Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng (α) nếu d vuông góc với mọi đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (α).

  Kí hiệu d ⊥ (α).

2. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Định lí

    Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.

Hệ quả

    Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó cũng vuông góc với cạnh thứ ba của tam giác đó.

3. Tính chất

Tính chất 1

    Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng

    Người ta gọi mặt phẳng đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AB và vuông góc với AB là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.

Tính chất 2

    Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

4. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng.

Tính chất 1

    Cho hai đường thẳng song song. Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.

    Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

Tính chất 2

    Cho hai mặt phẳng song song. Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia.

    Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

Tính chất 3

    Cho đường thẳng a và mặt phẳng (α) song song với nhau. Đường thẳng nào vuông góc với (α) thì cũng vuông góc với a.

    Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì chúng song song với nhau.

5. Định lí ba đường vuông góc

Định nghĩa

    Phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo phương vuông góc tới mặt phẳng (P) gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P).

Định lí (Định lí 3 đường vuông góc)

    Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng b nằm trong mặt phẳng (P). Khi đó điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a’ của a trên (P).

6. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Định nghĩa

    Nếu đường thẳng a ⊥ (P) thì ta nói góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng 90°.

    Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên (P) gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P).

Chú ý: Nếu φ là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α) thì ta luôn có 0° ≤ φ ≤ 90°.

B. Bài tập Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Câu 1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng $\left(P\right)$ và đường thẳng b vuông góc với a thì b vuông góc với mặt phẳng $\left(P\right)$

B. Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b và b song song với mặt phẳng $\left(P\right)$ thì a song song hoặc nằm trên mặt phẳng $\left(P\right)$

C. Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng $\left(P\right)$ và đường thẳng b vuông góc với mặt phẳng $\left(P\right)$ thì a vuông góc với b

D. Một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.

Đáp án: A

Câu 2: Cho hình chóp S.ABC có $SA=SB=SC$ và tam giác ABC vuông tại B. Vẽ $SH\perp \left(ABC\right)$, $H\in \left(ABC\right)$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. H trùng với trọng tâm tam giác ABC

B. H trùng với trực tâm tam giác ABC

C. H trùng với trung điểm của AC

D. H trùng với trung điểm của BC

Đáp án: C

Câu 3: Cho hình chóp S.ABC thỏa mãn $SA=SB=SC$. Tam giác AC vuông tại A. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên $mp\left(ABC\right)$. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?

A. $\left(SBH\right)\cap \left(SCH\right)=SH$

B. $\left(SAH\right)\cap \left(SBH\right)=SH$

C. $AB\perp SH$

D. $\left(SAH\right)\cap \left(SCH\right)=SH$

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có các cạnh bên bằng nhau $SA=SB=SC=SD$. Gọi H là hình chiếu của S lên mặt đáy ABCD. Khẳng định nào sau đây sai?

A. $HA=HB=HC=HD$

B. Tứ giác ABCD là hình bình hành.

C. Tứ giác ABCD nội tiếp được trong đường tròn.

D. Các cạnh SA, SB, SC, SD hợp với đáy ABCD những góc bằng nhau.

Đáp án: B

Câu 5: Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, BC, BD bằng nhau và vuông góc với nhau từng đôi một. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Góc giữa AC và $\left(BCD\right)$ là góc ACB.

B. Góc giữa AD và $\left(ABC\right)$ là góc ADB.

C. Góc giữa AC và $\left(ABD\right)$ là góc CAB.

D. Góc giữa CD và $\left(ABD\right)$ là góc CBD.

Đáp án: A

Câu 6: Cho tam giác ABC vuông cân tại A và $BC=a$. Trên đường thẳng qua A vuông góc với $\left(ABC\right)$ lấy điểm S sao cho $SA=\frac{a\sqrt{6}}{2}$. Tính số đo góc giữa đường thẳng SA và $\left(ABC\right)$.

A. $30°$.

B. $45°$.

C. $60°$.

D. $90°$.

Câu 7: Cho tứ diện ABCD có cạnh $AB,BC,BD$ vuông góc với nhau từng đôi một. Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. Góc giữa CD và $\left(ABD\right)$ là góc $\widehat{CBD}$

B. Góc giữa AC và $\left(BCD\right)$ là góc $\widehat{ACB}$

C. Góc giữa AD và $\left(ABC\right)$ là góc $\widehat{ADB}$

D. Góc giữa AC và $\left(ABD\right)$ là góc $\widehat{CBA}$

Câu 8: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền $BC=a$. Hình chiếu vuông góc của S lên $\left(ABC\right)$ trùng với trung điểm BC. Biết $SB=a$. Tính số đo của góc giữa SA và $\left(ABC\right)$.

A. $30°$

B. $45°$

C. $60°$

D. $75°$

Câu 9: Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và $SA\perp \left(ABCD\right)$. Biết $SA=\frac{a\sqrt{6}}{3}$. Tính góc giữa SC và $\left(ABCD\right)$.

A. $30°$

B. $45°$

C. $60°$

D. $75°$

Câu 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên $\left(ABC\right)$ trùng với trung điểm H của cạnh BC. Biết tam giác SBC là tam giác đều. Tính số đo của góc giữa SA và $\left(ABC\right).$   

A. ${60}^0$

B. ${75}^0$

C. ${45}^0$

D. ${30}^0$

Câu 11: Cho hình thoi ABCD có tâm O, $AC=2a; BD=2\text{A}C$. Lấy điểm S không thuộc $\left(ABCD\right)$ sao cho $SO\perp \left(ABCD\right)$. Biết $\tan \widehat{SBO}=\frac{1}{2}$. Tính số đo của góc giữa SC và $\left(ABCD\right)$.

A. $30°$

B. $45°$

C. $60°$

D. $75°$

Câu 12: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên $\left(ABC\right)$ trùng với trung điểm H của cạnh BC. Biết tam giác SBC là tam giác đều.Tính số đo của góc giữa SA và $\left(ABC\right)$.

A. $30°$

B. $45°$

C. $60°$

D. $75°$

Câu 13: Cho hình chóp S.ABC có $SA\perp \left(ABC\right)$ và tam giác ABC không vuông, gọi H, K lần lượt là trực tâm các tam giác ABC và SBC. Các đường thẳng AH, SK, BC thỏa mãn:

A. Đồng quy.

B. Đôi một song song.

C. Đôi một chéo nhau.

D. Đáp án khác.

Câu 14: Cho hình chóp S.ABC có các mặt bên tạo với đáy một góc bằng nhau. Hình chiếu H của S trên $\left(ABC\right).$ là:

A. Tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

B. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

C. Trọng tâm tam giác ABC

D. Giao điểm hai đường thẳng AC và BD

Câu 15: Cho hình chóp đều, chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A. Chân đường cao của hình chóp đều trùng với tâm của đa giác đáy đó.

B. Tất cả những cạnh của hình chóp đều bằng nhau.

C. Đáy của hình chóp đều là miền đa giác đều.

D. Các mặt bên của hình chóp đều là những tam giác cân.

Câu 16: Tính chất nào sau đây không phải là tính chất của hình lăng trụ đứng?

A. Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là những hình bình hành.

B. Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là những hình chữ nhật.

C. Các cạnh bên của hình lăng trụ đứng bằng nhau và song song với nhau.

D. Hai đáy của hình lăng trụ đứng có các cạnh đôi một song song và bằng nhau.

Câu 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, $SA\perp \left(ABCD\right).$ Gọi $AE;AF$ lần lượt là các đường cao của tam giác $SAB$ và tam giác SAD. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau ?

A. $SC\perp \left(AFB\right).$

B. $SC\perp \left(AEC\right).$

C. $SC\perp \left(AED\right).$

D. $SC\perp \left(AEF\right).$

Câu 18: Cho hình chóp S.ABC có cạnh $SA\perp \left(ABC\right)$ và đáy ABC là tam giác cân ở C. Gọi H và K lần lượt là trung điểm của AB và SB. Khẳng định nào sau đây sai?

A. $CH\perp SA$

B. $CH\perp SB$

C. $CH\perp AK$

D. $AK\perp SB$

Câu 19: Cho tứ diện ABCD. Vẽ $AH\perp \left(BCD\right)$. Biết S.ABCD là trực tâm tam giác BCD. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $AC\perp \left(BCD\right)\text{ và }BCD$

B. $AC=BD$

C. $AB=CD$

D. $AB\perp CD$

Câu 20: Cho hình chóp S.ABC có cạnh $SA\perp \left(ABC\right)$ và đáy ABC là tam giác cân ở $BC\perp AB,BC\perp SA$

$\Rightarrow BC\perp \left(SAB\right)\Rightarrow \left(SAB\right)\perp \left(SBC\right)$. Gọi H và K lần lượt là trung điểm của AB và SB. Khẳng định nào sau đây có thể sai ?

A. $CH\perp AK$

B. $CH\perp SB$

C. $CH\perp SA$

D. $AK\perp SB$

Câu 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy, $SA=a$. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng $\left(SAB\right)$ là $\alpha$, khi đó $\tan \alpha$ nhận giá trị nào trong các giá trị sau?

A. $\tan \alpha =\sqrt{2}$

B. $\tan \alpha =\sqrt{3}$

C. $\tan \alpha =\frac{1}{\sqrt{2}}$

D. $\tan \alpha =1$

Câu 22: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, $SA\perp \left(ABC\right)$. Gọi $\left(P\right)$ là mặt phẳng qua B và vuông góc với SC. Thiết diện của $\left(P\right)$ và hình chóp S.ABC là:

A. Hình thang vuông.

B. Tam giác đều.

C. Tam giác cân.

D. Tam giác vuông.

Câu 23: Cho tứ diện đều ABCD cạnh $a=12$, gọi $\left(P\right)$ là mặt phẳng qua B và vuông góc với AD. Thiết diện của $\left(P\right)$ và hình chóp có diện tích bằng

A. $36\sqrt{2}$

B. $40$

C. $36\sqrt{3}$

D. 36

Câu 24: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh bên $SA\perp \left(ABC\right).$ Mặt phẳng $\left(P\right)$ đi qua trung điểm M của AB và vuông góc với SB cắt $AC,SC,SB$ lần lượt tại $N,P,Q.$ Tứ giác MNPQ là hình gì ?

A. Hình thang vuông.

B. Hình thang cân.

C. Hình bình hành.

D. Hình chữ nhật.

Câu 25: Trong không gian cho đường thẳng $∆$ và điểm O. Qua O có mấy đường thẳng vuông góc với $∆$ cho trước?

A. 1

B. 2

C. 3

D. Vô số.

Câu 26: Mệnh đề nào sau đây có thể sai?

A. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song.

B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song.

C. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song.

D. Một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đã cho) cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song nhau.

Câu 27: Khẳng định nào sau đây sai?

A. Nếu đường thẳng $d\perp \left(\alpha \right)$ thì d vuông góc với hai đường thẳng trong $\left(\alpha \right)$.

B. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong $\left(\alpha \right)$ thì $d\perp \left(\alpha \right)$.

C. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong $\left(\alpha \right)$ thì d vuông góc với bất kì đường thẳng nào nằm trong $\left(\alpha \right)$.

D. Nếu $d\perp \left(\alpha \right)$ và đường thẳng $a\text{\hspace{0.33em}//\hspace{0.33em}}\left(\alpha \right)$ thì $d\perp a$.

Câu 28: Cho hình chóp S.ABCD trong đó ABCD là hình chữ nhật, $SA\perp \left(ABCD\right)$. Trong các tam giác sau tam giác nào không phải là tam giác vuông.

A. $\Delta SBC$

B. $\Delta SCD$

C. $\Delta SAB$

D. $\Delta SBD$

Câu 29: Cho hình chóp S.ABC có $\widehat{BSC}={120}^0,$ $\widehat{CSA}={60}^0,$ $\widehat{ASB}={90}^0,$ $SA=SB=SC.$ Gọi I là hình chiếu vuông góc của S lên $mp\left(ABC\right).$ Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau

A. I là trung điểm AB.

B. I là trọng tâm tam giác ABC.

C. I là trung điểm AC.

D. I là trung điểm BC.

Câu 30: Cho tứ diện OABC có $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu của O trên mặt phẳng $\left(ABC\right)$. Xét các mệnh đề sau :

I. Vì $OC\perp OA,OC\perp OB$ nên $OC\perp \left(OAB\right)$.

II. Do $AB\subset \left(OAB\right)$ nên $AB\perp OC.\left(1\right)$

III. Có $OH\perp \left(ABC\right)$ và $AB\subset \left(ABC\right)$ nên $AB\perp OH.\left(2\right)$

IV. Từ $\left(1\right)$ và  $\left(2\right)$ $AB\perp \left(OCH\right).$

A. $I,II,III,IV$

B. $I,II,III$

C. $II,III,IV$

D. $I,IV$

Câu 31: Cho hai đường thẳng phân biệt a; b và mặt phẳng (P), trong đó a ⊥ (P). Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. Nếu b ⊥ (P) thì b // a

B. Nếu b // (P) thì b ⊥ a

C. Nếu b // a thì b ⊥ (P)

D. Nếu b ⊥ a thì b // (P)

Câu 32:  Mệnh đề nào sau đây có thể sai?

A. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song.

B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song.

C. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song.

D. Một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đã cho) cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song nhau.

Câu 33: Trong không gian cho đường thẳng Δ và điểm O . Qua O có bao nhiêu đường thẳng vuông góc với Δ cho trước?

A. Vô số                    

B. 2                    

C. 3                    

D. 1

Câu 34: Cho hình chóp S. ABC có SA ⊥ (ABC) và tam giác ABC vuông ở B , AH là đường cao của tam giác SAB. Khẳng định nào sau đây sai?

A. SA ⊥ BC

B. AH ⊥ BC

C. AH ⊥ AC

D. AH ⊥ SC

Đáp án: C

Câu 35: Cho tứ diện ABCD có AB = AC và DB = DC. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. AB ⊥ (ABC)

B. AB ⊥ BD

C. AB ⊥ (ABD)

D. BC ⊥ AD

Đáp án: A