

Lời giải:

a)

Với $n=1$, ta có: ${13}^1–1=13–1=12⋮6$

Giả sử: ${13}^k-1$ $⋮$ $6$ với mọi $k\ge 1$

Ta chứng minh: ${13}^{k+1}–1$ chia hết cho $6$

Thật vậy:

${13}^{k+1}-1={13}^{k+1}-{13}^k+{13}^k-1$

$\begin{array}{l}=\left({13}^{k+1}-{13}^k\right)+\left({13}^k-1\right)\\ ={13}^k\left(13-1\right)+\left({13}^k-1\right)\end{array}$

$={12.13}^k+{13}^k-1$

Vì : ${12.13}^k$ $⋮$ $6$ và ${13}^k–1$ $⋮$ $6$ (theo giả thiết quy nạp)

Nên : ${13}^{k+1}–1$ $⋮$ $6$

Vậy ${13}^n-1$ chia hết cho $6$ với mọi $n\in N^{\ast }$.

b)

Với $n=1$, ta có: ${3.1}^3+15.1=18$ $⋮$ $9$

Giả sử:  $3k^3+15k$ $⋮$ $9$ $\mathrm{\forall }k\ge 1$.

Ta chứng minh: $3(k+1{)}^3+15(k+1)$ $⋮$ $9$

Thật vậy:

$3{\left(k+1\right)}^3+15\left(k+1\right)$

$=3.(k^3+3k^2+3k+1)+15\left(k+1\right)$

$=3k^3+9k^2+9k+15k+18$

$=(3k^3+15k)+9(k^2+k+2)$

Vì $3k^3+15k$ $⋮$ $9$ (theo giả thiết quy nạp) và $9(k^2+k+2)$ $⋮$ $9$

Nên: $3(k+1{)}^3+15(k+1)$ $⋮$ $9$

Vậy: $3n^3+15n$ chia hết cho $9$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

a) $u_n=n+\frac{1}{n}$;

b) $u_n=(-1{)}^{n-1}\sin \frac{1}{n}$;

c) $u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$.

Phương pháp giải:

*) Xét hiệu $u_{n+1}-u_n$.

Nếu hiệu trên dương thì dãy số là dãy số tăng.

Nếu hiệu trên âm thì dãy số là dãy số giảm.

Nếu hiệu trên bằng 0 thì dãy số là dãy không đổi.

*) Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số $M$ sao cho $u_n\le M\mathrm{\forall }n\in N^{\ast }$.

Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số $m$ sao cho $u_n\ge m\mathrm{\forall }n\in N^{\ast }$.

Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số $M,m$ sao cho $m\le u_n\le M\mathrm{\forall }n\in N^{\ast }$.

Lời giải:

a) Xét hiệu:

$\begin{array}{l}{u}_{n+1}-u_n\\ =\left(n+1+\frac{1}{n+1}\right)-\left(n+\frac{1}{n}\right)\\ =n+1+\frac{1}{n+1}-n-\frac{1}{n}\\ =1+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}\\ =\frac{n^2+n+n-n-1}{n\left(n+1\right)}=\frac{n^2+n-1}{n\left(n+1\right)}>0\mathrm{\forall }n\in N^{\ast }\end{array}$

Do $n^2+n-1\ge 1^2+1-1=1>0$ và n(n+1) > 0 với $\mathrm{\forall }n\in N^{\ast }$

Suy ra: $u_n$ là dãy số tăng.

Mặt khác: $u_n=n+\frac{1}{n}\ge 2\sqrt{n.\frac{1}{n}}=2,\mathrm{\forall }n\in N^{\ast }$ $\Rightarrow u_n$ là dãy số bị chặn dưới.

Khi $n$ càng lớn thì $u_n$ càng lớn nên $u_n$ là dãy số không bị chặn trên.

Vậy $u_n$ là dãy số tăng và bị chặn dưới.

b)

Ta có:

 $u_1=(-1{)}^{1-1}\sin 1=\sin 1>0$

$\begin{array}{rl}& u_2={\left(-1\right)}^{2-1}.\sin \frac{1}{2}=-\sin \frac{1}{2}<0\\ & u_3=(-1{)}^{3-1}.\sin \frac{1}{3}=\sin \frac{1}{3}>0\end{array}$

$\Rightarrow u_1>u_2$ và $u_2<u_3$

Vậy $u_n$ là dãy số không tăng không giảm.

Ta lại có: $\left|u_n\right|=\left|{\left(-1\right)}^{n-1}\sin \frac{1}{n}\right|=\left|\sin \frac{1}{n}\right|\le 1$$\iff -1\le u_n\le 1$

Vậy $u_n$ là dãy số bị chặn.

Cách khác:

Với $n\ge 1$ thì $0<\frac{1}{n}<1<\frac{\pi }{2}\Rightarrow \sin \frac{1}{n}>0,\mathrm{\forall }n$

Suy ra: Với $n$ chẵn $\Rightarrow n-1$ lẻ

$\Rightarrow {\left(-1\right)}^{n-1}=-1\Rightarrow u_n<0$

Với $n$ lẻ $\Rightarrow n-1$ chẵn

$$\begin{array}{l}\Rightarrow {\left(-1\right)}^{n--1}=1\Rightarrow u_n>0.\\ \Rightarrow u_1>u_2<u_3>u_4<u_5>u_6\dots \end{array}$$

$\Rightarrow (u_n)$ không tăng không giảm.

$\Rightarrow {\left(-1\right)}^{n-1}=-1\Rightarrow u_n<0$

c)

Ta có:

$u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ $=\frac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$$=\frac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$ $=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$

Xét hiệu:

$\begin{array}{rl}& u_{n+1}-u_n\\ & =\frac{1}{\sqrt{(n+1)+1}+\sqrt{n+1}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\\ & =\frac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\end{array}$ 

Ta có:

$\{\begin{array}{c}\sqrt{n+2}>\sqrt{n+1}\hfill \\ \sqrt{n+1}>\sqrt{n}\hfill \end{array}$

$\Rightarrow \sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}>\sqrt{n+1}+\sqrt{n}>0$

$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}<\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$

$\Rightarrow u_{n+1}-u_n<0$

$\Rightarrow u_n$  là dãy số giảm.

Mặt khác: $u_n=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}>0,\mathrm{\forall }n\in N^{\ast }$ $\Rightarrow u_n$ là dãy số bị chặn dưới.

Ta lại có: với $n\ge 1$ thì $\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\ge \sqrt{2}+1$

$\Rightarrow u_n=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\le \frac{1}{\sqrt{2}+1}$

Suy ra: $u_n$ là dãy số bị chặn trên.

Vậy $u_n$ là dãy số giảm và bị chặn.

Bài 8 trang 107 SGK Đại số và giải tích 11: Tìm số hạng đầu u1 và công sai d của các cấp số cộng $\left(u_n\right)$biết:

a) $\{\begin{array}{c}5u_1+10u_5=0\hfill \\ S_4=14\hfill \end{array}$

b) $\{\begin{array}{c}{u}_7+u_{15}=60\hfill \\ u_4^2+u_{12}^2=1170\hfill \end{array}$

Phương pháp giải:

a) Sử dụng các công thức :$$\begin{array}{l}{u}_n=u_1+\left(n-1\right)d\\ S_n=\frac{\left(2u_1+\left(n-1\right)d\right)n}{2}\end{array}$$

b)Sử dụng các công thức 

$$\begin{array}{l}{u}_n=u_1+\left(n-1\right)d\\ S_n=\frac{\left(2u_1+\left(n-1\right)d\right)n}{2}\end{array}$$

Lời giải:

a)

Ta có:

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}5u_1+10u_5=0\\ S_4=14\end{array}\iff \{\begin{array}{l}5u_1+10\left(u_1+4d\right)=0\\ \frac{\left(2u_1+3d\right).4}{2}=14\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}15u_1+40d=0\\ 2u_1+3d=7\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{u}_1=8\\ d=-3\end{array}\end{array}$

Vậy số hạng đầu $u_1=8$, công sai $d=-3$.

b)

Ta có:

$\{\begin{array}{c}{u}_7+u_{15}=60\hfill \\ u_4^2+u_{12}^2=1170\hfill \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}(u_1+6d)+(u_1+14d)=60(1)\hfill \\ (u_1+3d{)}^2+(u_1+11d{)}^2=1170(2)\hfill \end{array}$

$(1)\iff 2u_1+20d=60\iff u_1=30–10d$ thế vào $(2)$

$(2)\iff [(30–10d)+3d{]}^2+[(30–10d)+11d{]}^2=1170$

$\iff (30–7d{)}^2+(30+d{)}^2=1170$

$\iff 900–420d+49d^2+900+60d+d^2=1170$

$\iff 50d^2–360d+630=0$ 

$\iff [\begin{array}{c}d=3\Rightarrow u_1=0\hfill \\ d=\frac{21}{5}\Rightarrow u_1=-12\hfill \end{array}$

Vậy $\{\begin{array}{c}{u}_1=0\hfill \\ d=3\hfill \end{array}$ hoặc $\{\begin{array}{c}{u}_1=-12\hfill \\ d=\frac{21}{5}\hfill \end{array}$

a) $\{\begin{array}{c}{u}_6=192\hfill \\ u_7=384\hfill \end{array}$

b) $\{\begin{array}{c}{u}_4-u_2=72\hfill \\ u_5-u_3=144\hfill \end{array}$

c) $\{\begin{array}{c}{u}_2+u_5-u_4=10\hfill \\ u_3+u_6-u_5=20\hfill \end{array}$

Phương pháp giải:

a) Sử dụng công thức số hạng tổng quát của CSN: $u_n=u_1{q}^{n-1}$.

b) Sử dụng công thức số hạng tổng quát của CSN: $u_n=u_1{q}^{n-1}$.

c) Sử dụng công thức số hạng tổng quát của CSN: $u_n=u_1{q}^{n-1}$.

Lời giải:

a)

$\{\begin{array}{c}{u}_6=192\hfill \\ u_7=384\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}{u}_1.q^5=192(1)\hfill \\ u_1.q^6=384(2)\hfill \end{array}$

Lấy (2) chia (1) theo vế với vế ta được: $q=2$ thế vào (1) ta có: $u_1{.2}^5=192\iff u_1=6$

Vậy $u_1=6$ và $q=2$.

b)

Ta có:

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}{u}_4-u_2=72\\ u_5-u_3=144\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}{u}_1{q}^3-u_{1}q=72\\ u_1{q}^4-u_1{q}^2=144\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}{u}_{1}q\left(q^2-1\right)=72\\ u_1{q}^2\left(q^2-1\right)=144\end{array}\\ \Rightarrow \frac{u_1{q}^2\left(q^2-1\right)}{u_{1}q\left(q^2-1\right)}=\frac{144}{72}\\ \iff q=\frac{144}{72}=2\\ \Rightarrow u_1.2.\left(2^2-1\right)=72\\ \iff u_1.6=72\iff u_1=12\end{array}$

Vậy $u_1=12$ và $q=2$.

c)

Ta có:

$\begin{array}{rl}& \{\begin{array}{c}{u}_2+u_5-u_4=10\hfill \\ u_3+u_6-u_5=20\hfill \end{array}\\ & \iff \{\begin{array}{c}{u}_1.q+u_1.q^4-u_1.q^3=10\hfill \\ u_1.q^2+u_1.q^5-u_1.q^4=20\hfill \end{array}\\ & \iff \{\begin{array}{c}{u}_{1}q(1+q^3-q^2)=10(1)\hfill \\ u_1{q}^2(1+q^3-q^2)=20(2)\hfill \end{array}\end{array}$

Lấy (2) chia (1) theo vế với vế ta được: $q=2$ thế vào (1)

(1) $\iff 2u_1(1+8–4)=10\iff u_1=1$

Vậy $u_1=1$ và $q=2$.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức SHTQ:$u_n=u_1+\left(n-1\right)d$.

Lời giải:

Theo giả thiết ta có: $A,B,C,D$ là một cấp số cộng và $\hat{C}=5\hat{A}$            

Giả sử cấp số cộng tạo thành có công sai là: $d$. Theo tính chất của cấp số cộng ta có:

$\hat{B}=\hat{A}+d$, $\hat{C}=\hat{A}+2d$, $\hat{D}=\hat{A}+3d$

$\Rightarrow \hat{A}+2d=5\hat{A}$

$\iff 4\hat{A}-2d=0$    (1)

Mà tổng bốn góc của tứ giác bằng ${360}^0$ nên:

$\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}+\hat{D}={360}^0$

$\iff \hat{A}+\left(\hat{A}+d\right)+\left(\hat{A}+2d\right)+\left(\hat{A}+3d\right)={360}^0$

$\iff 4\hat{A}+6d={360}^0$ (2)      

Lấy $(2)-(1)$ ta được: $8d={360}^0\Rightarrow d={45}^0$

$\begin{array}{l}\Rightarrow 4\hat{A}-{2.45}^0=0\\ \iff \hat{A}=22,5^0={22}^0{30}^{\prime }\\ \hat{B}=\hat{A}+{45}^0={67}^0{30}^{\prime }\\ \hat{C}=\hat{A}+{2.45}^0={112}^0{30}^{\prime }\\ \hat{D}=\hat{A}+{3.45}^0={157}^0{30}^{\prime }\end{array}$

Lời giải:

Giả sử ba số $x,y,z$ lập thành một cấp số nhân với công bội $q$ ta có: $y=x.q$ và $z=y.q=x.q^2$.

Ba số $x,2y,3z$ lập thành một cấp số cộng nên:

$x+3z=2.2y$

$\iff x+3.(x{q}^2)=4.(xq)$

$\iff x+3x{q}^2-4xq=0$

$\iff x.(1+3q^2–4q)=0$

$\iff x=0$ hoặc $3q^2–4q+1=0$

Nếu $x=0$ thì $x=y=z=0$, $q$ không xác định (loại)

Nếu $x\ne 0$ thì $3q^2-4q+1=0\iff [\begin{array}{c}q=1\hfill \\ q=\frac{1}{3}\hfill \end{array}$

Cách khác:

Gọi công bội của CSN $x;y;z$ là $q$.

$\Rightarrow y=x.q;z=x.q^2.$

Lại có : $x;2y;3z$ lập thành CSC

$\begin{array}{l}\iff 2y-x=3z-2y\\ \iff 2.xq-x=3.x{q}^2-2.xq\\ \iff x\left(2q-1\right)=x.\left(3q^2-2q\right)\\ \iff x.\left(3q^2-4q+1\right)=0\end{array}$

+ Nếu $x=0\Rightarrow y=z=0$

$\Rightarrow q$ không xác định (loại).

+ Nếu $x\ne 0\Rightarrow 3q^2--4q+1=0\iff q=1$ hoặc $q=\frac{1}{3}$

Vậy CSN có công bội $q=1$ hoặc $q=\frac{1}{3}$.

Lời giải:

Gọi diện tích đáy tháp là S0; diện tích mặt trên của tầng 1; tầng 2; tầng 3; … lần lượt là $S_1;S_2;S_3;\dots ;S_{11}.$

Ta có:

Diện tích đế tháp: $S_0=12288m^2$

Diện tích tầng 1: $S_1=\frac{1}{2}{S}_0=\frac{1}{2}.12288m^2=6144m^2$

Theo giả thiết diện tích của bề mặt trên mỗi tầng bằng nửa diện tích mặt trên của tầng ngay bên dưới.

Do đó $(S_n)$ là CSN có số hạng đầu $S_1=6144m^2$ công bội $q=\frac{1}{2}$.

Diện tích tầng 11 là $S_{11}=S_1{q}^{10}=6144.{\left(\frac{1}{2}\right)}^{10}=6m^2$.

a) Số hạng $u_{n+1}$bằng:

A. $3^n+1$                         B. $3^n+3$

C. $3^n.3$                             D. $3(n+1)$

b) Số hạng $u_{2n}$ bằng:

A. ${2.3}^n$                              B. $9^n$

C. $3^n+3$                          D. $6n$

c) Số hạng $u_{n-1}$bằng :

A. $3^n-1$                         B. $\frac{1}{3}{.3}^n$

C. $3^n–3$                           D. $3n–1$

d) Số hạng $u_{2n-1}$ bằng:

A. $3^2{.3}^n-1$                    B. $3^n{.3}^{n-1}$

C. $3^{2n}-1$                        D. $3^{2(n-1)}$

Phương pháp giải:

a) Thay $n$ bằng $n+1$.

b) Thay $n$ bằng $2n$.

c) Thay $n$ bằng $n-1$.

d) Thay $n$ bằng $2n-1$.

Lời giải:

a) Ta có: $u_{n+1}=3^{n+1}=3^n.3$

Chọn đáp án C.

b) Ta có: $u_{2n}=3^{2n}=(3^2{)}^n=9^n$,

Chọn đáp án B.

c) Ta có: $u_{n-1}=3^{n-1}=3^n{.3}^{-1}=\frac{3^n}{3}$

d) Ta có: $u_{2n-1}=3^{2n-1}=3^n{.3}^{n-1}$

Chọn đáp án B.

A. $(-1{)}^{n+1}.\sin \frac{\pi }{n}$      B. $(-1{)}^{2n}(5^n+1)$

C. ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n+1}+n}}$         D. ${\displaystyle \frac{n}{n^2+1}}$

Phương pháp giải:

Dãy số $\left(u_n\right)$ là dãy số tăng nếu ta có $u_{n+1}>u_n$ với mọi $n\in N^{\ast }$.

Lời giải:

Xét từng phương án ta có:

_ Phương án A không được vì dãy số có chứa nhân tử ${\left(-1\right)}^{n+1}$ nên các số hạng sẽ đan dấu, do đó, $u_n$ không thể là dãy số tăng.

_ Phương án C:

$\begin{array}{rl}& u_3=\frac{1}{\sqrt{3+1}+1}=\frac{1}{3}\\ & u_8=\frac{1}{\sqrt{8+1}+1}=\frac{1}{4}\end{array}$

$\Rightarrow u_8<u_3\Rightarrow u_n$ không là dãy số tăng $\Rightarrow$ loại đáp án C

_ Phương án D: $u_1=\frac{1}{2},u_2=\frac{2}{5}$

$\Rightarrow u_2<u_1\Rightarrow u_n$ không là dãy số tăng $\Rightarrow$ loại phương án D

Chọn đáp án B.

Thật vậy:

$u_n={\left(-1\right)}^{2n}.(5^n+1)=5^n+1$ 

(vì $2n$ chẵn nên ${\left(-1\right)}^{2n}=1$)                                                                

Ta có:

$u_{n+1}-u_n=(5^{n+1}+1)-(5^n+1)=5^{n+1}-5^n$

$=5^n.(5–1)=4.5^n>0,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$

Suy ra: $u_n$ là dãy số tăng.

Cách tổng quát:

Đáp án A:

(un): $u_n={\left(-1\right)}^{n+1}.\sin \frac{\pi }{n}$ có:

$u_1;u_3;u_5;\dots$ dương

$u_2;u_4;u_6;\dots$ âm

⇒ dãy số không tăng không giảm.

Đáp án B:

$(u_n):{\left(-1\right)}^{2n}.(5^n+1)=5^n+1.$

$u_{n+1}=5^{n+1}+1>5^n+1=u_n$ với mọi n ∈ N.

$\Rightarrow (u_n)$ là dãy số tăng.

Đáp án C:

$\begin{array}{l}+(u_n):u_n=\frac{1}{\sqrt{n+1}+n}\\ u_{n+1}=\frac{1}{\sqrt{n+2}+n+1}<\frac{1}{\sqrt{n+1}+n}=u_n\end{array}$

$\Rightarrow (u_n)$ là dãy số giảm.

Đáp án D:

$\begin{array}{l}+(u_n):u_n=\frac{n}{n^2+1}\\ u_{n+1}-u_n=\frac{n+1}{{\left(n+1\right)}^2+1}-\frac{n}{n^2+1}\\ =\frac{\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)-n.\left(n^2+2n+1\right)}{\left(n^2+2n+1\right)\left(n^2+1\right)}\\ =\frac{-n^2-n+1}{\left(n^2+2n+1\right)\left(n^2+1\right)}<0\mathrm{\forall }n\ge 1.\end{array}$

$\Rightarrow (u_n)$ là dãy giảm.

A. $x=-6,y=-2$       B. $x=1,y=7$

C. $x=2,y=8$             D. $x=2,y=10$

Phương pháp giải:

Tính chất CSC: Nếu ba số x, y, z là ba số hạng liên tiếp của CSC thì $x+z=2y$.

Lời giải:

Theo giả thiết: $-2,x,6,y$ là cấp số cộng

$\iff \{\begin{array}{c}2x=(-2)+6\hfill \\ 2.6=x+y\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=2\hfill \\ y=10\hfill \end{array}$

Chọn đáp án D.