Toptailieu.vn giới thiệu Giải SGK Toán 10 Bài 13 (Kết nối tri thức): Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm chi tiết sách Toán 10 Tập 1 Kết nối tri thức giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Toán 10 Kết nối tri thức Bài 13: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

1. SỐ TRUNG BÌNH VÀ TRUNG VỊ

Câu hỏi trang 78 Toán 10

Hoạt động 1 trang 78 Toán 10: Tính trung bình cộng điểm khảo sát tiếng Anh của mỗi lớp A và B.

Phương pháp giải:

Công thức tính trung bình cộng:

$\overline{X}=\frac{\text{Tổng điểm cả lớp}}{\text{Số học sinh}}$

Lời giải:

Tổng điểm cả lớp A là 148

Tổng điểm cả lớp B là 157

Trung bình cộng lớp A:

$\overline{X_A}=\frac{148}{25}=5,92$

Trung bình cộng lớp B:

$\overline{X_B}=\frac{157}{25}=6,28$

Vậy trung bình cộng điểm tiếng Anh lớp A là 5,92 và lớp B là 6,28.

Chú ý: Cần cẩn thận khi tính tổng điểm, có thể bị nhầm dẫn đến kết quả sai.

Hoạt động 2 trang 78 Toán 10: Dựa trên điểm trung bình, hãy cho biết phương pháp học tập nào hiệu quả hơn.

Phương pháp giải:

Điểm trung bình của lớp nào cao hơn thì phương pháp học tập tương ứng với lớp đó hiệu quả hơn.

Lời giải:

Ta thấy điểm trung bình tiếng Anh của lớp B cao hơn nên phương pháp học tập áp dụng với lớp B tốt hơn.

Câu hỏi trang 79 Toán 10

Luyện tập 1 trang 79 Toán 10: Bảng sau cho biết thời gian chạy cự li 100 m của các bạn trong lớp (đơn vị giây):

Hãy tính thời gian chạy trung bình cự li 100 m của các bạn trong lớp.

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định n và các giá trị $\text{x{ \& \_i}}$, $i=1;2;...;n$

Bước 2: Áp dụng công thức số trung bình của mẫu số liệu $x_1,x_2,...,x_n$:

$\overline{X}=\frac{m_1{x}_1+m_2{x}_2+...+m_n{x}_n}{n}$

Lời giải: 

Số bạn trong lớp là $n=5+7+10+8+6=36$

Thời gian chạy trung bình cự li 100 m của các bạn trong lớp là

$\overline{X}=\frac{5.12+7.13+10.14+8.15+6.16}{36}$

Chú ý: Bài toán này cho dưới dạng bảng tần số nên cần tính theo công thức trên.

Hoạt động 3 trang 79 Toán 10: Một công ty nhỏ gồm 1 giám đốc và 5 nhân viên, thu nhập mỗi tháng của giám đốc là 20 triệu đồng, của nhân viên là 4 triệu đồng.

a) Tính thu nhập trung bình của các thành viên trong công ty.

b) Thu nhập trung bình có phản ánh đúng thu nhập của nhân viên công ty không?

Phương pháp giải:

a) Thu nhập trung bình của các thành viên bằng tổng thu nhập của 6 người và chia cho 6.

b) Nhận xét sự chênh lệch về thu nhập của mỗi thành viên so với thu nhập trung bình.

Lời giải:

a) Thu nhập trung bình của thành viên trong công ty là

$\overline{X}=\frac{20.1+4.5}{6}=\frac{40}{6}\approx 6,67$

Vậy thu nhập trung bình của các thành viên là 6,67 triệu đồng.

b) Ta thấy rõ ràng thu nhập của giám đốc cao hơn thu nhập trung bình rất nhiều (khoảng 13,3 triệu), còn thu nhập của mỗi nhân viên thì gần với thu nhập trung bình hơn (khoảng 2,67 triệu). Như thế, thu nhập trung bình không phản ánh đúng thu nhập của nhân viên công ty.

Chú ý: Công ty có 6 người thì cần tính thu nhập trung bình của 6 người.

Luyện tập 2 trang 79 Toán 10: Chiều dài (đơn vị feet) của 7 con cá voi trưởng thành được cho như sau:

48     53     51    31      53     112     52

Tìm số trung bình và trung vị của mẫu số liệu trên. Trong hai số đó, số nào phù hợp hơn để đại diện cho chiều dài của 7 con cá voi trưởng thành này?

Phương pháp giải:

- Áp dụng công thức số trung bình của mẫu số liệu $x_1,x_2,...,x_n$:

$\overline{X}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$

- Số trung vị

+ Sắp xếp lại số liệu theo thứ tự không giảm.

+ Nếu số giá trị của mẫu số liệu là số lẻ thì giá trị chính giữa của mẫu là trung vị. Nếu là số chẵn thì trung vị là trung bình cộng của hai giá trị chính giữa của mẫu.

- Trong trường hợp mẫu số liệu có giá trị bất thường (rất lớn hoặc rất bé so với đa số các giá trị khác), người ta không dùng số trung bình để đo xu thế trung tâm mà dùng trung vị.

Lời giải:

Số trung bình: $\overline{X}=\frac{48+53+51+31+53+112+52}{7}$$=\frac{400}{7}\approx 57,14$

Số trung vị:

Ta sắp xếp lại số liệu theo thứ tự không giảm:

31   48   51   52   53   53   112

Số giá trị là 7, là số lẻ nên giá trị chính giữa của mẫu là trung vị. Mà giá trị chính giữa là 52.

Vậy số trung vị là 52.

Ta thấy trong mẫu số liệu bài cho thì 112 cao hơn hẳn giá trị trung bình nên không thể dùng số trung bình để đại diện cho chiều dài của 7 con cá voi trưởng thành này.

Vậy ta dùng số trung vị để đại diện cho chiều dài của 7 con cá voi trưởng thành này.

2. TỨ PHÂN VỊ

Hoạt động 4 trang 80 Toán 10: Điểm (thang điểm 100) của 12 thí sinh cao điểm nhất trong một cuộc thi như sau:

58   74   92   81   97   88   75   69   87   69   75   77.

Ban tổ chức muốn trao các giải Nhất, Nhì, Ba, Tư cho các thí sinh này, mỗi giải trao cho 25% số thí sinh (3 thí sinh).

Em hãy giúp ban tổ chức xác định các ngưỡng điểm để phân loại thí sinh.

Phương pháp giải:

Sắp xếp điểm theo thứ tự không giảm.

Lời giải:

Sắp xếp điểm theo thứ tự không giảm.

97  92  88  87  81  77  75  75  74  69  69  58

Vì mỗi giải trao cho 3 người nên ta

+ Giải Nhất: những người được 97, 92, 88 (lớn hơn 87)

+ Giải Nhì: những người được 87, 81, 77 ( lớn hơn 75, nhỏ hơn hoặc bằng 87)

+ Giải Ba: những người được 75, 74 (lớn hơn 69, nhỏ hơn hoặc bằng 75)

+ Giải Tư: những người được 69, 58. (nhỏ hơn hoặc bằng 69)

Chú ý: Có thể xếp giải từ giải Tư đến giải Nhất.

Câu hỏi trang 81 Toán 10

Luyện tập 3 trang 81 Toán 10: Bảng sau đây cho biết số lần học tiếng Anh trên internet trong một tuần của một số học sinh lớp 10:

Hãy tìm các tứ phân vị cho mẫu số liệu này.

Phương pháp giải:

Để tìm các tứ phân vị của mẫu số liệu có n giá trị cho dưới dạng bảng tần số, ta làm như sau:

+ Tìm trung vị. Giá trị này là $Q_2$

+ Tìm trung vị của nửa số liệu bên trái $Q_2$, (không bao gồm $Q_2$, nếu n lẻ). Giá trị này là $Q_1$

+ Tìm trung vị của nửa số liệu bên phải $Q_2$, (không bao gồm $Q_2$, nếu n lẻ). Giá trị này là $Q_3$

Lời giải:

Ta thấy n=2+4+6+12+8+3=35.

Trung vị là học sinh thứ 18

Ta thấy 2+4+6<18<2+4+6+12

=> $Q_2=3$

Ta tìm $Q_1$ là trung vị của nửa số liệu bên trái $Q_2$(không bao gồm $Q_2$)

Nửa số liệu bên trái $Q_2$ có 17 học sinh nên trung vị là học sinh thứ 9:

Ta thấy 2+4<9<2+4+6

=>$Q_1=2$

Ta tìm $Q_3$ là trung vị của nửa số liệu bên phải $Q_2$(không bao gồm $Q_2$)

Nửa số liệu bên phải $Q_2$ có 17 học sinh nên trung vị là học sinh thứ 9 trong 17 học sinh và là học sinh thứ 9+18=27 trong 35 học sinh.

Ta thấy 2+4+6+12<27<2+4+6+12+8

=>$Q_3=4$

3. MỐT

Hoạt động 5 trang 81 Toán 10: Một cửa hàng giày thể thao đã thống kê cỡ giày của một số khách hàng nam được chọn ngẫu nhiên cho kết quả như sau:

38 39 39 38 40 41 39 39 38 39 39 39 40 39 39.

a) Tính cỡ giày trung bình. Số trung bình này có ý nghĩa gì với cửa hàng không?

b) Cửa hàng nên nhập cỡ giày nào với số lượng nhiều nhất?

Phương pháp giải:

a) + Cỡ giày trung bình: Số trung bình của mẫu số liệu

+ Nhận xét ý nghĩa số trung bình.

b) Cửa hàng nên nhập cỡ giày có nhiều người chọn nhất.

Lời giải:

a) Bảng tần số:

Cỡ giày trung bình:

$\overline{X}=\frac{38.3+39.9+40.2+41}{3+9+2+1}=\frac{586}{15}\approx 39$

Ý nghĩa: Cỡ giày trung bình này có thể đại diện cho cỡ giày của cửa hàng.

b) Cỡ giày số 39 là cỡ giày nhiều khách nam đi nhất trong tổng số người được chọn nên cửa hàng nên nhập cỡ giày này.

Câu hỏi trang 82 Toán 10

Vận dụng trang 82 Toán 10: Hãy tính các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu về điềm khảo sát của lớp A và lớp B ở đầu bài học để phân tích và so sánh hiệu quả học tập của hai phương pháp này.

Hai phương pháp học tiếng Anh khác nhau được áp dụng cho hai lớp A và B có trình độ tiếng Anh tương đương nhau. Sau hai tháng, điềm khảo sát tiếng Anh (thang điểm 10) của hai lớp được cho như hình bên.

Lớp A

Lớp B

Quan sát hai mẫu số liệu trên, có thể đánh giá được phương pháp học tập nào hiệu quả hơn không? Để làm được điều đó, người ta thường tính toán các số đặc trưng cho mỗi mẫu số liệu rồi so sánh.

Phương pháp giải:

Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm: số trung bình, trung vị, mốt.

Công thức tính trung bình cộng: $\overline{X}=\frac{\text{Tổng điểm cả lớp}}{\text{Số học sinh}}$

Lời giải:

Lớp A:

Trung bình cộng lớp A: $\overline{X_A}=\frac{148}{25}=5,92$

Bảng tần số:

Do n=25 nên trung vị: số thứ 13

Do 2+2+2+5+2=13

=> Trung vị là 6.

Mốt là 7 do 7 có tần số là 6 (cao nhất)

Lớp B:

Trung bình cộng lớp B: $\overline{X_B}=\frac{157}{25}=6,28$

Bảng tần số:

Do n=25 nên trung vị: số thứ 13

Do 2+2+4+5=13

=> Trung vị là 6.

Mốt là 7 do 7 có tần số là 7 (cao nhất)

Trừ số trung bình ra thì trung vị và mốt của cả hai mẫu số liệu đều như nhau

=> Hai phương pháp học tập hiệu quả như nhau.

BÀI TẬP

Bài 5.7 trang 82 Toán 10: Tìm số trung bình, trung vị, mốt và tứ phân vị của mỗi mẫu số liệu sau đây:

a) Số điểm mà năm vận động viên bóng rổ ghi được trong một trận đấu:

9   8   15   8   20

b) Giá của một số loại giày (đơn vị nghìn đồng):

350  300  650  300  450  500  300  250

c) Số kênh được chiếu của một số hãng truyền hình cáp:

36  38  33  34  32  30  34  35

Lời giải:

a) Số điểm mà năm vận động viên bóng rổ ghi được trong một trận đấu:

9   8   15   8   20

Số trung bình: $\overline{X}={\displaystyle \frac{9+8+15+8+20}{5}}=12$

Trung vị:

Sắp xếp theo thứ tự không giảm:

8  8  9  15  20

Ta có n=5 là số lẻ nên trung vị là 9.

Mốt: Ta thấy số 8 là số có tần số cao nhất (xuất hiện 2 lần)

Tứ phân vị:

+ Tìm $Q_2$

Ta có trung vị là 9=> $Q_2=9$.

+ Tìm $Q_1$

Nửa số liệu bên trái là:

8  8

Trung vị của mẫu này là ${\displaystyle \frac{8+8}{2}}=8$=>$Q_1=8$

+ Tìm $Q_3$

Nửa số liệu bên phải là:

15  20

Trung vị của mẫu này là ${\displaystyle \frac{15+20}{2}}=17,5$=>$Q_3=17,5$

Vậy số trung bình là 12, trung vị là 9 và mốt là 8, $Q_1=8$, $Q_3=17,5$

b) Giá của một số loại giày (đơn vị nghìn đồng):

350  300  650  300  450  500  300  250

Số trung bình: $\overline{X})\text{(}={\displaystyle \frac{350+300.3+650+450+500+250}{8}}$ $=387,5$

Trung vị:

Sắp xếp theo thứ tự không giảm:

250  300  300  300  350  450  500  650

Ta có n=8 là số chẵn nên trung vị là trung bình cộng của hai số chính giữa.

Hai số chính giữa là 300 và 350

=> Trung vị là ${\displaystyle \frac{300+350}{2}}=325$

Mốt: Ta thấy số 300 là số có tần số cao nhất (xuất hiện 3 lần)

Tứ phân vị:

+ Tìm $Q_2$

Ta có trung vị là 325=> $Q_2=325$.

+ Tìm $Q_1$

Vì n chẵn nên nửa số liệu bên trái là:

250  300  300  300

Trung vị của mẫu này là ${\displaystyle \frac{300+300}{2}}=300$=>$Q_1=300$

+ Tìm $Q_3$

Vì n chẵn nên nửa số liệu bên phải là:

350  450  500  650

Trung vị của mẫu này là ${\displaystyle \frac{450+500}{2}}=475$=>$Q_3=475$

Vậy số trung bình là 387,5, trung vị là 325 và mốt là 300, $Q_1=300$, $Q_3=475$

c) Số kênh được chiếu của một số hãng truyền hình cáp:

36  38  33  34  32  30  34  35

Số trung bình: $\overline{X}={\displaystyle \frac{36+38+33+34.2+32+30+35}{8}}=34$

Trung vị:

Sắp xếp theo thứ tự không giảm:

30  32  33  34  34  35  36  38

Ta có n=8 là số chẵn nên trung vị là trung bình cộng của hai số chính giữa.

Hai số chính giữa là 34 và 34

=> Trung vị là 34

Mốt: Ta thấy số 34 là số có tần số cao nhất (xuất hiện 2 lần)

Tứ phân vị:

+ Tìm $Q_2$

Ta có trung vị là 34=> $Q_2=34$.

+ Tìm $Q_1$

Vì n chẵn nên nửa số liệu bên trái là:

30  32  33  34

Trung vị của mẫu này là ${\displaystyle \frac{32+33}{2}}=32,5$=>$Q_1=32,5$

+ Tìm $Q_3$

Vì n chẵn nên nửa số liệu bên phải là:

34  35  36  38

Trung vị của mẫu này là ${\displaystyle \frac{35+36}{2}}=35,5$=>$Q_3=35,5$

Vậy số trung bình là 34, trung vị là 34 và mốt là 34, $Q_1=32,5$, $Q_3=35,5$

Chú ý: Nếu n chẵn thì nửa số liệu bên trái (phải) $Q_2$ phải chứa cả $Q_2$

Bài 5.8 trang 82 Toán 10: Hãy chọn số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mỗi mẫu số liệu sau. Giải thích và tinh giá trị của số đặc trưng đó.