Toptailieu.vn giới thiệu Giải bài tập Toán 11 Ôn tập chương III - Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Căn bậc hai lớp 11.

Giải bài tập Toán 11 Ôn tập chương III - Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian

Trả lời câu hỏi giữa bài:

Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Hãy kể tên những vecto bằng vecto $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của hình lăng trụ.

Phương pháp giải:

Nhắc lại định nghĩa vecto trong không gian và sử dụng định nghĩa hai vector bằng nhau.

Lời giải:

Định nghĩa vecto trong không gian:

Vecto trong không gian là một đoạn thẳng có hướng, tức là một đoạn thẳng đã được chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối.

Vì các cạnh bên của hình lăng trụ là các đoạn thẳng song song và bằng nhau nên các vecto bằng vecto $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ và có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của hình lăng trụ là: $\overrightarrow{B{B}^{\prime }},\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$.

Phương pháp giải:

Sử dụng điều kiện để 3 vector đồng phẳng.

Lời giải:

Trong không gian cho hai vector $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$ không cùng phương với $\overrightarrow{c}$.

Khi đó ba vector $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}$ đồng phẳng khi và chỉ khi một trong hai điều kiện sau được thỏa mãn:

+ Giá của chúng cùng song song hoặc nằm trong một mặt phẳng.

+ Có cặp số $m,n$ sao cho $\overrightarrow{c}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}$.

Phương pháp giải:

Sử dụng vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian để nhận xét.

Lời giải:

Trong không gian, hai đường thẳng không cắt nhau vẫn có thể vuông góc với nhau.

Đường thẳng $a$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u}$ 

Đường thẳng $b$ có vecto chỉ phương là $\overrightarrow{v}$

$a$ vuông góc với $b$ khi và chỉ khi tích vô hướng của hai vecto $\overrightarrow{u}$  và $\overrightarrow{v}$ bằng không.

$a\mathrm{\perp }b\iff \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0$

Định lí ba đường vuông góc:

Cho đường thẳng $a$ nằm trong mặt phẳng $(\alpha )$ và $b$ là đường thẳng không thuộc $(\alpha )$ đồng thời không vuông góc với $(\alpha )$. Gọi $b^{\prime }$ là hình chiếu của $b$ trên $(\alpha )$. Khi đó $a$ vuông góc với $b$ khi và chỉ khi $a$ vuông góc với $b^{\prime }$.

Câu 6 trang 120 SGK Hình học 11: Nhắc lại định nghĩa:

a) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

b) Góc giữa hai mặt phẳng.

Phương pháp giải:

a) Xem lại lý thuyết bài Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

b) Xem lại lý thuyết bài Hai mặt phẳng vuông góc.

Lời giải:

a) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Định nghĩa: Cho đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(\alpha )$.

Trường hợp đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $(\alpha )$ thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(\alpha )$ bằng ${90}^0$.

Trường hợp đường thẳng $d$ không vuông góc với mặt phẳng $(\alpha )$ thì góc giữa $d$ và hình chiếu $d^{\prime }$ của nó trên $\alpha$ gọi là góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(\alpha )$.

- Nếu $d//\left(\alpha \right)$ hoặc $d\subset \left(\alpha \right)$ thì góc giữa $d$ và mặt phẳng $(\alpha )$ bằng $0^0$.

b)

Góc giữa hai mặt phẳng

Định nghĩa: Giả sử hai mặt phẳng $(\alpha )$ và $(\beta )$ cắt nhau theo giao tuyến $c$. Từ điểm $I$ bất kì trên $c$, trong mặt phẳng $(\alpha )$ ta dựng  đường thẳng $a$ vuông góc với $c$ và trong mặt phẳng $(\beta )$ ta dựng đường thẳng $b$ vuông góc với $c$. Ta gọi góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$ là góc giữa hai mặt phẳng  $(\alpha )$ và $(\beta )$.

Nếu $\left(\alpha \right)//\left(\beta \right)$ hoặc $\left(\alpha \right)\equiv \left(\beta \right)$ thì góc giữa hai mặt phẳng bằng $0^0$.

Chú ý: góc giữa hai mặt phẳng luôn luôn nhỏ hơn hoặc bằng ${90}^0$.

Phương pháp giải:

Xem lại lý thuyết bài Hai mặt phẳng vuông góc. 

Lời giải:

Muốn chứng minh mặt phẳng $(\alpha )$ vuông góc với mặt phẳng $(\beta )$, ta có  thể:

+) Chứng minh mặt phẳng này chứa 1 đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.

$\{\begin{array}{c}d\subset (\alpha )\hfill \\ d\mathrm{\perp }(\beta )\hfill \end{array}\Rightarrow (\alpha )\mathrm{\perp }(\beta )$

+) Hoặc xác định góc giữa $(\alpha )$ và $(\beta )$ và chứng minh góc đó bằng ${90}^0$.

a) Từ một điểm đến một đường thẳng;

b) Từ đường thẳng $a$ đến mặt phẳng $(\alpha )$ song song với $a$;

c) Giữa hai mặt  phẳng song song.

Phương pháp giải:

a) Xem lại lý thuyết bài Khoảng cách.

b) Xem lại lý thuyết bài Khoảng cách.

c) Xem lại lý thuyết bài Khoảng cách.

Lời giải:

a)

Để tính khoảng cách từ điểm $O$ đến đường thẳng $\Delta$ không đi qua $O$, ta xác định mặt phẳng $(O,\Delta )$ và trong mặt phẳng này kẻ $OH\perp \Delta$. Khi đó độ dài $OH$ chính là khoảng cách từ $O$ đến $\Delta$.

b) 

Để tính khoảng cách giữa đường thẳng $a$ và mp $(P)$ song song với $a$, ta lấy một điểm $M$ bất kì thuộc đường thẳng $a$. Khoảng cách $MH$ từ điểm $M$ đến mp $(P)$ chính là khoảng cách giữa đường thẳng $a$ với mp $(P)$ song song với $a$.

c)

Để tìm khoảng cách giữa hai mp $(P)$ và $(P^{\prime })$ song song với nhau, ta lấy một điểm $M$ thuộc $(P)$ và tìm khoảng cách $MH$ từ điểm $M$đến mặt phẳng $(P^{\prime })$.

Lời giải:

Cách 1: Đưa về khoảng cách từ 1 điểm đển 1 mặt phẳng.

- Dựng mặt phẳng $(P)$ chứa đường thẳng $a$ và song song với đường thẳng $b$.

- Tìm khoảng cách từ một điểm $M$ bất kì thuộc đường thẳng $b$ đến mặt phẳng $(P)$.

- Khi đó $d\left(a;b\right)=d\left(M;\left(P\right)\right)$

Cách 2: Dựng đường vuông góc chung.

Lời giải:

Lấy một điểm $M$ bất kì trong không gian sao cho $MA=MB=MC$. Từ $M$ kẻ $MO$ vuông góc với $(ABC)$. Các tam giác vuông $MOA$, $MOB$, $MOC$ bằng nhau, suy ra $OA=OB=OC$.

Do đó $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Vậy các điểm $M$ cách đều ba đỉnh của tam giác $ABC$ nằm trên đường thẳng $d$ đi qua tâm $O$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ và vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$.

Ngược lại, lấy một điểm $M^{\prime }\in d$, nối $M^{\prime }A,M^{\prime }B,M^{\prime }C$,

Do $M^{\prime }O$ chung và $OA=OB=OC$ nên các tam giác vuông $M^{\prime }OA,M^{\prime }OB,M^{\prime }OC$  bằng nhau, suy ra $M^{\prime }A=M^{\prime }B=M^{\prime }C$,

Tức là điểm $M^{\prime }$ cách đều ba đỉnh $A,B,C$ của tam giác $ABC$.

Kết luận: Tập hợp các điểm cách đều ba đỉnh của tam giác $ABC$ là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ và đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Bài tập trang 121, 122, 123 SGK Toán 11

a) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì chúng song song

b) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song

c) Mặt phẳng $(\alpha )$ vuông góc với đường thẳng $b$ mà $b$ vuông góc với đường thẳng $a$, thì $a$ song song với $(\alpha )$

d) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì chúng song song.

e) Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song.

Phương pháp giải:

Suy luận từng đáp án.

Lời giải:

Câu a đúng

$\{\begin{array}{c}a\mathrm{\perp }(P)\hfill \\ b\mathrm{\perp }(P)\hfill \end{array}\Rightarrow a//b$

Câu b đúng

$\{\begin{array}{c}(P)\mathrm{\perp }a\hfill \\ (Q)\mathrm{\perp }a\hfill \end{array}\Rightarrow (P)//(Q)$

Câu c) sai: Vì $a$ có thể thuộc mp $(\alpha )$

Câu d) sai: Hai mp $(\alpha )$ và $(\beta )$ cùng vuông góc với mp $(P)$ thì $(\alpha )$ và $(\beta )$ vẫn có thể cắt nhau và trong trường hợp này thì giao tuyến của $(\alpha )$ và $(\beta )$ vuông góc với mp $(P)$.

Câu e) sai: Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì hai đường thẳng này có thể cắt nhau và cùng nằm trong mặt phẳng vuông góc với đường thẳng còn lại.

a) Khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau là đoạn ngắn nhất trong các đoạn thẳng nối hai điểm bất kì nằm trên hai đường thẳng ấy và ngược lại.

b) Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước.

c) Qua một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng khác cho trước.

d) Đường thẳng nào vuông góc với cả hai đường thẳng chéo nhau cho trước là đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

Lời giải:

Câu a) đúng: Khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau là đoạn ngắn nhất trong các đoạn thẳng nối hai điểm bất kì nằm trên hai đường thẳng ấy và ngược lại (xem mục c) Tính chất của khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau)

Câu b) sai: Qua một điểm, ta có thể vẽ được vô số mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

Câu c) sai: Vì trong trường hợp đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì ta có vô số mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước vì bất kì mặt phẳng nào chứa đường thẳng cũng đều vuông góc với mặt phẳng cho trước.

Để có khẳng định đúng, ta phải nói: “Qua một đường thẳng không vuông góc với một mặt phẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đã cho".

Câu d) sai: Vì đường vuông góc chung của hai đường thẳng phải cắt cả hai đường thẳng ấy.

a) Chứng minh rằng bốn mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông.

b) Mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua $A$ và vuông góc với cạnh $SC$ lần lượt cắt $SB,SC$ và $SD$ tại $B^{\prime },C^{\prime }$ và $D^{\prime }$. Chứng minh $B^{\prime }{D}^{\prime }$ song song với $BD$ và $A{B}^{\prime }$ vuông góc với $SB$.

Phương pháp giải:

a) Sử dụng phương pháp chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

b) Chứng minh $A{B}^{\prime }\mathrm{\perp }\left(SBC\right)\Rightarrow A{B}^{\prime }\mathrm{\perp }SB$

Chứng minh hai đường thẳng $BD$ và $B^{\prime }{D}^{\prime }$ cùng vuông góc với mặt phẳng $(SAC)$

a) Chứng minh mặt phẳng $(SOF)$ vuông góc với mặt phẳng $(SBC)$

b) Tính các khoảng cách từ $O$ và $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$

Phương pháp giải:

a) Chứng minh $BC\mathrm{\perp }\left(SOF\right)$.

b) Dựng và tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng $(SBC)$. Chứng minh $d\left(A;\left(SBC\right)\right)=2d\left(O;\left(SBC\right)\right)$.

Lời giải:

a) Theo giả thiết $\widehat{BAD}={60}^0$ nên theo tính chất của hình thoi $\widehat{BCD}={60}^0$ hay tam giác $BDC$ đều.

$\Rightarrow BD=a\Rightarrow BO={\displaystyle \frac{1}{2}}BD={\displaystyle \frac{a}{2}}$; $BE={\displaystyle \frac{1}{2}}BC={\displaystyle \frac{a}{2}}$

Xét tam giác $BOE$ có $BO=BE={\displaystyle \frac{a}{2}}$ và $\widehat{OBE}={60}^0$ nên tam giác $BOE$ đều

Do đó $OF$ là đường cao và ta được $OF\perp BC$. 

$\{\begin{array}{l}SO\mathrm{\perp }\left(ABCD\right)\Rightarrow BC\mathrm{\perp }SO\\ BC\mathrm{\perp }OF\end{array}$ $\Rightarrow BC\mathrm{\perp }\left(SOF\right)$

Mà $BC\subset (SBC)\Rightarrow (SOF)\perp (SBC)$

b) Kẻ $OH\mathrm{\perp }SF$

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}\left(SOF\right)\mathrm{\perp }\left(SBC\right)\\ \left(SOF\right)\cap \left(SBC\right)=SF\\ OH\mathrm{\perp }SF\\ OH\subset \left(SOF\right)\end{array}\\ \Rightarrow OH\mathrm{\perp }\left(SBC\right)\\ \Rightarrow d\left(O,\left(SBC\right)\right)=OH\end{array}$

Ta có:

Tam giác $OBF$ vuông tại $F$ nên $OF=\sqrt{O{B}^2-B{F}^2}$ $=\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{a}{2}}\right)}^2-{\left({\displaystyle \frac{a}{4}}\right)}^2}={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{4}}$

Tam giác $SOF$ vuông tại $O$ có $\begin{array}{l}SO={\displaystyle \frac{3a}{4}};OF={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{4}}\\ \Rightarrow SF=\sqrt{S{O}^2+O{F}^2}={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}}\\ OH.SF=SO.OF\Rightarrow OH={\displaystyle \frac{SO.OF}{SF}}={\displaystyle \frac{3a}{8}}\end{array}$

Gọi $K$ là hình chiếu của $A$ trên $(SBC)$, ta có $AK//OH$

Trong $\Delta AKC$ thì $OH$ là đường trung bình, do đó: $AK=2OH\Rightarrow AK={\displaystyle \frac{3a}{4}}$.

Vậy $d\left(A;\left(SBC\right)\right)={\displaystyle \frac{3a}{4}}$.

a) Chứng minh các tam giác $BAD$ và $BDC$ đều là tam giác vuông

b) Gọi $I$ và $K$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC$. Chứng minh $IK$ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng $AD$ và $BC$.

Phương pháp giải:

a) Chứng minh $BA\mathrm{\perp }\left(ACD\right);CD\mathrm{\perp }\left(ABD\right)$.

b) Gọi J là trung điểm của AC, chứng minh $AD\mathrm{\perp }\left(IJK\right)\Rightarrow IK\mathrm{\perp }AD$.

Chứng minh tam giác $IBC$ cân tại I $\Rightarrow IK\mathrm{\perp }BC$.

Lời giải:

a) 

$\{\begin{array}{l}\left(ABC\right)\mathrm{\perp }\left(ADC\right)\\ \left(ABC\right)\cap \left(ADC\right)=AC\\ \left(ABC\right)\supset AB\mathrm{\perp }AC\end{array}\Rightarrow BA\mathrm{\perp }\left(ADC\right)$

$\Rightarrow BA\mathrm{\perp }AD\Rightarrow \mathrm{\Delta }BAD$ vuông tại A.

$\{\begin{array}{l}BA\mathrm{\perp }\left(ADC\right)\Rightarrow CD\mathrm{\perp }BA\\ CD\mathrm{\perp }AD\end{array}\Rightarrow CD\mathrm{\perp }\left(BAD\right)$

$\Rightarrow CD\mathrm{\perp }DB\Rightarrow \mathrm{\Delta }BDC$ vuông tại D.

b) Gọi $J$ là trung điểm của $AC\Rightarrow KJ//BA$ (đường trung bình của $\mathrm{\Delta }ABC$)

Mà $BA\perp (ADC)\Rightarrow KJ\perp (ADC)$ $\Rightarrow KJ\perp AD$      (1)

Ta cũng có $IJ//DC$ (đường trung bình của $\mathrm{\Delta }ADC$ )

Mà $DC\perp AD$ $\Rightarrow IJ\perp AD$    (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $AD\perp (KIJ)\Rightarrow AD\perp IK(3)$

Ta lại có: $\Delta BAI=\Delta CDI(c.g.c)\Rightarrow IB=IC$

$\Rightarrow \Delta BIC$ cân đỉnh $I\Rightarrow IK\perp BC$   (4)

Từ (3) và (4) suy ra $IK$ là đoạn vuông góc chung của $AD$ và $BC$.

a) Chứng minh $B{C}^{\prime }$ vuông góc với mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }CD)$

b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của $A{B}^{\prime }$ và $B{C}^{\prime }$

Phương pháp giải:

a) Chứng minh $B{C}^{\prime }\mathrm{\perp }{B}^{\prime }C;B{C}^{\prime }\mathrm{\perp }{A}^{\prime }{B}^{\prime }$.

b) Xác định mặt phẳng $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ chứa $A{B}^{\prime }$ và song song $B{C}^{\prime }$, tìm hình chiếu của $B{C}^{\prime }$ trên mặt phẳng $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$.

Lời giải:

a) Ta có tứ giác $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ là hình vuông nên $B{C}^{\prime }\perp B^{\prime }C$   (1)

Mặt khác $A^{\prime }{B}^{\prime }\perp (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })\Rightarrow A^{\prime }{B}^{\prime }\perp B{C}^{\prime }$                   (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $B{C}^{\prime }\perp (A^{\prime }{B}^{\prime }CD)$

b) Do $A{D}^{\prime }//B{C}^{\prime }$ nên mặt phẳng $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ là mặt phẳng chứa $A{B}^{\prime }$ và song song với $B{C}^{\prime }$.

Ta tìm hình chiếu của $B{C}^{\prime }$ trên $mp(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$

Gọi $E,F$ là tâm của các mặt bên $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }$ và $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$

Từ $F$ kẻ $FI\perp B^{\prime }E$. Ta có $B{C}^{\prime }//A{D}^{\prime }$ mà $B{C}^{\prime }\perp (A^{\prime }{B}^{\prime }CD)$

$\Rightarrow A{D}^{\prime }\perp (A^{\prime }{B}^{\prime }CD)$ và $IF\subset (A^{\prime }{B}^{\prime }CD)$

$A{D}^{\prime }\perp IF$   (3)

$E{B}^{\prime }\perp IF$   (4)

Từ (3) và (4) suy ra : $IF\perp (A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$

Vậy $I$ là hình chiếu của $F$ trên $mp(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$. Qua $I$ ta dựng đường thẳng song song với $B{C}^{\prime }$ thì đường thẳng này chính là hình chiếu của $B{C}^{\prime }$ trên mp $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$

Đường thẳng qua $I$ song song với $B{C}^{\prime }$ cắt $A{B}^{\prime }$ tại $K$. Qua $K$ kẻ đường thẳng song song với $IF$, đường này cắt $B{C}^{\prime }$ tại $H$. $KH$ chính là đường vuông góc chung của $A{B}^{\prime }$ và $B{C}^{\prime }$. Thật vậy:

$\mathrm{I}\mathrm{F}\mathrm{\perp }(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })\Rightarrow IF\perp A{B}^{\prime }$ và $KH//IF$ suy ra $KH\perp A{B}^{\prime }$

$\begin{array}{c}B{C}^{\prime }\mathrm{\perp }(A^{\prime }{B}^{\prime }CD)\hfill \\ \mathrm{I}\mathrm{F}\subset ({\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }\mathrm{C}\mathrm{D})\hfill \end{array}\}\Rightarrow \begin{array}{c}\mathrm{I}\mathrm{F}\mathrm{\perp }\mathrm{B}{\mathrm{C}}^{\prime }\hfill \\ \mathrm{K}\mathrm{H}//\mathrm{I}\mathrm{F}\hfill \end{array}\}\Rightarrow KH\mathrm{\perp }B{C}^{\prime }$

Tam giác $EF{B}^{\prime }$ vuông góc tại $F$, $FI$ là đường cao thuộc cạnh huyền nên ${\displaystyle \frac{1}{I{F}^2}}={\displaystyle \frac{1}{F{B}^2}}+{\displaystyle \frac{1}{F{E}^2}}$ với $\{\begin{array}{c}F{B}^{\prime }=\frac{a\sqrt{2}}{2}\hfill \\ \mathrm{E}\mathrm{F}=\mathrm{a}\hfill \end{array}$

Ta tính ra: $\mathrm{I}\mathrm{F}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\Rightarrow KH=\mathrm{I}\mathrm{F}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.

a) Tính khoảng cách từ $S$  đến mặt phẳng $(ABCD)$ và độ dài cạnh $SC$

b) Chứng minh mặt phẳng $(SAC)$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$

c) Chứng minh $SB$ vuông góc với $BC$

d) Gọi $\phi$ là góc giữa hai mặt phẳng $(SBD)$ và $(ABCD)$. Tính $\tan \phi$

Phương pháp giải:

a) Gọi $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABD$ thì $SH\mathrm{\perp }\left(ABCD\right)$.

Sử dụng định lí Pitago tính $SH$ và $SC$.

b) Chứng minh mặt phẳng $(SAC)$ chứa 1 đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$.

c) Sử dụng định lí Pitago đảo chứng minh $\mathrm{\Delta }SBC$ vuông tại B.

d) Sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng.

Lời giải:

a) Kẻ $SH\perp (ABCD)$

Do $SA=SB=SD$ suy ra $HA=HB=HC$

$\Rightarrow H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABD$.

Ta có: $AB=AD=a$ và $\widehat{BAD}={60}^0$ nên $\mathrm{\Delta }ABD$ là tam giác đều cạnh $a$ $\Rightarrow AO={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}},AH={\displaystyle \frac{2}{3}}AO={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{3}}$

Trong tam giác vuông $SAH$, ta có: $SA=\frac{a\sqrt{3}}{2};AH=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow SH=\sqrt{S{A}^2-A{H}^2}=\sqrt{{\displaystyle \frac{3a^2}{4}}-{\displaystyle \frac{a^2}{3}}}={\displaystyle \frac{a\sqrt{15}}{6}}$

$CH=AC-AH=2AO-AH$ $=2.{\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}}-{\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{3}}={\displaystyle \frac{2a\sqrt{3}}{3}}$

Trong tam giác vuông $SHC$: $S{C}^2=S{H}^2+H{C}^2\Rightarrow SC=\frac{a\sqrt{7}}{2}$

b) $\begin{array}{c}SH\mathrm{\perp }(ABCD)\hfill \\ SH\subset (SAC)\hfill \end{array}\}\Rightarrow (SAC)\mathrm{\perp }(ABCD)$

c) Ta có:

$S{C}^2={\displaystyle \frac{7a^2}{4}};B{C}^2=a^2;S{B}^2={\displaystyle \frac{3a^2}{4}}$

$\Rightarrow S{C}^2=B{C}^2+S{B}^2$

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }SBC$ vuông tại $B$ $\Rightarrow SB\mathrm{\perp }BC.$

Cách khác:

Ta có: $SH\mathrm{\perp }\left(ABD\right)\Rightarrow SH\mathrm{\perp }AD$.

$H$ là tâm tam giác $ABD$ nên $BH\mathrm{\perp }AD$

$\{\begin{array}{l}BH\mathrm{\perp }AD\\ SH\mathrm{\perp }AD\end{array}\Rightarrow AD\mathrm{\perp }\left(SBH\right)$

Mà $BC//AD$ nên $BC\mathrm{\perp }\left(SBH\right)$ 

$\Rightarrow BC\mathrm{\perp }SB$

d) Ta có:

$\begin{array}{rl}& \begin{array}{c}DB\mathrm{\perp }AC\hfill \\ SH\mathrm{\perp }(ABCD)\Rightarrow SH\mathrm{\perp }DB\hfill \end{array}\}\\ & \Rightarrow DB\mathrm{\perp }(SAC)\\ & \Rightarrow \{\begin{array}{c}DB\mathrm{\perp }\mathrm{O}\mathrm{S}\hfill \\ \mathrm{D}\mathrm{B}\mathrm{\perp }AC\hfill \end{array}\end{array}$

$\{\begin{array}{l}\left(SBD\right)\cap \left(ABCD\right)=BD\\ SO\mathrm{\perp }BD,AC\mathrm{\perp }BD\\ SO\subset \left(SBD\right)\\ AC\subset \left(ABCD\right)\end{array}$

Nên góc giữa (SBD) và (ABCD) bằng góc giữa SO và AC hay $\widehat{SOH}$ là góc giữa hai mặt phẳng $(SBD)$ và $(ABCD)$

Ta có:

$SH={\displaystyle \frac{a\sqrt{15}}{6}}$ và $OH={\displaystyle \frac{1}{3}}AO={\displaystyle \frac{1}{3}}.{\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}}={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{6}}$

$\Rightarrow \tan \phi ={\displaystyle \frac{SH}{OH}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{a\sqrt{15}}{6}}}{{\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{6}}}}=\sqrt{5}$.

(A) Từ $\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{AC}$ ta suy ra $\overrightarrow{BA}=-3\overrightarrow{CA}$

(B) Từ $\overrightarrow{AB}=-3\overrightarrow{AC}$ ta suy ra $\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{AC}$

(C) Vì $\overrightarrow{AB}=-2\overrightarrow{AC}+5\overrightarrow{AD}$ nên bốn điểm $A,B,C$ và $D$ cùng thuộc một mặt phẳng

(D) Nếu $\overrightarrow{AB}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ thì $B$ là trung điểm của đoạn $AC$

Phương pháp giải:

a) $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}$

b) Phân tích $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}$

c) Sử dụng điều kiện để ba vector đồng phẳng.

d) $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}$

Lời giải:

a) Vì $\{\begin{array}{c}\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}\hfill \\ \overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{CA}\hfill \end{array}$

Nên: $\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{AC}$ ta suy ra $\overrightarrow{BA}=3\overrightarrow{CA}$. Vậy a) là sai

b) Ta có:

$\overrightarrow{AB}=-3\overrightarrow{AC}\Rightarrow \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=-3\overrightarrow{AC}$$\Rightarrow \overrightarrow{CB}=-4\overrightarrow{AC}$

Vậy b) sai

c) $\overrightarrow{AB}=-2\overrightarrow{AC}+5\overrightarrow{AD}$: Đẳng thức này chứng tỏ ba vecto $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}$ đồng phẳng, tức là 4 điểm $A,B,C,D$ cùng nằm trong một mặt phẳng. Vậy c) đúng

d) $\overrightarrow{AB}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\Rightarrow \overrightarrow{BA}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$

Điều này chứng tỏ A là trung điểm của BC. Vậy d) sai

Kết quả: Trong bốn mệnh đề trên, chỉ có c) đúng.

Chọn C.

A. Vì $\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{0}$ nên $N$ là trung điểm của đoạn $MP$

B. Vì $I$ là trung điểm của đoạn $AB$ nên từ một điểm $O$ bất kì ta có: $\overrightarrow{OI}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})$

 C. Từ hệ thức $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AC}-8\overrightarrow{AD}$ ta suy ra ba vecto $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}$ đồng phẳng

D. Vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=0$ nên bốn điểm $A,B,C,D$ cùng thuộc một mặt phẳng.

Phương pháp giải:

A. Sử dụng định nghĩa trung điểm của đoạn thẳng.

B. Sử dụng công thức ba điểm.

C. Sử dụng điều kiện để ba vector đồng phẳng.

D. Chứng minh mệnh đề đã cho luôn đúng.

Lời giải:

(A) Mệnh đề A đúng vì $N$ là trung điểm của đoạn $MP$ nên: $\overrightarrow{NM}=-\overrightarrow{NP}\Rightarrow \overrightarrow{NM}+\overrightarrow{NP}=0$

(B) Mệnh đề B đúng

$$\begin{gathered} \{\begin{array}{l}\overrightarrow{OI}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AI}\\ \overrightarrow{OI}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BI}\end{array} \\ \Rightarrow 2\overrightarrow{OI}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\left(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BI}\right) \end{gathered}$$

Vì $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ nên: $\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{0}\Rightarrow 2\overrightarrow{OI}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$

Vậy $\overrightarrow{OI}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)$

(C) Mệnh đề C đúng do thỏa mãn điều kiện 3 vector đồng phẳng.

(D) Mệnh đề D sai vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}$ (luôn đúng)

Vậy chọn D.

A. Nếu đường thẳng $a$ vuông góc với đường thẳng $b$ và đường thẳng $b$ vuông góc với đường thẳng $c$ thì $a$ vuông góc với $c$

B. Nếu đường thẳng $a$ vuông góc với đường thẳng $b$ và đường thẳng $b$ song song với đường thẳng $c$ thì $a$ vuông góc với $c$.

C. Cho ba đường thẳng $a,b$ và $c$ vuông góc với nhau từng đôi một. Nếu có một đường thẳng $d$ vuông góc với $a$ thì $d$ song song với $b$ hoặc $c$.

D. Cho hai đường thẳng $a$ và $b$ song song với nhau. Nếu đường thẳng $c$ vuông góc với $a$ thì $c$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt  phẳng $(a,b)$

Lời giải:

(A) sai vì a, c có thể cắt nhau khi cùng nằm trong mặt phẳng vuông góc với b.

(B) đúng vì $c$ và $b$ song song với nhau nên góc giữa $a$ và $c$ bằng góc giữa $a$ và $b$.

Mà $a\perp b\Rightarrow a\perp c$.

(C) sai tương tự câu (A).

(D) sai.

(A) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.

(B) Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng này sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.

(C) Hai mặt phẳng $(\alpha )$ và $(\beta )$ vuông góc với nhau và cắt nhau theo giao tuyến $d$. Với mỗi điểm $A$ thuộc $(\alpha )$ và mỗi điểm $B$ thuộc $(\beta )$ thì ta có đường thẳng $AB$ vuông góc với đường thẳng $d$.

(D)Nếu hai mặt phẳng $(\alpha )$ và $(\beta )$ đều vuông góc với mặt phẳng $\left(\gamma \right)$ thì giao tuyến $d$ của $(\alpha )$ và $(\beta )$ nếu có sẽ vuông góc với $\left(\gamma \right)$.

Lời giải:

(A) Sai, vì mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì vẫn có thể cắt nhau. Khi đó giao tuyến của chúng sẽ vuông góc với mặt phẳng thứ ba.

(B) Hai mặt phẳng này vuông góc với nhau thì chỉ có những đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì mới vuông góc với mặt phẳng kia.

Vậy (B) sai

(C) sai

(D) Đúng (Định lí 2 trang 109 SGK)

Chọn đáp án D.

(A) Cho hai đường thẳng $a$ và $b$ trong không gian có các vecto chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ . Điều kiện cần và đủ để $a$ và $b$ chéo nhau là $a$ và $b$ không có điểm chung và hai vecto $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ không cùng phương.

(B) Gọi $a$ và $b$ là hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau. Đường thẳng vuông góc chung của $a$ và $b$ nằm trong mặt phẳng chứa đường này và vuông góc với đường kia.

(C) Không thể có một hình chóp tứ giác $S.ABCD$ nào có hai mặt bên $(SAB)$ và $(SCD)$ cùng vuông góc với mặt phẳng đáy.

(D) Gọi $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ là cặp vecto chỉ phương của hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng $(\alpha )$ và $\overrightarrow{n}$ là vecto chỉ phương của đường thẳng $\Delta$. Điều kiện cần và đủ để $\Delta \perp (\alpha )$ là: $\{\begin{array}{c}\overrightarrow{n.}\overrightarrow{u}=0\hfill \\ \overrightarrow{n.}\overrightarrow{v}=0\hfill \end{array}$

Lời giải:

(A) Từ giả thiết $a$ và $b$ không có điểm chung và các vecto $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ của chúng không cùng phương, ta suy ra hai đường thẳng $a,b$ không đồng phẳng vì chúng không trùng nhau, không cắt nhau, không song song với nhau. Vậy $a$ và $b$ chéo nhau. Ngược lại nếu $a$ và $b$ chéo nhau thì rõ ràng $a$ và $b$ không có điểm chung và $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ không cùng phương.

Mệnh đề (A) đúng.

(B) $a$ và $b$ có đường vuông góc chung là $c$, $a\perp b$.

Ta có: $\begin{array}{c}a\mathrm{\perp }b\hfill \\ a\mathrm{\perp }c\hfill \end{array}\}\Rightarrow a\mathrm{\perp }(b,c)$

Tương tự ta có: $b\perp (a,c)$

Mệnh đề (B) đúng.

(C) Xét trường hợp $AB$ và $CD$ cắt nhau tại một điểm $H$.

Ta lấy $S$ trên đường thẳng vuông góc với $mp(ABCD)$ kẻ từ $H$ thì rõ ràng $(SAB)\perp (ABCD)$ và $(SCD)\perp (ABCD)$

Vậy (C) sai.

(D) Đúng. $\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u}=0\\ \overrightarrow{n}.\overrightarrow{v}=0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}\overrightarrow{n}\mathrm{\perp }\overrightarrow{u}\\ \overrightarrow{n}\mathrm{\perp }\overrightarrow{v}\end{array}\Rightarrow \mathrm{\Delta }\mathrm{\perp }\left(\alpha \right)$

Chọn đáp án C.

A. Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cho trước thì cả ba đường thẳng đó cùng nằm trong một mặt phẳng.

B. Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cắt nhau cho trước thì cả ba đường thẳng đó cùng nằm trong một mặt phẳng.

C. Ba đường thẳng cắt nhau từng đôi một thì đồng phẳng

D. Ba đường thẳng cắt nhau từng đôi một và không đồng phẳng thì đồng quy.

Lời giải:

(A) Sai vì có thể xảy ra trường hợp ba đường thẳng đồng quy nhưng không đồng phẳng.

(B) Sai vì nếu đường thẳng thứ ba đi qua giao điểm của hai đường thẳng đã cho thì xảy ra trường hợp cả ba đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng.

(C) Sai vì có thể xảy ra trường hợp đồng quy nhưng không đồng phẳng.

(D) Đúng.

(A) Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì chéo nhau.

(B) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì cắt nhau

(C) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau.

(D) Một mặt phẳng $(\alpha )$ và một đường thẳng $a$ không thuộc $(\alpha )$ cùng vuông góc với đường thẳng $b$ thì $(\alpha )$ song song với $a$.

Lời giải:

(A) sai vì chúng có thể cùng nằm tronng mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho và cắt nhau. Hoặc chúng có thể chéo nhau.

(B) sai vì chúng có thể song song với nhau.

(C) sai vì chúng có thể cùng nằm trong mặt phẳng vuông góc với đường thẳng đã cho nên có thể song song hoặc cắt nhau.

(D) đúng

Chọn đáp án D.

(A) Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau là đoạn ngắn nhất trong các đoạn thẳng nối hai điểm bất kì lần lượt nằm trên hai đường thẳng ấy và ngược lại,

(B) Qua một điểm cho trước có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

(C) Qua một điểm cho trước có duy nhất một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.

(D) Cho ba đường thẳng $a,b$ và $c$ chéo nhau từng đôi một. Khi đó ba đường thẳng này sẽ nằm trong ba mặt phẳng song song với nhau từng đôi một.

Lời giải:

(A) Đúng.

(B) Sai. Vì qua một điểm cho trước ta có thể dựng vô số mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

(C) Sai. Qua một điểm cho trước có thể kẻ vô số đường thẳng vuông góc với đường thẳng $a$ cho trước. Các đường thẳng này nằm trong mặt phẳng đi qua điểm đã cho và vuông góc với đường thẳng $a$.

(D) Sai.

Chọn đáp án A.

(A) $\frac{3a}{2}$                    (B) $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

(C) $\frac{a\sqrt{3}}{2}$                  (D) $a\sqrt{2}$

Phương pháp giải:

Xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng $AB$ và $CD$. Tính độ dài đoạn vuông góc chung đó.

(Đoạn nối hai trung điểm hai cạnh đối diện của một tứ diện đều là đoạn vuông góc chung của hai cạnh đó).