Cho tam giác ABC vuông ở A. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác BAD vuông cân ở B, ACF vuông cân ở C

Mai Hương Ngày: 27-01-2024 Lớp 8

Với giải Bài 5 trang 60 SBT Toán 8 Tập 2 Cánh diều chi tiết trong Bài 1: Định lí Thalès trong tam giác giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải, từ đó biết cách làm bài tập Toán 8. Mời các bạn đón xem:

Cho tam giác ABC vuông ở A. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác BAD vuông cân ở B, ACF vuông cân ở C

Bài 5 trang 60 SBT Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông ở A. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác BAD vuông cân ở B, ACF vuông cân ở C. Gọi H là giao điểm của AB và DC, K là giao điểm của AC và BF (Hình 9). Chứng minh:

a) AH = AK;

b) AH² = AK² = HB.KC.

Cho tam giác ABC vuông ở A. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác BAD

Lời giải:

a) Đặt AB = c, AC = b.

Xét ∆BDH với BD // AC (cùng vuông góc với AB), ta có:

$\frac{A H}{H B} = \frac{A C}{B D}$ (hệ quả của định lí Thalès)

Mà BD = AB (do ∆ABD vuông cân tại B) nên $\frac{A H}{H B} = \frac{A C}{B D} = \frac{A C}{A B} = \frac{b}{c}$

Suy ra $\frac{A H}{A H + H B} = \frac{b}{b + c}$ hay $\frac{A H}{A B} = \frac{b}{b + c}$ .

Do đó $A H = \frac{b c}{b + c}$ (1)

Tương tự, ∆ABK với AB // CF (cùng vuông góc với AC) và CF = AC (do ∆ACF vuông cân tại C), theo hệ quả của định lí Thalès ta có: $\frac{A K}{K C} = \frac{A B}{C F} = \frac{A B}{A C} = \frac{c}{b} .$

Suy ra $\frac{A K}{K C + A K} = \frac{c}{b + c}$

Hay $\frac{A K}{A C} = \frac{c}{b + c} .$

Do đó $A K = \frac{b c}{b + c}$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra: AH = AK.

b) Từ $\frac{A H}{H B} = \frac{A C}{B D} = \frac{b}{c}$ và $\frac{A K}{K C} = \frac{A B}{C F} = \frac{c}{b}$ (câu a), ta có $\frac{A H}{H B} = \frac{K C}{A K}$