Toán 11 Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Toán 11 Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng | Giải Toán lớp 11

Trần Thị Hường Ngày: 20-05-2022 Lớp 11

359

Toptailieu.vn giới thiệu Giải bài tập Toán 11 Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng lớp 11.

Giải bài tập Toán 11 Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Trả lời câu hỏi giữa bài:

Câu hỏi 1 trang 100 SGK Hình học 11: Muốn chứng minh đường thẳng

d

vuông góc với một mặt phẳng

(α)

, người ta phải làm như thế nào?

Phương pháp giải:

Sử dụng định lý: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.

Lời giải:

Muốn chứng minh đường thẳng $d$ vuông góc với một mặt phẳng $(α)$ , người ta phải chứng minh $d$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng $(α)$ .

Câu hỏi 2 trang 100 SGK Hình học 11: Cho hai đường thẳng

a

và

b

song song với nhau. Một đường thẳng

d

vuông góc với

a

và

b

. Khi đó đường thẳng

d

có vuông góc với mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng song song

a

và

b

không ?

Phương pháp giải:

Sử dụng định lý: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.

Lời giải:

Không vì nội dung định lí yêu cầu $a$ và $b$ cắt nhau.

Ví dụ: trường hợp $d, a, b$ cùng thuộc một mặt phẳng $(α)$ mà $a / / b, d ⊥ a, d ⊥ b$ nhưng $d \subset (α)$ chứ $d$ không vuông góc $(α)$ .

Bài tập trang 104, 105 SGK Toán 11

Bài 1 trang 104 SGK Hình học 11: Cho hai đường thẳng phân biệt

a, b

và mặt phẳng

(α)

. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

a) Nếu $a / / (α)$ và $b ⊥ (α)$ thì $a ⊥ b$

b) Nếu $a / / (α)$ và $b ⊥ a$ thì $b ⊥ (α)$

c) Nếu $a / / (α)$ và $b / / (α)$ thì $b / / a$

d) Nếu $a ⊥ (α)$ và $b ⊥ a$ thì $b / / (α)$

Phương pháp giải:

Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Lời giải:

a) Đúng

b) Sai vì $b$ có thể song song hoặc cắt $(α)$

c) Sai vì vẫn có thể xảy ra trường hợp $b$ cắt $a$ hoặc $b$ chéo $a$

d) Sai vì vẫn có thể xảy ra trường hợp $b \subset (α)$

Bài 2 trang 104 SGK Hình học 11: Cho tứ diện

A B C D

có hai mặt

A B C

và

B C D

là hai tam giác cân có chung cạnh đáy

B C

.Gọi

I

là trung điểm của cạnh

B C

a) Chứng minh rằng $B C$ vuông góc với mặt phẳng $(A D I)$ .

b) Gọi $A H$ là đường cao của tam giác $A D I$ , chứng minh rằng $A H$ vuông góc với mặt phẳng $(B C D)$ .

Phương pháp giải:

Sử dụng kết quả của định lí:

Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.

Lời giải:

a) Tam giác $A B C$ cân tại $A$ nên ta có đường trung tuyến ứng với cạnh đáy đồng thời là đường cao do đó: $A I ⊥ B C$

Tương tự ta có: $D I ⊥ B C$

Ta có:

$\begin{matrix} A I ⊥ B C \\ D I ⊥ B C \\ A I \cap D I = {I} \end{matrix}} \Rightarrow B C ⊥ (A D I)$

b) Ta có $A H$ là đường cao của tam giác $A D I$ nên $A H ⊥ D I$

Mặt khác: $B C ⊥ (A D I)$ mà $A H \subset (A D I)$ nên $A H ⊥ B C$

Ta có

$\begin{matrix} A H ⊥ B C \\ A H ⊥ D I \\ B C \cap D I = {I} \end{matrix}} \Rightarrow A H ⊥ (B C D)$

Bài 3 trang 104 SGK Hình học 11: Cho hình chóp

S . A B C D

có đáy là hình thoi

A B C D

và có

S A = S B = S C = S D

.Gọi

O

là giao điểm của

A C

và

B D

. Chứng minh rằng:

a) Đường thẳng $S O$ vuông góc với mặt phẳng $(A B C D)$ ;

b) Đường thẳng $A C$ vuông góc với mặt phẳng $(S B D)$ và đường thẳng $B D$ vuông góc với mặt phẳng $S A C$ .

Phương pháp giải:

Sử dụng kết quả của định lí:

Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.

Lời giải:

a) $S A = S C$ nên tam giác $S A C$ cân tại $S$ .

$O$ là giao của hai đường chéo hình bình hành nên $O$ là trung điểm của $A C$ và $B D$ .

Do đó $S O$ vừa là trung tuyến đồng thời là đường cao trong tam giác $S A C$ hay $S O ⊥ A C$

Chứng minh tương tự ta được: $S O ⊥ B D$

Ta có:

${\begin{cases} S O ⊥ A C \\ S O ⊥ B D \\ A C \cap B D = O \\ A C, B D \subset (A B C D) \end{cases}$ $\Rightarrow S O ⊥ (A B C D)$

b) $A B C D$ là hình thoi nên $A C ⊥ B D$

${\begin{cases} A C ⊥ B D \\ A C ⊥ S O \\ S O \cap B D = O \\ S O, B D \subset (S B D) \end{cases}$ $\Rightarrow A C ⊥ (S B D)$

${\begin{cases} B D ⊥ A C \\ B D ⊥ S O \\ S O \cap A C = O \\ S O, A C \subset (S A C) \end{cases}$ $\Rightarrow B D ⊥ (S A C)$

Bài 4 trang 105 sgk hình học 11: Cho tứ diện

O A B C

có ba cạnh

O A, O B, O C

đôi một vuông góc. Gọi

H

là chân đường vuông góc hạ từ

O

tới mặt phẳng

(A B C)

. Chứng minh rằng:

a) H là trực tâm của tam giác $A B C$ ;

b) $\frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{O A^{2}} + \frac{1}{O B^{2}} + \frac{1}{O C^{2}} .$

Phương pháp giải:

a) Chứng minh $A B ⊥ C H; B C ⊥ A H$ .

b) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Lời giải:

a) $H$ là hình chiếu của $O$ trên mp $(A B C)$ nên $O H ⊥ (A B C) \Rightarrow O H ⊥ B C$ .

Mặt khác: $O A ⊥ O B$ , $O A ⊥ O C$

$\Rightarrow O A ⊥ (O B C) \Rightarrow O A ⊥ B C$

${\begin{cases} B C ⊥ O H \\ B C ⊥ O A \\ O A \cap O H = O \end{cases}$ $\Rightarrow B C ⊥ (O A H)$

Mà $A H \subset (O A H)$ $\Rightarrow B C ⊥ A H$ (1)

Ta có: ${\begin{cases} O B ⊥ O A \\ O B ⊥ O C \end{cases} \Rightarrow O B ⊥ (O A C)$

Mà $A C \subset (O A C) \Rightarrow O B ⊥ A C$

$O H ⊥ (A B C) \Rightarrow O H ⊥ A C$

Do đó ${\begin{cases} O B ⊥ A C \\ O H ⊥ A C \end{cases} \Rightarrow A C ⊥ (O B H)$ $\Rightarrow A C ⊥ B H$ (2)

Từ (1) và (2) ta có tam giác $A B C$ có

${\begin{cases} A H ⊥ B C \\ B H ⊥ A C \\ A H \cap B H = H \end{cases}$

$\Rightarrow H$ là trực tâm của tam giác $A B C$ .

b) Trong mặt phẳng $(A B C)$ gọi $E = A H \cap B C$

${\begin{cases} O H ⊥ (A B C) \\ A E \subset (A B C) \end{cases} \Rightarrow O H ⊥ A E$

Ta có: ${\begin{cases} O A ⊥ (O B C) \\ O E \subset (O B C) \end{cases} \Rightarrow O A ⊥ O E$ $\Rightarrow Δ O A E$ vuông tại $O$ có đường cao $O H$

$\Rightarrow \frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{O A^{2}} + \frac{1}{O E^{2}}$ (hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông $O A E$ )

Lại có: ${\begin{cases} B C ⊥ (O A H) \\ O E \subset (O A H) \end{cases} \Rightarrow B C ⊥ O E$

Mà $O B ⊥ O C$ nên $Δ O B C$ vuông tại $O$ có $O E$ là đường cao.

$\Rightarrow \frac{1}{O E^{2}} = \frac{1}{O B^{2}} + \frac{1}{O C^{2}}$

Vậy $\frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{O A^{2}} + \frac{1}{O E^{2}}$ $= \frac{1}{O A^{2}} + \frac{1}{O B^{2}} + \frac{1}{O C^{2}}$ (đpcm).

Nhận xét: Biểu thức này là mở rộng của công thức tính đường cao thuộc cạnh huyền của tam giác vuông: $\frac{1}{h^{2}} = \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} .$

Bài 5 trang 105 sgk hình học 11: Trên mặt phẳng

(α)

cho hình bình hành

A B C D

. Gọi

O

là giao điểm của

A C

và

B D

S

là một điểm nằm ngoài mặt phẳng

(α)

sao cho

S A = S C, S B = S D

. Chứng minh rằng:

a) $S O ⊥ (α)$ ;

b) Nếu trong mặt phẳng $(S A B)$ kẻ $S H$ vuông góc với $A B$ tại $H$ thì $A B$ vuông góc mặt phẳng $(S O H)$ .

Phương pháp giải:

Sử dụng kết quả của định lí:

Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.

Lời giải:

a) $S A = S C \Rightarrow S A C$ cân tại $S$ .

$O$ là trung điểm của $A C \Rightarrow S O$ là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác cân nên $S O ⊥ A C$

Chứng minh tương tự ta có: $S O ⊥ B D$

Ta có:

$\begin{matrix} S O ⊥ B D \\ S O ⊥ A C \\ B D \cap A C = {O} \\ B D, A C \subset (A B C D) \end{matrix}} \Rightarrow S O ⊥ (A B C D)$

hay $S O ⊥ m p (α)$ .

b) $S O ⊥ (A B C D) \Rightarrow S O ⊥ A B$

${\begin{cases} S O ⊥ A B \\ S H ⊥ A B \\ S O \cap S H = S \\ S O, S H \subset (S O H) \end{cases} \Rightarrow A B ⊥ (S O H)$

Bài 6 trang 105 sgk hình học 11: Cho hình chóp

S . A B C D

có đáy là hình thoi

A B C D

và có cạnh

S A

vuông góc với mặt phẳng

(A B C D)

. Gọi

I

và

K

là hai điểm lần lượt lấy trên hai cạnh

S B

và

S D

sao cho

\frac{S I}{S B} = \frac{S K}{S D} .

Chứng minh:

a) $B D$ vuông góc với $S C$ ;

b) $I K$ vuông góc với mặt phẳng $(S A C)$ .

Phương pháp giải:

a) Chứng minh $B D ⊥ (S A C)$ .

b) Chứng minh $I K / / B D$ .

Lời giải:

a) $A B C D$ là hình thoi nên $A C ⊥ B D$ (1)

Theo giả thiết: $S A ⊥ (A B C D) \Rightarrow S A ⊥ B D$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $B D ⊥ S C$ (Tính chất một đường vuông góc với 2 cạnh của một tam giác thì vuông góc với cả cạnh còn lại của tam giác ấy)

Cách khác:

Sử dụng định lí ba đường vuông góc:

Ta có: $S A ⊥ (A B C D)$ $\Rightarrow A C$ là hình chiếu của $S C$ lên $(A B C D)$ .

Mà $B D ⊥ A C \Rightarrow B D ⊥ S C$

b) Ta có: $\frac{S I}{S B} = \frac{S K}{S D}$ theo định lí Ta-lét ta có $I K / / B D$

Theo a) ta có: $B D ⊥ (S A C) \Rightarrow I K ⊥ (S A C)$ .

Bài 7 trang 105 sgk Hình học 11: Cho tứ diện

S A B C

có cạnh

S A

vuông góc với mặt phẳng

(A B C)

và có tam giác

A B C

vuông tại

B

. Trong mặt phẳng

(S A B)

kẻ

A M

vuông góc với

S B

tại

M

. Trên cạnh

S C

lấy điểm

N

sao cho

\frac{S M}{S B} = \frac{S N}{S C} .

Chứng minh rằng:

a) $B C ⊥ (S A B)$ và $A M ⊥ (S B C)$ ;

b) $S B ⊥ A N$ .

Phương pháp giải:

a) Sử dụng kết quả của định lí:

Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.

b) Chứng minh $S B ⊥ (A M N)$ .

Lời giải:

a) $S A ⊥ (A B C) \Rightarrow S A ⊥ B C$ (1),

Tam giác $A B C$ vuông tại $B$ nên $B C ⊥ A B$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $B C ⊥ (S A B)$ .

$B C ⊥ (S A B)$ nên $B C ⊥ A M$ (3)

$A M ⊥ S B$ (giả thiết) (4)

Từ (3) và (4) suy ra $A M ⊥ (S B C)$ .

b) $A M ⊥ (S B C)$ nên $A M ⊥ S B$ (5)

$\frac{S M}{S B} = \frac{S N}{S C}$ nên theo định lí ta lét ta có: $M N / / B C$

$B C ⊥ (S A B) \Rightarrow B C ⊥ S B$

Ta có:

${\begin{cases} B C ⊥ S B \\ B C / / M N \end{cases} \Rightarrow M N ⊥ S B$ (6)

Từ (5) và (6) suy ra $S B ⊥ (A M N)$ suy ra $S B ⊥ A N$

Nhận xét: Hình chóp trong các bài 4; 6; 7 thuộc loại hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy (do đó nó có hai mặt bên vuông góc với đáy).

Bài 8 trang 105 sgk Hình học 11: Cho điểm

S

không thuộc cùng mặt phẳng

(α)

có hình chiếu là điểm

H

. Với điểm

M

bất kì trên

(α)

và

M

không trùng với

H

, ta gọi

S M

là đường xiên và đoạn

H M

là hình chiếu của đường xiên đó. Chứng minh rằng:

a) Hai đường thẳng xiên bằng nhau khi và chỉ khi hai hình chiếu của chúng bằng nhau;

b) Với hai đường xiên cho trước, đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn và ngược lại đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn.

Phương pháp giải:

a) Chứng minh các tam giác vuông bằng nhau.

b) Sử dụng định lí Pytago.

Lời giải:

a) Gọi $S N$ là một đường xiên khác.

$S H ⊥ (α) \Rightarrow {\begin{cases} S H ⊥ H M \\ S H ⊥ H N \end{cases}$

$\Rightarrow Δ S H M, Δ S H N$ vuông tại $H$ .

Xét hai tam giác vuông $S H M$ và $S H N$ có $S H$ cạnh chung.

Nếu $S M = S N \Rightarrow ∆ S H M = ∆ S H N$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

$\Rightarrow H M = H N$ .

Ngược lại nếu $H M = H N$ thì $∆ S H M = ∆ S H N$ (hai cạnh góc vuông)

$\Rightarrow S M = S N$ .

b) Xét tam giác vuông $S H M$ và $S H N$ có $S H$ cạnh chung.

Giả sử $S N > S M$

Áp dụng định lí Pytago vào hai tam giác vuông $S H M$ và $S H N$ ta được:

${\begin{cases} H N^{2} = S N^{2} - S H^{2} \\ H M^{2} = S M^{2} - S H^{2} \end{cases} \Rightarrow H N > H M$

Phần đảo chứng minh tương tự

${\begin{cases} S N^{2} = H N^{2} + S H^{2} \\ S M^{2} = H M^{2} + S H^{2} \end{cases} \Rightarrow S N > S M$

Lý thuyết Bài 3. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

1. Định nghĩa

Một đường thẳng gọi là vuông góc với mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng ấy.

Định lí 1:

Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P).

Hệ quả: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó cũng vuông góc với cạnh thứ ba.

2. Tính chất

Tính chất 1.

Có duy nhất một mặt phẳng (P) đi qua một điểm O cho trước và vuông góc với một đường thẳng a cho trước.

Mặt phẳng vuông góc với AB tại trung điểm O của đoạn AB, gọi là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB (h.3.26).

3. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng

Tính chất 3.

a) Mặt phẳng nào vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại.

b) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng song song với nhau.

Tính chất 5.

a) Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với nhau. Đường thẳng nào vuông góc với (P) thì cũng vuông góc với a.

b) Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì chúng song song với nhau.

4. Phép chiếu vuông góc

Định nghĩa:

Phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo phương l vuông góc với mặt phẳng (P) gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P).

Định lí ba đường vuông góc:

Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng b nằm trong (P). khi đó điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a' của a trên (P) (h.3.27).

5. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Định nghĩa:

Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa a và (P) bằng $90^{0} .$

Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa a và hình chiếu a' của nó trên (P), gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) (h.3.28).