Toptailieu.vn giới thiệu Giải sách bài tập Toán lớp 8 Bài 2: Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân chi tiết giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 8. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 8 Bài 2: Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

Bài 10 Trang 51 SBT Toán 8 Tập 2: Đặt dấu $“<,>,\ge ,\le ”$ vào chỗ chấm cho thích hợp :

a) $(-2).3...(-8).5;$

b) $4.(-2)...(-7).(-2);$

c) $(-6{)}^2+2...36+2;$

d) $5.(-8)...135.(-8).$

Phương pháp giải:

Tính giá trị biểu thức ở hai vế rồi từ đó điền dấu thích hợp vào chỗ chấm.

Lời giải:

Đặt dấu $“<,>,\ge ,\le ”$ vào chỗ chấm cho thích hợp :

a) $(-2).3=-6;(-8).5=-40$

Vậy dấu thích hợp điền vào chỗ chấm là dấu $">"$ hoặc dấu $"\ge ".$

b) $4.(-2)=-8;(-7).(-2)=14$

Vậy dấu thích hợp điền vào chỗ chấm là dấu $"<"$ hoặc dấu $"\le ".$

c) $(-6{)}^2+2=3;36+2=3$

Vậy dấu thích hợp điền vào chỗ chấm là dấu $"\le "$ hoặc dấu $"\ge ".$

d) $5.(-8)=-40;$ $135.(-8)=-1080$

Vậy dấu thích hợp điền vào chỗ chấm là dấu $">"$ hoặc dấu $"\ge ".$ 

Bài 11 Trang 52 SBT Toán 8 Tập 2: Cho $m<n$, hãy so sánh:

a) $5m$ và $5n$

b) $-3m$ và $-3n$

Phương pháp giải:

Áp dụng các tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số dương và số âm.

- Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

- Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.

Lời giải:

a) Từ $m<n\Rightarrow 5m<5n$

(Nhân số $5$ vào hai vế bất đẳng thức $m<n$).

b) Từ $m<n\Rightarrow -3m>-3n$

(Nhân số $-3$ vào hai vế bất đẳng thức $m<n$).

Bài 12 Trang 52 SBT Toán 8 Tập 2: Số $b$ là số âm, số $0$, hay số dương nếu:

a) $5b>3b$                   b) $-12b>8b$

c) $-6b\ge 9b$                d) $3b\le 15b$

Phương pháp giải:

Áp dụng các tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số dương và số âm.

- Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

- Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.

Lời giải:

a) Ta có $5>3$. Mà $5b>3b$ nên $b$ là số dương.

b) Ta có $-12<8$. Mà $-12b>8b$ nên $b$ là số âm.

c) Ta có $-6<9$. Mà $-6b\ge 9b$ nên $b$ là số không dương (tức $b\le 0$).

d) Ta có $3<15$. Mà $3b\le 15b$ nên $b$ là số không âm (tức $b\ge 0$).

Bài 13 Trang 52 SBT Toán 8 Tập 2: Cho $a<b$, hãy đặt dấu "$<,>$" vào ô vuông cho thích hợp:

a) ${\displaystyle \frac{a}{2}}◻{\displaystyle \frac{b}{2}}$ ;

b) ${\displaystyle \frac{a}{-3}}◻{\displaystyle \frac{b}{-3}}.$

Phương pháp giải:

Áp dụng các tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số dương và số âm.

- Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

- Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.

Lời giải:

a) Ta có : $a<b$

Theo tính chất của bất đẳng thức, ta nhân ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ vào hai vế của bất đẳng thức $a<b$ ta được : ${\displaystyle \frac{a}{2}}<{\displaystyle \frac{b}{2}}.$

b) Ta có : $a<b$

Theo tính chất của bất đẳng thức, ta nhân ${\displaystyle \frac{1}{-3}}$ vào hai vế của bất đẳng thức $a<b$ ta được : ${\displaystyle \frac{a}{-3}}>{\displaystyle \frac{b}{-3}}.$

Bài 14 Trang 52 SBT Toán 8 Tập 2: Cho $m>n$, chứng tỏ :

a) $m+3>n+1$

b) $3m+2>3n$

Phương pháp giải:

Áp dụng các tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số dương và số âm, liên hệ giữa thứ tự và phép cộng; tính chất bắc cầu. 

 * Tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân:

- Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

- Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.

 * Tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép cộng: Khi cộng cùng một số vào hai vế của một bất đẳng thức ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

Lời giải:

a) Vì $m>n\Rightarrow m+3>n+3$ $(1)$

Vì $3>1\Rightarrow n+3>n+1$ $(2)$

Theo tính chất bắc cầu, từ $(1)$ và $(2)$ suy ra : $m+3>n+1.$

b) Vì $m>n\Rightarrow 3m>3n$   $(3)$

Vì $2>0\Rightarrow 3m+2>3m$  $(4)$

Theo tính chất bắc cầu, từ $(3)$ và $(4)$ suy ra :  $3m+2>3n.$

Bài 15 Trang 52 SBT Toán 8 Tập 2: Cho $m<n$, chứng tỏ :

a) $2m+1<2n+1;$

b) $4(m–2)<4(n–2);$

c) $3–6m>3–6n.$

Phương pháp giải:

Áp dụng các tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số dương và số âm, liên hệ giữa thứ tự và phép cộng.

 * Tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân:

- Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

- Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.

 * Tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép cộng: Khi cộng cùng một số vào hai vế của một bất đẳng thức ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

Lời giải:

a) Ta có : $m<n$

$\Rightarrow 2m<2n$ (Nhân số $2$ vào hai vế của bất đẳng thức $m<n$)

$\Rightarrow 2m+1<2n+1$ (Cộng số $1$ vào hai vế của bất đẳng thức $2m<2n$).

b) Ta có : $m<n$

$\Rightarrow m-2<n-2$ (Cộng số $-2$ vào hai vế của bất đẳng thức $m<n)$

$\Rightarrow 4\left(m-2\right)<4\left(n-2\right)$ (Nhân số $4$ vào hai vế của bất đẳng thức $m-2<n-2$).

c) Ta có : $m<n$

$\Rightarrow -6m>-6n$ (Nhân số $-6$ vào hai vế của bất đẳng thức $m<n$)

$\Rightarrow 3-6m>3-6n$  (Cộng số $3$ vào hai vế của bất đẳng thức $-6m>-6n)$.

Bài 16 Trang 52 SBT Toán 8 Tập 2: Cho $m<n$, chứng tỏ :

a) $4m+1<4n+5;$

b) $3–5m>1–5n.$

Phương pháp giải:

Áp dụng các tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số dương và số âm, liên hệ giữa thứ tự và phép cộng; tính chất bắc cầu.

Lời giải:

a)  Vì $m<n\Rightarrow 4m<4n$ 

$\Rightarrow 4m+1<4n+1$      $(1)$

Vì $1<5\Rightarrow 4n+1<4n+5$      $(2)$

Theo tính chất bắc cầu, từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $4m+1<4n+5.$

b) Vì $m<n\Rightarrow -5m>-5n$

$\Rightarrow 1-5m>1-5n$   $(3)$

Vì $3>1\Rightarrow 3-5m>1-5m$  $(4)$

Theo tính chất bắc cầu, từ $(3)$ và $(4)$ suy ra: $3-5m>1-5n$

Bài 17 Trang 52 SBT Toán 8 Tập 2: Cho $a>0,b>0$, nếu $a<b$ hãy chứng tỏ:

a) $a^2<ab$ và $ab<b^2$

b) $a^2<b^2$ và $a^3<b^3$

Phương pháp giải:

- Áp dụng các tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số dương : Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

- Áp dụng tính chất bắc cầu : Nếu $a<b;b<c$ thì $a<c.$

Lời giải:

a) Với $a>0,b>0$ ta có:

Vì $a<b\Rightarrow a.a<a.b\Rightarrow a^2<ab$   $(1)$

Vi $a<b\Rightarrow a.b<b.b\Rightarrow ab<b^2$  $(2)$

b) Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $a^2<b^2$

Ta có: $a<b\Rightarrow a.a^2<b.a^2\Rightarrow a^3<a^{2}b$   $(3)$

$a<b\Rightarrow a.b^2<b.b^2\Rightarrow a{b}^2<b^3$  $(4)$

$a<b\Rightarrow a.ab<b.ab\Rightarrow a^{2}b<a{b}^2$    $(5)$

Từ $(3)$, $(4)$ và $(5)$ suy ra: $a^3<a^{2}b<a{b}^2<b^3$

Vậy $a^3<b^3.$

Bài 18 Trang 52 SBT Toán 8 Tập 2: Cho $a>5$, hãy cho biết bất đẳng thức nào xảy ra:

a) $a+5>10$                     b) $a+4>8$

c) $-5>-a$                        d) $3a>13$

Phương pháp giải:

Áp dụng các tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số dương và số âm, liên hệ giữa thứ tự và phép cộng, tính chất bắc cầu.

Lời giải:

a) Ta có:

$a>5\Rightarrow a+5>5+5$ hay $a+5>10.$

b) Ta có:

$a>5\Rightarrow a+4>5+4\Rightarrow a+4>9$

Lại có $9>8$, từ đó suy ra $a+4>8.$

c) Ta có:

$a>5\Rightarrow -a<-5$ hay $-5>-a.$

d) Ta có:

$a>5\Rightarrow a.3>5.3\Rightarrow 3a>15$

Lại có $15>13$, từ đó suy ra $3a>13.$

Vậy tất cả các đẳng thức đã cho đều xảy ra.

Bài 19 Trang 52 SBT Toán 8 Tập 2: Cho $a$ là số bất kì, hãy đặt dấu $<,>,\le ,\ge$ vào ô vuông cho đúng :

a) $a^2◻0$                                                  b) $-a^2◻0$

c) $a^2+1◻0$                                          d) $-a^2-2◻0$

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất $a^2\ge 0$ với mọi $a.$

Lời giải:

a) Với $a\ne 0$ ta có $a^2>0$ ; với $a=0$ ta có $a^2=0$

Vậy $a^2\ge 0$ (với mọi $a$).

b) Ta có $a^2\ge 0$ $\Rightarrow -a^2\le 0$  (với mọi $a$).

c) $a^2\ge 0\Rightarrow a^2+1>0$ (với mọi $a$).

d) $-a^2\le 0\Rightarrow -a^2-2<0$  (với mọi $a$).

Bài 20 Trang 52 SBT Toán 8 Tập 2: Cho $a>b$ và $m<n$, hãy đặt dấu "$<,>$" vào ô vuông cho thích hợp :

a) $a(m-n)◻b(m-n);$

b) $m(a-b)◻n(a-b).$

Phương pháp giải:

*) Áp dụng các tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số dương và số âm.

- Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

- Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.

*) Áp dụng tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép cộng: Khi cộng cùng một số vào hai vế của một bất đẳng thức ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

Lời giải:

a) Ta có $m<n$ $\Rightarrow m+(-n)<n+(-n)$, hay $m-n<0$ (Cộng số $-n$ vào hai vế của bất đẳng thức $m<n$).

Lại có $a>b$ $\Rightarrow a(m-n)<b(m-n)$  (Nhân số $(m-n)$ âm vào hai vế của bất đẳng thức $a<b$).

b)  Ta có $a>b$ $\Rightarrow a+(-b)>b+(-b)$, hay $a-b>0$ (Cộng số $-b$ vào hai vế của bất đẳng thức \a>b\)).

Lại có $m<n$ $\Rightarrow m(a-b)<n(a-b)$  (Nhân số $(a-b)$ dương vào hai vế của bất đẳng thức $m<n$).

Bài 21 Trang 52 SBT Toán 8 Tập 2:  Cho $2a>8$, chứng tỏ $a>4.$

Điều ngược lại là gì ? Điều đó có đúng không ?

Phương pháp giải:

Áp dụng các tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số dương : Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

Lời giải:

Ta có: ${\displaystyle 2a>8\Rightarrow 2a.\frac{1}{2}>8.\frac{1}{2}\Rightarrow a>4}$

Ngược lại: Nếu $a>4$ thì $2a>8.$

Điều này đúng vì: $a>4\Rightarrow a.2>4.2\Rightarrow 2a>8.$

Bài 22 Trang 52 SBT Toán 8 Tập 2: a) Cho bất đẳng thức ${\displaystyle m>0.}$

Nhân cả hai vế của bất đẳng thức với số nào thì được bất đẳng thức ${\displaystyle \frac{1}{m}>0}$?

b) Cho bất đẳng thức $m<0.$

Nhân cả hai vế của bất đẳng thức với số nào thì được bất đẳng thức ${\displaystyle \frac{1}{m}<0}$?

Phương pháp giải:

Áp dụng các tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số dương và số âm.

- Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

- Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.

Lời giải:

a) Ta có : $m>0$ ${\displaystyle \Rightarrow \frac{1}{m^2}>0}$ 

${\displaystyle m>0\Rightarrow m.\frac{1}{m^2}>0.\frac{1}{m^2}\Rightarrow \frac{1}{m}>0}$

Vậy ta nhân hai vế bất phương trình $m>0$ với ${\displaystyle \frac{1}{m^2}}$ để được ${\displaystyle \frac{1}{m}>0.}$

b) Ta có:

${\displaystyle \begin{array}{rl}& m<0\Rightarrow m^2>0\Rightarrow \frac{1}{m^2}>0\\ & m<0\Rightarrow m.\frac{1}{m^2}<0.\frac{1}{m^2}\end{array}}$

${\displaystyle \Rightarrow \frac{1}{m}<0}$

Vậy ta nhân hai vế bất phương trình $m<0$ với ${\displaystyle \frac{1}{m^2}}$ để được ${\displaystyle \frac{1}{m}<0.}$

Bài 23 Trang 53 SBT Toán 8 Tập 2: Cho $a>0,b>0$ và $a>b$. Chứng tỏ ${\displaystyle \frac{1}{a}}<{\displaystyle \frac{1}{b}}.$

Phương pháp giải:

Áp dụng các tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số dương : Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho. 

Lời giải:

Từ $a>0$, nhân cả hai vế của bất đẳng thức $a>0$ với số $b$ dương sẽ được $ab>0.b$, tức là có $ab>0.$

Số $ab>0$ nên ${\displaystyle \frac{1}{ab}}>0$.

Từ $a>b$, nhân cả hai vế của bất đẳng thức $a>b$ với số ${\displaystyle \frac{1}{ab}}$ dương, ta được:

$a.{\displaystyle \frac{1}{ab}}>b.{\displaystyle \frac{1}{ab}}$

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{b}}>{\displaystyle \frac{1}{a}}$

Hay ${\displaystyle \frac{1}{a}}<{\displaystyle \frac{1}{b}}.$

Bài 24 Trang 53 SBT Toán 8 Tập 2: Điền dấu "$<,>$" vào ô vuông cho đúng :

a) $(0,6{)}^2◻(0,6);$

b) $(1,3{)}^2◻1,3.$

Phương pháp giải:

Áp dụng các tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số dương và số âm.

- Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

- Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.

Lời giải:

a) Ta có : $0,6<1$ $\Rightarrow 0,6.0,6<1.0,6$ (Nhân số $0,6$ vào hai vế của bất đẳng thức $0,6<1$)

$\Rightarrow (0,6{)}^2<(0,6)$

b) Ta có : $1,3>1$ $\Rightarrow 1,3.1,3>1.1,3$ (Nhân số $1,3$ vào hai vế của bất đẳng thức $1,3>1$)

Bài 25 Trang 53 SBT Toán 8 Tập 2: So sánh $m^2$ và $m$ nếu:

a) $m$ lớn hơn $1;$

b) $m$ dương nhưng nhỏ hơn $1.$

Phương pháp giải:

Áp dụng các tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số dương và số âm.

- Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

- Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.

Lời giải:

a) Ta có: $m>1\Rightarrow m.m>1.m$$\Rightarrow m^2>m$

b) Ta có: $m>0$ và $m<1\Rightarrow m.m<1.m$

$\Rightarrow m^2<m$

Bài 26 Trang 53 SBT Toán 8 Tập 2: Cho $a<b$ và $c<d$, chứng tỏ $a+c<b+d.$

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép cộng: Khi cộng cùng một số vào hai vế của một bất đẳng thức ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

Áp dụng tính chất bắc cầu: Nếu $a<b$ và $b<c$ thì $a<c.$

Lời giải:

Ta có: $a<b$ $\Rightarrow a+c<b+c$          $(1)$

$c<d\Rightarrow b+c<b+d$           $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $a+c<b+d.$

Bài 27 Trang 53 SBT Toán 8 Tập 2: Cho $a,b,c,d$ là các số dương thỏa mãn $a<b,c<d$, chứng tỏ $ac<bd.$

Phương pháp giải:

Áp dụng các tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số dương : Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

Lời giải:

Với $a>0,b>0,c>0,d>0$ ta có :

$a<b\Rightarrow ac<bc$              $(1)$

$c<d\Rightarrow bc<bd$              $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $ac<bd.$

Bài 28 Trang 53 SBT Toán 8 Tập 2: Chứng tỏ rằng với $a$ và $b$ là các số bất kì thì :

a) $a^2+b^2-2ab\ge 0$;

b) ${\displaystyle \frac{a^2+b^2}{2}\ge ab}$.

Phương pháp giải:

Biến đổi đưa về hằng đẳng thức: $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$

Lời giải:

a) Ta có:

${\left(a-b\right)}^2\ge 0\Rightarrow a^2+b^2-2ab\ge 0$

b) Ta có:

$\begin{array}{rl}& {\left(a-b\right)}^2\ge 0\Rightarrow a^2+b^2-2ab\ge 0\\ & \Rightarrow a^2+b^2-2ab+2ab\ge 2ab\\ & \Rightarrow a^2+b^2\ge 2ab\\ & \Rightarrow \left(a^2+b^2\right).\frac{1}{2}\ge 2ab.\frac{1}{2}\\ & \Rightarrow \frac{a^2+b^2}{2}\ge ab\end{array}$

Bài 29 Trang 53 SBT Toán 8 Tập 2: Cho $a$ và $b$ là các số dương, chứng tỏ :

${\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2}$

Phương pháp giải:

- Áp dụng hẳng đẳng thức: $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$

- Áp dụng các tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số dương : Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

Lời giải:

+) Ta có:

$\begin{array}{rl}& {\left(a-b\right)}^2\ge 0\Rightarrow a^2+b^2-2ab\ge 0\\ & \Rightarrow a^2+b^2-2ab+2ab\ge 2ab\end{array}$

  $\Rightarrow a^2+b^2\ge 2ab$    $(\ast )$

+) Với ${\displaystyle a>0,b>0\Rightarrow a.b>0\Rightarrow \frac{1}{ab}>0}$

Nhân hai vế của $(\ast )$ với ${\displaystyle \frac{1}{ab}}$ ta có :

$\begin{array}{rl}& \left(a^2+b^2\right).\frac{1}{ab}\ge 2ab.\frac{1}{ab}\\ & \iff \frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{ab}\ge 2\\ & \iff \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2\end{array}$

Bài 30 Trang 53 SBT Toán 8 Tập 2: a) Với số $a$ bất kì, chứng tỏ $a\left(a+2\right)<{\left(a+1\right)}^2.$

b) Chứng minh rằng : Trong ba số nguyên liên tiếp thì bình phương số đứng giữa lớn hơn tích hai số còn lại.

Phương pháp giải:

- Áp dụng hằng đẳng thức $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$

- Áp dụng tính chất: Khi cộng cùng một số vào hai vế của một bất đẳng thức ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

Lời giải:

a) Ta có:

$\begin{array}{rl}& 0<1\Rightarrow a^2+2a+0<a^2+2a+1\\ & \Rightarrow a^2+2a<{\left(a+1\right)}^2\\ & \Rightarrow a\left(a+2\right)<{\left(a+1\right)}^2\end{array}$

b) Gọi $a,a+1,a+2$ là ba số nguyên liên tiếp, ta có:

${\left(a+1\right)}^2=a^2+2a+1$         $(1)$

$a\left(a+2\right)=a^2+2a$               $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $a^2+2a<a^2+2a+1$ (câu a) nên $a\left(a+2\right)<{\left(a+1\right)}^2$

Vậy trong ba số nguyên liên tiếp thì bình phương số đứng giữa lớn hơn tích hai số còn lại.

Bài 2.1 Trang 53 SBT Toán 8 Tập 2: Cho ba số $a,b$ và $k$ mà $a>b$. Nếu $ak<bk$ thì số $k$ là

A. Số dương        B. Số $0$

C. Số âm              D. Số bất kì.

Khoanh tròn vào chữ cái trước khẳng định đúng.

Phương pháp giải:

Áp dụng các tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số dương và số âm.

- Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

- Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.

Lời giải:

Theo đề bài $a>b$ và $ak<bk$ suy ra số $k$ là số âm (vì bất đẳng thức đã đổi chiều)

Chọn C.

Bài 2.2 Trang 53 SBT Toán 8 Tập 2: Cho hai số $a$ và $b$ mà $–7a<-7b$

Khoanh tròn vào chữ cái trước khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. $a–7<b-7$                  B. $a>b$

C. $a<b$                              D. $a\le b$

Phương pháp giải:

Áp dụng các tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số dương và số âm.

- Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

- Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.

Lời giải:

Nhân số ${\displaystyle \frac{-1}{7}}$ vào hai vế của bất đẳng thức $–7a<-7b$ ta được:

$-7a.{\displaystyle \frac{-1}{7}}>-7b.{\displaystyle \frac{-1}{7}}$ 

Hay $a>b$

Vì $a>b$ $\Rightarrow a-7>b-7$ (Cộng số $-7$ vào hai vế của bất đẳng thức $a>b$)

Vậy trong các khẳng định đã cho, khẳng định đúng là $a>b.$

Chọn B.

Bài 2.3 Trang 54 SBT Toán 8 Tập 2: Cho $a$ là số bất kì, hãy đặt dấu “$<,>,\le ,\ge$” vào ô vuông cho đúng:

Phương pháp giải:

- Áp dụng các tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số dương và số âm, liên hệ giữa thứ tự và phép cộng.

- Áp dụng tính chất của giá trị tuyệt đối $\left|a\right|\ge 0$ với mọi $a.$

Lời giải:

a) Với $a=0$ thì $\left|a\right|=0$.

Với $a\ne 0$ thì $\left|a\right|>0$

Vậy với mọi $a$ thì $\left|a\right|\ge 0.$

b) Ta có : $\left|a\right|\ge 0$

$\Rightarrow (-1).\left|a\right|\le (-1).0$ (Nhân số $-1$ vào hai vế của bất đẳng thức $\left|a\right|\ge 0$).

Hay $-\left|a\right|\le 0.$

c)  - Nếu $a=0$, ta có $\left|a\right|=0$

Khi đó $\left|a\right|+3=3>0,$

- Nếu $a\ne 0$, ta có $\left|a\right|>0$ , suy ra $\left|a\right|+3>3$         $(1)$

Lại có : $3>0$            $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$, theo tính chất bắc cầu ta có $\left|a\right|+3>0$

Vậy : $\left|a\right|+3>0$ với $a$ bất kì.

d) Theo câu b) ta có : $-\left|a\right|\le 0$

- Nếu $a=0$, ta có $\left|a\right|=0$

Khi đó $-\left|a\right|-2=-2<0.$

- Nếu $a\ne 0$, ta có $\left|a\right|>0$ , suy ra $-\left|a\right|<0$

$\Rightarrow -\left|a\right|+(-2)<0+(-2)$

$\Rightarrow -\left|a\right|-2<-2$            $(3)$

Lại có : $-2<0$            $(4)$

Từ $(3)$ và $(4)$, theo tính chất bắc cầu ta có $-\left|a\right|-2<0.$

Vậy : $-\left|a\right|-2<0$ với $a$ bất kì.

Bài 2.4 Trang 54 SBT Toán 8 Tập 2: Đặt dấu "$<,>$" vào ô vuông cho đúng :

a) $-3◻-2;$     $(-3{)}^2◻(-2{)}^2$

b) $-2◻1;$         $(-2{)}^2◻1^2$

c) $2◻3;$          $2^2◻3^2$

d) $-2◻2,5;$        $(-2{)}^2◻(2,5{)}^2$

Phương pháp giải:

Tính giá trị hai vế (nếu cần) rồi so sánh kết quả với nhau.

Lời giải:

a) $-3<-2$

$\underset{9}{\underbrace{(-3{)}^2}}>\underset{4}{\underbrace{(-2{)}^2}}$

b) $-2<1$

$\underset{4}{\underbrace{(-2{)}^2}}>\underset{1}{\underbrace{1^2}}$

c) $2<3$

$\underset{4}{\underbrace{2^2}}<\underset{9}{\underbrace{3^2}}$

d) $-2<2,5$

$\underset{4}{\underbrace{(-2{)}^2}}<\underset{6,25}{\underbrace{(2,5{)}^2}}$

Bài 2.5 Trang 54 SBT Toán 8 Tập 2: a) Cho ${\displaystyle x>0}$, chứng tỏ  ${\displaystyle x+\frac{1}{x}\ge 2.}$

b) Từ kết quả câu a, nếu $x<0$ sẽ có kết quả nào?

Phương pháp giải:

- Áp dụng hằng đẳng thức $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$

- Áp dụng các tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số dương và số âm, liên hệ giữa thứ tự và phép cộng.

Lời giải:

a) Nếu có ${\displaystyle x+\frac{1}{x}-2\ge 0}$ thì suy ra ${\displaystyle x+\frac{1}{x}\ge 2}$

nên ta sẽ chứng tỏ ${\displaystyle x+\frac{1}{x}-2\ge 0}$ 

Ta có, ${\displaystyle x+\frac{1}{x}-2=\frac{x^2+1-2x}{x}}$ ${\displaystyle =\frac{{\left(x-1\right)}^2}{x}}$

Vì ${\displaystyle {\left(x-1\right)}^2\ge 0}$ với $x$ bất kì và $x>0$ nên ${\displaystyle \frac{{\left(x-1\right)}^2}{x}\ge 0}$

Vậy ${\displaystyle x+\frac{1}{x}-2\ge 0}$ , nghĩa là ${\displaystyle x+\frac{1}{x}\ge 2.}$

b) Nếu $x<0$, ta đặt $a=-x$ thì $a>0.$

Từ kết quả câu a, ta có ${\displaystyle a+\frac{1}{a}\ge 2.}$

Thay $a=-x$, ta có : 

${\displaystyle -x+\frac{1}{-x}\ge 2}$            $(1)$

Nhân hai vế của $(1)$ với số $-1$, ta có :

${\displaystyle -1.(-x+\frac{1}{-x})\le 2.(-1)}$

${\displaystyle \Rightarrow x+\frac{1}{x}\le -2}$

Vậy, với $x<0$ thì ${\displaystyle x+\frac{1}{x}\le -2.}$