Bài 7.42 trang 65 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 11

Với giải Bài 7.42 trang 65 SGK Toán 11 Kết nối tri thức chi tiết trong Toán 11 (Kết nối tri thức) Bài tập cuối chương 7 giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải, từ đó biết cách làm bài tập Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Bài 7.42 trang 65 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 11

Bài 7.42 trang 65 Toán 11 Tập 2: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có độ dài tất cả các cạnh bằng a, AA' $⊥$ (ABCD) và $\hat{B A D}$ = 60^o.

a) Tính thể tích của khối hộp ABCD.A'B'C'D'.

b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BD).

Lời giải:

Bài 7.42 trang 65 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

a) Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Vì hình hộp ABCD.A'B'C'D' có độ dài tất cả các cạnh bằng a nên ABCD là hình thoi, suy ra AO = OC và AC $⊥$ BD.

Có S_ABD= $\frac{1}{2}$ .AO.BD = $\frac{1}{2}$ .CO.BD = S_BCD. Do đó S_ABCD = 2S_ABD.

Mà S_ABD= $\frac{1}{2}$ .AB.AD.sin $\hat{B A D}$ = $\frac{1}{2}$ .a.a.sin60^o = $\frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$ . Do đó S_ABCD = $\frac{a^{2} \sqrt{3}}{2}$ .

Vậy $V_{A B C D . A^{'} B' C^{'} D^{'}} = A A^{'} \cdot S_{A B C D}$ $= a \cdot \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}$ .

b) Vì AO $⊥$ BD mà AA' $⊥$ (ABCD) nên AA' $⊥$ BD. Do đó BD $⊥$ (AOA').

Suy ra (A'BD) $⊥$ (AOA').

Kẻ AE $⊥$ A'O tại E. Vì (A'BD) $⊥$ (AOA'), (A'BD) $\cap$ (AOA') = A'O và AE $⊥$ A'O nên AE $⊥$ (A'BD). Do đó d(A, (A'BD)) = AE.

Xét tam giác ABD có AB = AD = a nên tam giác ABD là tam giác cân tại A mà $\hat{B A D} = 60^{o}$ nên tam giác ABD đều, suy ra BD = a mà BO = $\frac{B D}{2} = \frac{a}{2}$ .

Xét tam giác AOB vuông tại O, có AO = $\sqrt{A B^{2} - B O^{2}}$ = $\sqrt{a^{2} - \frac{a^{2}}{4}} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Vì AA' $⊥$ (ABCD) nên AA' $⊥$ AO hay tam giác A'AO vuông tại A.

Xét tam giác A'AO vuông tại A có $\frac{1}{A E^{2}} = \frac{1}{A {A^{'}}^{2}} + \frac{1}{A O^{2}}$ $= \frac{1}{a^{2}} + \frac{4}{3 a^{2}} = \frac{7}{3 a^{2}}$