Toptailieu.vn giới thiệu Giải bài tập Toán 11 Bài 5: Khoảng cách chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập về khoảng cách lớp 11.

Giải bài tập Toán 11 Bài 5: Khoảng cách

Trả lời câu hỏi giữa bài:

Lời giải:

Khoảng cách từ điểm $O$ đến đường thẳng $a$ là OH (H là hình chiếu vuông góc của $O$ trên $a$)

Dựa vào quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc ⇒ khoảng cách từ điểm $O$ đến đường thẳng $a$ là bé nhất so với các khoảng cách từ $O$ đến một điểm bất kì của đường thẳng $a$.

Phương pháp giải:

Sử dụng mối quan hệ giữa các cạnh trong tam giác vuông.

Lời giải:

Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ lên mặt phẳng $(\alpha )\Rightarrow OH=$ khoảng cách từ điểm $O$ đến mặt phẳng $(\alpha )$

$M$ là điểm bất kì thuộc mặt phẳng $(\alpha )$.

Tam giác $OMH$ vuông tại $H$ nên $OH<OM.$

Vậy khoảng cách từ điểm $O$ đến mặt phẳng $(\alpha )$ là bé nhất so với các khoảng cách từ $O$ tới một điểm bất kì của mặt phẳng $(\alpha )$.

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất của tứ diện đều và các tam giác đều trong hình, kết hợp tính chất đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

Lời giải:

Tứ diện đều $ABCD$ nên các mặt của tứ diện là các tam giác đều bằng nhau

$NB=NC$ vì là trung tuyến của hai tam giác đều bằng nhau

$\Rightarrow \Delta BNC$ cân tại $N$

$NM$ là đường trung tuyến của tam giác cân $BNC$

$\Rightarrow MN\perp BC$

Lại có: Các tam giác $ABD,ACD$ đều nên $CN\perp AD$ và $BN\perp AD.$

Từ đó $AD\perp (BNC)$ hay $AD\perp MN.$

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Lời giải:

Ta có: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại.

Mà khoảng cách từ đường thẳng a song song với mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ là bé nhất so với khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc a đến $\left(\alpha \right)$ nên ta có điều phải chứng minh.

Bài tập trang 119, 120 SGK Toán 11

a) Đường thẳng $∆$ là đường thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng $a$ và $b$ nếu $∆$ vuông góc với $a$ và $∆$ vuông góc với $b$;

b) Gọi $(P)$ là mặt phẳng song song với cả hai đường thẳng $a,b$ chéo nhau. Khi đó đường vuông góc chung $∆$ của $a$ và $b$ luôn luôn vuông góc với $(P)$;

c) Gọi $∆$ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau $a$ và $b$ thì $∆$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(a,∆)$ và $(b,∆)$;

d) Cho hai đường thẳng chéo nhau $a$ và $b$. Đường thẳng nào đi qua một điểm $M$ trên $a$ đồng thời cắt $b$ tại $N$ và vuông góc với $b$ thì đó là đường vuông góc chung của $a$ và $b$;

e) Đường vuông góc chung $∆$ của hai đường thẳng chéo nhau $a$ và $b$ nằm trong mặt phẳng chứa đường này và vuông góc với đường kia.

Phương pháp giải:

Xét tính đúng sai của từng mệnh đề (có thể vẽ hình để có cái nhìn trực quan hơn).

Lời giải:

a) Sai vì thiếu điều kiện $\mathrm{\Delta }$ cắt cả a và b.

b) Đúng.

c) Đúng.

d) Sai vì thiếu điều kiện đường thẳng đó cũng phải vuông góc với a.

e) Sai vì nếu điều đó xảy ra thì a và b vuông góc nhưng giả thiết chưa cho a vuông góc b.

a) Chứng minh ba đường thẳng $AH,SK,BC$ đồng quy.

b) Chứng minh rằng $SC$ vuông góc với mặt phẳng $(BHK)$ và $HK$ vuông góc với mặt phẳng $(SBC)$.

c) Xác định đường vuông góc chung của $BC$ và $SA$.

Phương pháp giải:

a) Gọi $E=AH\cap BC$, chứng minh ba đường thẳng $AH,SK,BC$ đồng quy tại $E.$

b) Trong $(ABC)$ gọi $F=BH\cap AC$, trong $(SBC)$ gọi $D=BK\cap SC$. Khi đó $(BHK)\equiv (BDF)$. Chứng minh $SC\mathrm{\perp }\left(BDF\right)$.

Chứng minh $HK$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong $(SBC)$.

c) Dựa vào định nghĩa đường vuông góc chung của hai đường thẳng cắt nhau.

Lời giải:

a) Trong $(ABC)$, gọi $E=AH\cap BC$.

$H$ là trực tâm của tam giác $ABC$ nên $AE\mathrm{\perp }BC$   (1)

$SA\mathrm{\perp }(ABC)\Rightarrow SA\mathrm{\perp }BC$                             (2)

Từ (1) và (2) suy ra $BC\perp (SAE)$$\Rightarrow BC\perp SE$.

$K$ là trực tâm của tam giác $SBC\Rightarrow SE$ đi qua $K$ $\Rightarrow AH,BC,SK$ đồng quy tại $E$.

b) Trong $(ABC)$ gọi $F=BH\cap AC$, trong $(SBC)$ gọi $D=BK\cap SC$. Khi đó $(BHK)\equiv (BDF)$.

Ta có:

$$\begin{gathered} \{\begin{array}{l}BF\mathrm{\perp }AC\\ BF\mathrm{\perp }SA\left(SA\mathrm{\perp }\left(ABC\right)\right)\end{array}\Rightarrow BF\mathrm{\perp }\left(SAC\right) \\ \Rightarrow BF\mathrm{\perp }SC \end{gathered}$$

$\{\begin{array}{l}SC\mathrm{\perp }BF\\ SC\mathrm{\perp }BD\end{array}\Rightarrow SC\mathrm{\perp }\left(BDF\right)\Rightarrow SC\mathrm{\perp }\left(BHK\right)$

Ta có: 

$\begin{array}{l}SC\mathrm{\perp }\left(BHK\right)\Rightarrow SC\mathrm{\perp }HK\\ BC\mathrm{\perp }\left(SAE\right)\Rightarrow BC\mathrm{\perp }HK\\ \Rightarrow HK\mathrm{\perp }\left(SBC\right)\end{array}$

Cách khác:

Có thể chứng minh $HK\mathrm{\perp }\left(SBC\right)$ như sau:

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}SC\mathrm{\perp }\left(BHK\right)\\ SC\subset \left(SBC\right)\end{array}\Rightarrow \left(SBC\right)\mathrm{\perp }\left(BHK\right)\\ \{\begin{array}{l}BC\mathrm{\perp }\left(SAE\right)\\ BC\subset \left(SBC\right)\end{array}\Rightarrow \left(SBC\right)\mathrm{\perp }\left(SAE\right)\\ \{\begin{array}{l}\left(SBC\right)\mathrm{\perp }\left(BHK\right)\\ \left(SBC\right)\mathrm{\perp }\left(SAE\right)\\ \left(BHK\right)\cap \left(SAE\right)=HK\end{array}\Rightarrow HK\mathrm{\perp }\left(SBC\right)\end{array}$

c) $\{\begin{array}{l}AE\mathrm{\perp }SA\left(SA\mathrm{\perp }\left(ABC\right)\right)\\ AE\mathrm{\perp }BC\left(gt\right)\end{array}\Rightarrow AE$ là đường vuông góc chung của $BC$ và $SA$.

Phương pháp giải:

+) Xác định và tính khoảng cách từ điểm $B$ đến $A{C}^{\prime }$ bằng cách sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.

+) Chứng minh các tam giác bằng nhau và suy ra các đường cao tương ứng bằng nhau.

Lời giải:

Gọi $K$ là hình chiếu của $B$ trên $A{C}^{\prime }$. 

Ta có $AB\mathrm{\perp }\left(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }\right)\Rightarrow AB\mathrm{\perp }B{C}^{\prime }\Rightarrow \mathrm{\Delta }AB{C}^{\prime }$ vuông tại B.

Dễ thấy $B{C}^{\prime }$ là đường chéo của hình vuông cạnh $a\Rightarrow B{C}^{\prime }=a\sqrt{2}.$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $AB{C}^{\prime }$ có: 

${\displaystyle \frac{1}{B{K}^2}}={\displaystyle \frac{1}{B{A}^2}}+{\displaystyle \frac{1}{B{C}^2}}$ $={\displaystyle \frac{1}{a^2}}+{\displaystyle \frac{1}{(a\sqrt{2}{)}^2}}={\displaystyle \frac{3}{2a^2}}$$\Rightarrow BK={\displaystyle \frac{a\sqrt{6}}{3}}.$ 

Ta có:

$\mathrm{\Delta }AB{C}^{\prime }=\mathrm{\Delta }{C}^{\prime }CA=\mathrm{\Delta }AD{C}^{\prime }$$=\mathrm{\Delta }A{A}^{\prime }{C}^{\prime }=\mathrm{\Delta }{C}^{\prime }{B}^{\prime }A=\mathrm{\Delta }{C}^{\prime }{D}^{\prime }A$

$(c.g.c)$

Do đó các chiều cao tương ứng của các tam giác này bằng nhau.

Vậy khoảng cách từ $B,C,D,A^{\prime },B^{\prime },D^{\prime }$ tới $A{C}^{\prime }$ đều bằng ${\displaystyle \frac{a\sqrt{6}}{3}}$.

a) Tính khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$.

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $B{B}^{\prime }$ và $A{C}^{\prime }$.

Phương pháp giải:

a) Xác định và tính khoảng cách từ điểm B đến $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ bằng cách kẻ $BH\mathrm{\perp }AC$.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách vừa xác định được.

b) Xác định mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia. Đưa về bài toán xác định khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng.

Lời giải:

a) Trong $(ABCD)$ kẻ $BH\mathrm{\perp }AC\left(H\in AC\right)\left(1\right)$

Ta có: $C{C}^{\prime }\mathrm{\perp }(ABCD)\Rightarrow C{C}^{\prime }\mathrm{\perp }BH\left(2\right)$

Từ (1) và (2) suy ra $BH\mathrm{\perp }(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $ABC$ ta có:

${\displaystyle \frac{1}{B{H}^2}}={\displaystyle \frac{1}{A{B}^2}}+{\displaystyle \frac{1}{B{C}^2}}$ $={\displaystyle \frac{1}{a^2}}+{\displaystyle \frac{1}{b^2}}={\displaystyle \frac{a^2+b^2}{a^2{b}^2}}$$\Rightarrow BH={\displaystyle \frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}}$

Cách khác:

Ta có:

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}A{A}^{\prime }\mathrm{\perp }\left(ABCD\right)\\ A{A}^{\prime }\subset \left(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }\right)\end{array}\\ \Rightarrow \left(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }\right)\mathrm{\perp }\left(ABCD\right)\\ \{\begin{array}{l}\left(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }\right)\cap \left(ABCD\right)=AC\\ BH\subset \left(ABCD\right)\\ BH\mathrm{\perp }AC\end{array}\\ \Rightarrow BH\mathrm{\perp }\left(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }\right)\\ AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{a^2+b^2}\\ BH.AC=AB.BC\\ \Rightarrow BH={\displaystyle \frac{AB.BC}{AC}}={\displaystyle \frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}}\end{array}$

b) Ta có: $A{C}^{\prime }\subset (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })//B{B}^{\prime }$

$\Rightarrow d(B{B}^{\prime },A{C}^{\prime })=d(B{B}^{\prime };(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$$=d(B,(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }))=BH.$

$\Rightarrow d\left(B{B}^{\prime };A{C}^{\prime }\right)={\displaystyle \frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}}$

a) Chứng minh rằng $B^{\prime }D$ vuông góc với mặt phẳng $(B{A}^{\prime }{C}^{\prime })$.

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(B{A}^{\prime }{C}^{\prime })$ và $(AC{D}^{\prime })$.

c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $B{C}^{\prime }$ và $C{D}^{\prime }$.

Phương pháp giải:

a) Chứng minh $B^{\prime }D$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong mp$(B{A}^{\prime }{C}^{\prime })$.

b) Chứng minh $(B{A}^{\prime }{C}^{\prime })//(AC{D}^{\prime })$. Xác định khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.

c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.

Lời giải:

Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$. Theo giả thiết $IJ\mathrm{\perp }AB,IJ\mathrm{\perp }CD$.

Qua $I$ kẻ đường thẳng $d//CD$, lấy trên $d$ điểm $E,F$ sao cho $IE=IF={\displaystyle \frac{CD}{2}}$

Ta có $IJ\mathrm{\perp }CD(gt)\Rightarrow IJ\mathrm{\perp }EF$, lại có $IJ\mathrm{\perp }AB(gt)$

$\Rightarrow IJ\mathrm{\perp }(AEBF)$.

Ta có $CDFE$ là hình bình hành có $IJ$ là đường trung bình

$\Rightarrow CE//DF//IJ$ 

$\Rightarrow \{\begin{array}{l}CE\mathrm{\perp }\left(AEBF\right)\Rightarrow CE\mathrm{\perp }BE\\ DF\mathrm{\perp }\left(AEBF\right)\Rightarrow DF\mathrm{\perp }AF\end{array}$

Ta có: $\mathrm{\Delta }AIF=\mathrm{\Delta }BIE(c.g.c)$ suy ra: $AF=BE$

Xét $∆DFA$ và $∆CEB$ có:

  +) $\hat{E}=\hat{F}(={90}^0)$ 

  +) $AF=BE$

  +) $DF=CE$

$\Rightarrow ∆DFA=∆CEB(c.g.c)\Rightarrow AD=BC$. 

Chứng minh tương tự ta được $BD=AC$.

Phương pháp giải:

Gọi H là tâm tam giác đều ABC $\Rightarrow SH\mathrm{\perp }\left(ABC\right)\Rightarrow d\left(S;\left(ABC\right)\right)=SH$

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông để tính $SH$.

Lời giải:

Gọi $H$ là tâm của tam giác đều $ABC$ ta có $SH\mathrm{\perp }(ABC)$

$\Rightarrow d(S,(ABC))=SH$

Gọi $N$ là trung điểm của $BC$.

$\Rightarrow BN=NC={\displaystyle \frac{3a}{2}}$

Tam giác $ABN$ vuông tại $N$ nên:

$AN=\sqrt{A{B}^2-B{N}^2}$ $=\sqrt{{\left(3a\right)}^2-{\left({\displaystyle \frac{3a}{2}}\right)}^2}={\displaystyle \frac{3a\sqrt{3}}{2}}$

$H$ là trọng tâm tam giác $ABC$ $\Rightarrow AH={\displaystyle \frac{2}{3}}.AN=a\sqrt{3}$

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông $SAH$ ta có:

$SH=\sqrt{S{A}^2-A{H}^2}=\sqrt{4a^2-(a\sqrt{3}{)}^2}=a.$

Vậy $d\left(S;\left(ABC\right)\right)=SH=a$.

Lời giải:

Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC$,

Ta có: $\mathrm{\Delta }ABC=\mathrm{\Delta }DBC(c.c.c)$ $\Rightarrow AN=DN$ (hai đường trung tuyến tương ứng)

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }AND$ cân tại $N$.

$\Rightarrow$ Trung tuyến $MN$ đồng thời là đường cao $\Rightarrow MN\mathrm{\perp }AD(1)$

Chứng minh tương tự, $\mathrm{\Delta }MBC$ cân tại $M\Rightarrow MN\mathrm{\perp }BC(2)$

Từ (1) và (2) suy ra $MN$ là đường vuông góc chung của $BC$ và $AD$.

$\Rightarrow d\left(AD;BC\right)=MN$

Tam giác $ABN$ vuông tại $N$ nên:

$AN=\sqrt{A{B}^2-B{N}^2}$ $=\sqrt{a^2-{\left({\displaystyle \frac{a}{2}}\right)}^2}$ $={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}}$

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông $AMN$ ta có:

$MN=\sqrt{A{N}^2-A{M}^2}=\sqrt{\frac{3a^2}{4}-\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Vậy $d\left(AD;BC\right)={\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2}}$.

Lý thuyết Bài 5: Khoảng cách

1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, đến một đường thẳng.

Định nghĩa 1

Khoảng cách từ 1 điểm $M$ đến một mặt phẳng $(P)$ (hoặc đến đường thẳng $∆$) là khoảng cách giữa hai điểm $M$ và $H$, trong đó $H$ là hình chiếu của điểm $M$ trên mặt phẳng $(P)$(h.3.56a), kí hiệu là $d(M,(P))$ (hoặc trên đường thẳng $∆$, kí hiệu là $d(M,∆)$ (h.3.56b)).

2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song.

Định nghĩa 2

Khoảng cách giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng $(P)$ song song với $a$ là khoảng cách từ một điểm bất kì của $a$ tới mặt phẳng $(P)$ (h.3.57), kí hiệu là $d(a,(P))$.

Định nghĩa 3

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này tới mặt phẳng kia.

3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 

Định nghĩa

- Đường thẳng $c$ cắt và vuông góc với cả $a$ và $b$ gọi là đường vuông góc chung của $a$ và $b$ (h.3.58).

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau đó.

Nhận xét

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng:

- Khoảng cách từ một trong hai đường thẳng đã cho đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại.

- Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó (h.3.59).

Cách xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau.

- Dựng mp $(P)$ chứa $b$ và song song với $a$.

- Từ một điểm $M$ trên $a$, dựng đường thẳng vuông góc với $(P)$, cắt $(P)$ tại $M^{\prime }$.

- Trong $(P)$ từ $M^{\prime }$ dựng đường thẳng $a^{\prime }//a$, cắt $b$ tại $B$.

- Trong mp $(a,a^{\prime })$, từ $B$ dựng đường thẳng song song với $M{M}^{\prime }$, cắt $a$ tại $A.AB$ là đường thẳng cần dựng (h3.60).

II. Các dạng toán về khoảng cách

1. Bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Phương pháp:

Để tính khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ ta cần xác định được hình chiếu $H$ của điểm $M$ trên đường thẳng $\mathrm{\Delta }$, rồi xem $MH$ là đường cao của một tam giác nào đó để tính.

Điểm $H$ thường được dựng theo hai cách sau:

Cách 1: Trong $mp\left(M,\mathrm{\Delta }\right)$ vẽ $MH\mathrm{\perp }\mathrm{\Delta }\Rightarrow d\left(M,\mathrm{\Delta }\right)=MH$

Cách 2: Dựng mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ qua $M$ và vuông góc với $\mathrm{\Delta }$ tại $H$.

Khi đó $d\left(M,\mathrm{\Delta }\right)=MH$.

Hai công thức sau thường được dùng để tính $MH$

CT1: $\mathrm{\Delta }MAB$ vuông tại $M$ và có đường cao $MH$ thì ${\displaystyle \frac{1}{M{H}^2}}={\displaystyle \frac{1}{M{A}^2}}+{\displaystyle \frac{1}{M{B}^2}}$.

CT2: $MH$ là đường cao của $\mathrm{\Delta }MAB$ thì $MH={\displaystyle \frac{2S_{MAB}}{AB}}$.

2. Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Phương pháp:

Để tính được khoảng từ điểm $M$đến mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ thì điều quan trọng nhất là ta phải xác định được hình chiếu của điểm $M$ trên $\left(\alpha \right)$.

TH1:

- Dựng $AK\mathrm{\perp }\mathrm{\Delta }\Rightarrow \mathrm{\Delta }\mathrm{\perp }\left(SAK\right)\Rightarrow \left(\alpha \right)\mathrm{\perp }\left(SAK\right)$ và $\left(\alpha \right)\cap \left(SAK\right)=SK$.

- Dựng $AH\mathrm{\perp }SK\Rightarrow AH\mathrm{\perp }\left(\alpha \right)\Rightarrow d\left(A,\left(\alpha \right)\right)=AH$

TH2:

- Tìm điểm $H\in \left(\alpha \right)$ sao cho $AH//\left(\alpha \right)\Rightarrow d\left(A,\left(\alpha \right)\right)=d\left(H,\left(\alpha \right)\right)$

TH3:

- Tìm điểm $H$ sao cho $AH\cap \left(\alpha \right)=I$

 

- Khi đó: ${\displaystyle \frac{d\left(A,\left(\alpha \right)\right)}{d\left(H,\left(\alpha \right)\right)}}={\displaystyle \frac{IA}{IH}}\Rightarrow d\left(A,\left(\alpha \right)\right)={\displaystyle \frac{IA}{IH}}.d\left(H,\left(\alpha \right)\right)$

Một kết quả có nhiều ứng dụng để tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng đối với tứ diện vuông (tương tư như hệ thức lượng trong tam giác vuông) là:

Nếu tứ diện OABC  có OA, OB, OC đôi một vuông góc và có đường cao OH thì $\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{B}^2}+\frac{1}{O{C}^2}$.

3. Phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

Phương pháp:

Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ta có thể dùng một trong các cách sau:

+) Phương pháp 1: Dựng đoạn vuông góc chung $MN$ của $a$ và $b$, khi đó $d\left(a,b\right)=MN$.

Một số trường hợp hay gặp khi dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau:

Trường hợp 1: $\mathrm{\Delta }$ và ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }$ vừa chéo nhau vừa vuông góc với nhau

- Bước 1: Chọn mặt phẳng $(\alpha )$ chứa ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }$ và vuông góc với $\mathrm{\Delta }$ tại $I$.

- Bước 2: Trong mặt phẳng $(\alpha )$ kẻ $IJ\mathrm{\perp }{\mathrm{\Delta }}^{\prime }$.

Khi đó $IJ$ là đoạn vuông góc chung và $d(\mathrm{\Delta },{\mathrm{\Delta }}^{\prime })=IJ$.

Trường hợp 2: $\mathrm{\Delta }$ và ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }$ chéo nhau mà không vuông góc với nhau

- Bước 1: Chọn mặt phẳng $(\alpha )$ chứa ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }$ và song song với $\mathrm{\Delta }$.

- Bước 2: Dựng $d$ là hình chiếu vuông góc của $\mathrm{\Delta }$ xuống $(\alpha )$ bằng cách lấy điểm $M\in \mathrm{\Delta }$ dựng đoạn $MN\mathrm{\perp }\left(\alpha \right)$, lúc đó $d$ là đường thẳng đi qua $N$ và song song với $\mathrm{\Delta }$.

- Bước 3: Gọi $H=d\cap {\mathrm{\Delta }}^{\prime }$, dựng $HK//MN$

Khi đó $HK$ là đoạn vuông góc chung và $d(\mathrm{\Delta },{\mathrm{\Delta }}^{\prime })=HK=MN$.

Hoặc

- Bước 1: Chọn mặt phẳng $(\alpha )\mathrm{\perp }\mathrm{\Delta }$ tại $I$.

- Bước 2: Tìm hình chiếu $d$ của ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }$ xuống mặt phẳng $(\alpha )$.

- Bước 3: Trong mặt phẳng $(\alpha )$, dựng $IJ\mathrm{\perp }d$, từ $J$ dựng đường thẳng song song với $\mathrm{\Delta }$ cắt ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }$ tại $H$, từ $H$ dựng $HM//IJ$.

Khi đó $HM$ là đoạn vuông góc chung và $d(\mathrm{\Delta },{\mathrm{\Delta }}^{\prime })=HM=IJ$.

+) Phương pháp 2: Chọn mặt phẳng $(\alpha )$ chứa đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ và song song với ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }$. Khi đó $d(\mathrm{\Delta },{\mathrm{\Delta }}^{\prime })=d({\mathrm{\Delta }}^{\prime },(\alpha ))$

+) Phương pháp 3: Dựng hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó là khoảng cách cần tìm.

+) Phương pháp 4: Sử dụng phương pháp vec tơ

a) $MN$ là đoạn vuông góc chung của $AB$ và $CD$ khi và chỉ khi $\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AB}\\ \overrightarrow{CN}=y\overrightarrow{CD}\\ \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{AB}=0\\ \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{CD}=0\end{array}$

b) Nếu trong $\left(\alpha \right)$ có hai vec tơ không cùng phương $\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}$ thì $OH=d\left(O,\left(\alpha \right)\right)\iff \{\begin{array}{l}\overrightarrow{OH}\mathrm{\perp }\overrightarrow{u_1}\\ \overrightarrow{OH}\mathrm{\perp }\overrightarrow{u_2}\\ H\in \left(\alpha \right)\end{array}\iff \{\begin{array}{l}\overrightarrow{OH}.\overrightarrow{u_1}=0\\ \overrightarrow{OH}.\overrightarrow{u_2}=0\\ H\in \left(\alpha \right)\end{array}$