Câu hỏi 1 trang 98 SGK Đại số và Giải tích 11: Tục truyền rằng nhà vua Ấn Độ cho phép người phát minh ra bàn cờ Vua được lựa chọn một phần thưởng tùy theo sở thích. Người đó chỉ xin nhà vua thưởng cho số thóc bằng số thóc được đặt lên 64 ô của bàn cờ như sau: Đặt lên ô thứ nhất của bàn cờ một hạt thóc, tiếp ô thứ hai hai hạt, … cứ như vậy, số hạt thóc ở ô sau gấp đôi số hạt thóc ở ô trước cho đến ô cuối cùng. Hãy cho biết số hạt thóc ở các ô từ ô thứ nhất đến thứ sáu của bàn cờ.

Lời giải:

Số hạt thóc ở các ô từ ô thứ nhất đến thứ sáu là: 1; 2; 4; 8; 16; 3.

Câu hỏi 2 trang 99 SGK Đại số và Giải tích 11: Hãy đọc hoạt động 1 và cho biết ô thứ 11 có bao nhiêu hạt thóc?

Lời giải:

Từ câu hỏi 1 ta thấy:

Ô thứ 1 có $1=2^0=2^{1-1}$ hạt thóc.

Ô thứ 2 có $2=2^1=2^{2-1}$ hạt thóc.

Ô thứ 3 có $4=2^2=2^{3-1}$ hạt thóc.

Ô thứ 4 có $8=2^3=2^{4-1}$ hạt thóc.

Ô thứ 5 có $16=2^4=2^{5-1}$ hạt thóc.

...

Tổng quát: Ô thứ n có $2^{n-1}$ hạt thóc.

Ô thứ 11 có: $2^{11-1}=2^{10}=1024$ hạt thóc.

Câu hỏi 3 trang 101 SGK Đại số và Giải tích 11: Cho cấp số nhân $\left(u_n\right)$ với $u_1=-2$ và $q=\frac{-1}{2}$.

a) Viết năm số hạng đầu của nó;

b) So sánh $u_2^2$ với tích $u_1.u_3$ và $u_3^2$ với tích $u_2.u_4$. Nêu nhận xét tổng quát từ kết quả trên.

Lời giải:

a)

$\begin{array}{rl}& \\ & u_1=-2\\ & u_2=u_1.q=-2.\frac{-1}{2}=1\\ & u_3=u_2.q=1.\frac{-1}{2}=\frac{-1}{2}\\ & u_4=u_3.q=\frac{-1}{2}.\frac{-1}{2}=\frac{1}{4}\\ & u_5=u_4.q=\frac{1}{4}.\frac{-1}{2}=\frac{-1}{8}\end{array}$

b)

$\begin{array}{rl}& {u_2}^2=1^2=1\\ & u_1.u_3=u_1.q=-2.\frac{-1}{2}=1\\ & \Rightarrow {u_2}^2=u_1.u_3\\ & {u_3}^2={\left(\frac{-1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}\\ & u_2.u_4=1.\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\\ & \Rightarrow {u_3}^2=u_2.u_4\\ & \text{Do đó }:{u_k}^2=u_{k-1}.u_{k+1};k\ge 2\end{array}$

Câu hỏi 4 trang 101 SGK Đại số và Giải tích 11: Tính tổng số các hạt thóc ở $11$ ô đầu của bàn cờ nêu ở hoạt động 1.

Nhân cả tổng S cần tính với 2 rồi lấy 2S - S , thu gọn ta được kết quả.

Lời giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}{u}_1=1\\ u_2=2\\ u_3=2^2\\ ...\\ u_{11}=2^{10}\end{array}$

$\Rightarrow S=u_1+u_2+...+u_{10}$ $=1+2+2^2+...+2^{10}$

$\Rightarrow 2S=2+2^2+...+2^{10}+2^{11}$

$\Rightarrow 2S-S=\left(2+2^2+...+2^{10}+2^{11}\right)$ $-\left(1+2+2^2+...+2^{10}\right)$

$\Rightarrow S=2^{11}-1=2047$

Cách tổng quát:

Ta có:

$\begin{array}{l}S=u_1+u_2+u_3+u_4+u_5+u_6+u_7+u_8+u_9+u_{10}+u_{11}\\ =u_1+u_1.q+u_1.q^2+\cdots +u_1.q^9+u_1.q^{10}\left(1\right)\\ \Rightarrow S.q=u_1.q+u_1.q^2+\cdots +u_1.q^9+u_1.q^{10}+u_1.q^{11}\left(2\right)\end{array}$

Lấy (1) trừ (2), ta được:

$\left(1-q\right)S=u_1\left(1-q^{11}\right)$

$\Rightarrow S=\frac{u_1\left(1-q^{11}\right)}{1-q}$

Do đó tổng số hạt thóc của 11 ô đầu là $S=\frac{1\left(1-2^{11}\right)}{1-2}=2^{11}-1=2047$

Câu hỏi 5 trang 102 SGK Đại số và Giải tích 11: Tính tổng:${\displaystyle S=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^n}}$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính tổng cấp số nhân:

$S_n={\displaystyle \frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}}$

Lời giải:

Cấp số nhân có: $u_1=1$, ${\displaystyle q=\frac{1}{3}}$

S là tổng của $n+1$ số hạng đầu tiên

${\displaystyle \Rightarrow S=\frac{u_1(1-q^{n+1})}{1-q}=\frac{1.\left[1-{(\frac{1}{3})}^{n+1}\right]}{1-\frac{1}{3}}}$ ${\displaystyle =\frac{3}{2}\left[1-{(\frac{1}{3})}^{n+1}\right]}$

Cách 2:

Ta có:

$\begin{array}{l}S=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+...+\frac{1}{3^n}\\ \Rightarrow 3S=3+1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{n-1}}\\ \Rightarrow 3S=3+S-\frac{1}{3^n}\\ \Rightarrow 2S=3-\frac{1}{3^n}\\ \Rightarrow S=\frac{1}{2}\left(3-\frac{1}{3^n}\right)=\frac{3}{2}\left(1-\frac{1}{3^{n+1}}\right)\end{array}$

Lời giải:

+) Ta có: $u_n={\displaystyle \frac{3}{5}}{.2}^n\Rightarrow u_1={\displaystyle \frac{3}{5}}{.2}^1={\displaystyle \frac{6}{5}}$

Với mọi $\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, ta có:

$u_{n+1}={\displaystyle \frac{3}{5}}{.2}^{n+1}$ $\Rightarrow {\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{3}{5}}{.2}^{n+1}}{{\displaystyle \frac{3}{5}}{.2}^n}}$ $={\displaystyle \frac{2^{n+1}}{2^n}}={\displaystyle \frac{2^n.2}{2^n}}=2$ (không đổi)

Vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân với $u_1={\displaystyle \frac{6}{5}}$ và $q=2$.

+) Ta có: $u_n={\displaystyle \frac{5}{2^n}}\Rightarrow u_1={\displaystyle \frac{5}{2^1}}={\displaystyle \frac{5}{2}}$

Với mọi $\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, ta có:

${\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{5}{2^{n+1}}}}{{\displaystyle \frac{5}{2^n}}}}={\displaystyle \frac{5}{2^{n+1}}}:{\displaystyle \frac{5}{2^n}}$ $={\displaystyle \frac{5}{2^{n+1}}}.{\displaystyle \frac{2^n}{5}}={\displaystyle \frac{2^n}{2^{n+1}}}={\displaystyle \frac{2^n}{2^n.2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ (không đổi)

Vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân với $u_1={\displaystyle \frac{5}{2}}$  và $q={\displaystyle \frac{1}{2}}$

+) Ta có: $u_n={\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n\Rightarrow u_1={\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^1=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

Với mọi $\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, ta có:

${\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n}}={\displaystyle \frac{{\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{n+1}}{{\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n}}={\displaystyle \frac{{\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n.\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}{{\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ (không đổi)

Vậy dãy số đã cho là cấp số nhân với $u_1={\displaystyle \frac{-1}{2}}$ và $q={\displaystyle \frac{-1}{2}}$.

Bài 2 trang 103 sgk toán 11: Cho cấp số nhân với công bội q.

a) Biết $u_1=2,u_6=486$. Tìm $q$;

b) Biết $q={\displaystyle \frac{2}{3}}$, $u_4={\displaystyle \frac{8}{21}}$. Tìm $u_1$;

c) Biết $u_1=3,q=-2$. Hỏi số $192$ là số hạng thứ mấy?

Phương pháp giải:

a) Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân: $u_n=u_1.q^{n-1}$.

b) Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân: $u_n=u_1.q^{n-1}$.

c) Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân: $u_n=u_1.q^{n-1}$.

Lời giải:

a) Ta có: $u_6=u_1.q^5\iff 486=2.q^5$ $\iff q^5=243\iff q=3$.

b) Ta có: $u_4=u_1.q^3$ $\iff {\displaystyle \frac{8}{21}}=u_1.{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^3=u_1.{\displaystyle \frac{8}{27}}$ $\iff u_1={\displaystyle \frac{9}{7}}$.

c) Gọi số hạng thứ $n$ của cấp số nhân bằng $192$ ta có:

$\begin{array}{l}{u}_n=u_1.q^{n-1}\iff 192=3.{\left(-2\right)}^{n-1}\\ \iff {\left(-2\right)}^{n-1}=64=(-2{)}^6\\ \iff n-1=6\iff n=7\end{array}$

Vậy $192$ là số hạng thứ $7$.

Bài 3 trang 103 sgk toán 11: Tìm các số hạng của cấp số nhân có năm số hạng, biết:

a) $u_3=3$ và $u_5=27$;

b) $u_4–u_2=25$ và $u_3–u_1=50$.

Phương pháp giải:

a) Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân: $u_n=u_1.q^{n-1}$.

b) Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân: $u_n=u_1.q^{n-1}$.

Lời giải:

a)

Trong cấp số nhân, ta có: $u_n=u_1.q^{n-1}$ Trong đó $u_1$ là số hạng thứ nhất, $u_n$ là số hạng thứ n và q là công bội.

Mà:

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}{u}_3=3\\ u_5=27\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{u}_1.q^2=3\\ u_1.q^4=27\end{array}\\ \Rightarrow \frac{u_1.q^4}{u_1.q^2}=\frac{27}{3}\iff q^2=9\iff q=\pm 3\\ +)q=3\Rightarrow u_1{.3}^2=3\\ \iff u_1={\displaystyle \frac{3}{3^2}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\\ \Rightarrow CSN:{\displaystyle \frac{1}{3}};1;3;9;27\\ +)q=-3\Rightarrow u_1.{\left(-3\right)}^2=3\\ \iff u_1={\displaystyle \frac{3}{{\left(-3\right)}^2}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\\ \Rightarrow CSN:{\displaystyle \frac{1}{3}};-1;3;-9;27\end{array}$

b)

Ta có: $u_4=u_1{q}^3;u_2=u_{1}q;u_3=u_1{q}^2$

Theo bài ra:

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}{u}_4-u_2=25\\ u_3-u_1=50\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}{u}_1{q}^3-u_{1}q=25\\ u_1{q}^2-u_1=50\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}{u}_{1}q\left(q^2-1\right)=25\\ u_1\left(q^2-1\right)=50\end{array}\\ \Rightarrow \frac{u_{1}q\left(q^2-1\right)}{u_1\left(q^2-1\right)}=\frac{25}{50}\iff q={\displaystyle \frac{25}{50}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\\ \Rightarrow u_1.{\left(\frac{1}{2}\right)}^2-u_1=50\\ \iff u_1.\left(-{\displaystyle \frac{3}{4}}\right)=50\iff u_1={\displaystyle \frac{-200}{3}}\\ \Rightarrow CSN:{\displaystyle \frac{-200}{3}};{\displaystyle \frac{-100}{3}};{\displaystyle \frac{-50}{3}};{\displaystyle \frac{-25}{3}};{\displaystyle \frac{-25}{6}}\end{array}$

Bài 4 trang 104 SGK Đại số và Giải tích 11: Tìm cấp số nhân có sáu số hạng, biết rằng tổng của năm số hạng đầu là $31$ và tổng của năm số hạng sau là $62$.

Sử dụng công thức số hạng tổng quát của CSN: $u_n=u_1{q}^{n-1}$  và công thức tổng n số hạng đầu tiên của CSN: $S_n=\frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}$.

Bài 5 trang 104 sgk toán 11: Tỉ lệ tăng dân số của tỉnh X là $1,4\mathrm{\%}$. Biết rằng số dân của tỉnh hiện nay là $1,8$ triệu người. Hỏi với mức tăng như vậy thì sau 5 năm, 10 năm số dân của tỉnh đó là bao nhiêu?

Số dân của tỉnh đó sau mỗi năm lập thành cấp số nhân, với$u_1=1,8,q=1+1,4\mathrm{\%}=1,014$.

Sử dụng công thức tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân: $u_n=u_1.q^{n-1}$

Bài 6 trang 104 sgk toán 11: Cho hình vuông C1 có cạnh bằng 4. Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông C2 (hình bên). Từ hình vuông C2 lại tiếp tục như trên để được hình vuông C3… Tiếp tục quá trình trên, ta nhận được các dãy các hình vuông C1, C2, C3, …,Cn

 

1. Định nghĩa

$u_n$ là cấp số nhân $\iff u_{n+1}=u_n.q$, với $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$

Công bội $q={\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n}}$.

Ví dụ:

Cho cấp số nhân $\left(u_n\right)$ thỏa mãn $u_1=5,q=3$. Tính $u_2$.

Ta có: $u_2=q{u}_1=3.5=15$.

2. Số hạng tổng quát

$u_n=u_1.q^{n-1},(n\ge 2)$

Ví dụ:

Cho cấp số nhân $\left(u_n\right)$ thỏa mãn $u_1=5,q=3$. Tính $u_5$.

Ta có:

$u_5=u_1{q}^4={5.3}^4=405$.

3. Tính chất

$u_k^2=u_{k-1}.u_{k+1}$ hay $|u_k|=\sqrt{u_{k-1}.u_{k+1}},$ với $k\ge 2$ 

Ví dụ:

Cho bốn số $x;5;25;y$ theo thứ tự đó lập thành một CSN. Tìm $x,y$.

Ta có:

$\begin{array}{l}{5}^2=x.25\iff x=1\\ {25}^2=5y\iff y=125\end{array}$

Vậy $x=1,y=125$.

4. Tổng n số hạng đầu 

$S_n={\displaystyle \frac{u_1(q^n-1)}{q-1}}$ $={\displaystyle \frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}}$, $(q\ne 1)$.

Ví dụ:

Cho cấp số nhân $\left(u_n\right)$ thỏa mãn $u_1=5,q=3$. Tính $S_{10}$.

Ta có:

$\begin{array}{l}{S}_{10}={\displaystyle \frac{u_1\left(1-q^{10}\right)}{1-q}}\\ ={\displaystyle \frac{5.\left(1-3^{10}\right)}{1-3}}\\ ={\displaystyle \frac{5\left(3^{10}-1\right)}{2}}\end{array}$